Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=3[f(x){]}^2{f}^{\prime }(x)$. Vì $3[f(x){]}^2\ge 0$ nên $y^{\prime }\ge 0$ khi $f^{\prime }(x)>0\iff (x-1{)}^3(2-x)>0\iff 1<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$. Chọn C.

Xét $m=0$ ta có $y=2$ là hàm hằng nên $m=0$ không thỏa mãn. Xét $m\ne 0$ ta có $y^{\prime }=3m{x}^2+2mx+m(m-1)$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (dấu "$=$" xảy ra tại hữu hạn điểm) $\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-3m^2(m-1)\le 0\\ 3m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3m^3+4m^2\le 0\\ m>0\end{array}\iff m\ge \frac{4}{3}$. Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án D.
Ta có $y=[f(x)-2{]}^2\Rightarrow y^{\prime }=2[f(x)-2]f^{\prime }(x)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& f(x)=2\\ & f^{\prime }(x)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=a(1<a<3)\\ & x=b(b>3)\\ & x=1\\ & x=-1\\ & x=3\end{array}$
Lập bảng xét dấu của đạo hàm:

Chọn D.

Xét hàm số $g(x)=\frac{mx+9}{x+m}$ trên $(-1;2)$ với điều kiện $-m\notin (-1;2)\iff m\le -2$ hoặc $m\ge 1$. Để $|g(x)|$ nghịch biến trên $(-1;2)$ thì hoặc $g(x)$ đồng biến và $g(x)\le 0$ trên $(-1;2)$, hoặc $g(x)$ nghịch biến và $g(x)\ge 0$ trên $(-1;2)$. Giải hệ điều kiện với $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{-3;-2;3\}$, có $3$ giá trị nguyên. Chọn D.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{-m^2+4}{(x-m{)}^2}$. Để hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ thì $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)>0\\ m\notin (0;+\infty )\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4-m^2>0\\ m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2<m<2\\ m\le 0\end{array}\iff -2<m\le 0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0\}$, có đúng $2$ giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+m+2$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=9m^2-3(m+2)\le 0\iff 3m^2-m-2\le 0\iff -\frac{2}{3}\le m\le 1$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1\}$, có đúng $2$ giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta lập bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[a;c]$:
- Trên $(a;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(a)<f(0)$.
- Trên $(0;b)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ nghịch biến, suy ra $f(b)<f(0)$.
- Trên $(b;c)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(b)<f(c)$.
So sánh diện tích hình phẳng: phần hình phẳng phía dưới trục hoành từ $0$ đến $b$ có diện tích lớn hơn phần phía trên trục hoành từ $b$ đến $c$, do đó $f(c)-f(b)<f(0)-f(b)\Rightarrow f(c)<f(0)$. So sánh $f(a)$ và $f(c)$: diện tích từ $a$ đến $0$ lớn hơn phần bù, dẫn đến $f(a)>f(c)>f(b)$. Chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $y^{\prime }=(m^2-m)x^2+4mx+3$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
- Với $m=0$: $y^{\prime }=3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
- Với $m=1$: $y^{\prime }=4x+3\ge 0\iff x\ge -\frac{3}{4}$ (không thỏa mãn trên toàn $\mathbb{R}$).
- Với $m\notin \{0;1\}$: $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m>0\\ {\Delta }^{\prime }=4m^2-3(m^2-m)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>1</td></tr><tr><td>m<0</td></tr></tbody></table>\\ m^2+3m\le 0\end{array}\iff -3\le m<0$.
Kết hợp với $m=0$, ta được $-3\le m\le 0$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0\}$, gồm 4 giá trị nguyên. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 25, mã đề 111; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(2-x)$. Hàm số đồng biến khi $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(2-x)<0$. Dựa vào đồ thị, hàm số $f(t)$ nghịch biến khi $-1<t<2$. Do đó $-1<2-x<2\iff -3<-x<0\iff 0<x<3$. Trong các khoảng đã cho, khoảng $(0;2)\subset (0;3)$ thỏa mãn. Vậy chọn A.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 19, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }=x^2-2mx+4m-3\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Điều này tương đương với ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m^2-(4m-3)\le 0\iff m^2-4m+3\le 0\iff 1\le m\le 3$. Vậy giá trị lớn nhất của $m$ là $3$. Vậy chọn A.