Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

Từ phương trình tham số của đường thẳng $(d)$, một vectơ chỉ phương của $(d)$ là $\overrightarrow{u_4}=(1;0;-5)$.

Gọi $A(-1+a;-2+2a;a)\in {\Delta }_1$ và $B(2+2b;1+b;1+b)\in {\Delta }_2$. Vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n_P}=(1;1;-2)$ nên $(3+2b-a)+(3+b-2a)-2(1+b-a)=0\iff b=a-4$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(a-5;-a-1;-3)$, $A{B}^2=2(a-2{)}^2+27\ge 27$, dấu bằng xảy ra khi $a=2,b=-2$. Suy ra $A(1;2;2)$ và $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;-3)=-3(1;1;1)$, phương trình đường thẳng $d$ là $x-1=y-2=z-2$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-1;-2-2;0-2)=(2;-4;-2)=-2(-1;2;1)$. Do đó $\vec{u}=(-1;2;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-1;0)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;1;-2)$. Đường thẳng qua $D(1;1;-3)$ nhận $\vec{u}=(1;1;-2)$ làm VTCP. Với điểm $M(0;0;-1)$ thuộc đường thẳng ứng với $t=-1$, phương trình tham số viết dưới dạng: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_3=(-1;2;1)$. Chọn B.

Đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ đi qua điểm $M(2;-1;1)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;-1)$.
Phương trình tham số của $d$ là:
$\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-1-t\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$

Chọn đáp án A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;2)$ và $\overrightarrow{AD}=(0;-1;3)$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABD)$ là:
$\vec{n}=[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}]=\left((-1)(2)-(3)(-2);(3)(1)-(0)(2);(0)(-2)-(-1)(1)\right)=(4;3;1).$
Đường thẳng đi qua điểm $C(2;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABD)$ sẽ nhận $\vec{u}=(4;3;1)$ làm véc-tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng dạng tham số có dạng:
$\{\begin{array}{l}x=x_0+4t\\ y=y_0+3t\\ z=z_0+t\end{array}$
Kiểm tra phương án A với đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=-2+4t\\ y=-4+3t\\ z=2+t\end{array}$:
- Có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3;1)$.
- Cho $t=1$, ta được $\{\begin{array}{l}x=-2+4(1)=2\\ y=-4+3(1)=-1\\ z=2+1=3\end{array}$, chính là tọa độ điểm $C(2;-1;3)$.
Vậy phương án A biểu diễn chính xác đường thẳng cần tìm.

Chọn đáp án A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-1);2-2;-1-3)=(4;0;-4)=4(1;0;-1)$.

Do đó vectơ $\vec{u}=(1;0;-1)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ nên là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(1;-2;-1)$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;2)$.

Do đường thẳng $d$ vuông góc với $(\alpha )$ nên $d$ nhận $\vec{u}=\vec{n}=(2;-1;2)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $d$ đi qua $I(1;-2;-1)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;2)$ là:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}.$

Ta có $\overrightarrow{BC}=(-1-1;1-0;2-1)=(-2;1;1)$.

Đường thẳng đi qua điểm $A(0;-1;3)$ và song song với $BC$ nhận $\vec{u}=\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
$\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}.$

Véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là:
$\vec{u}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q]=(1;1;-1)\times (1;-2;0)=(-2;-1;-3)\parallel (2;1;3)$.
Tìm một điểm $M\in \Delta$: cho $y=1$, từ $(Q)$ suy ra $x-2+3=0⟹x=-1$.
Thay vào $(P)$: $-1+1-z=0⟹z=0$.
Vậy điểm $M(-1;1;0)\in \Delta$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3}$.
Chọn đáp án D.

Đường thẳng đi qua $M(2;0;-1)$ và nhận $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{a}=(2;-3;1)$ làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng là:
$\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-1+t\end{array}$.
Chọn đáp án A.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-1;1;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;2;-1)$. Phương trình chính tắc của $d$ là $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2;1)$ (quy đồng mẫu số chung là 6: $3x-2y+z-6=0$). Điểm $M$ thuộc trục $Ox$ có tọa độ $M(m;0;0)$. Vectơ $\overrightarrow{AM}=(m-1;-1;4)$. Đường thẳng $d$ song song với $(P)$ nên $\overrightarrow{AM}\perp \vec{n}\iff 3(m-1)-2(-1)+1(4)=0\iff 3m-3+2+4=0\iff 3m+3=0\iff m=-1$. Vậy $M(-1;0;0)$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=(-2;-1;4)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(1;1;-4)$ và nhận $\vec{u}=(-2;-1;4)$ làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=1-t\\ z=-4+4t\end{array}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;2;-4)=2(2;1;-2)$, nên đường thẳng $AB$ đi qua $B(5;4;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-2)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{-2}$. Chọn D.

Từ phương trình ta có đường thẳng $\Delta$ có một véctơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(-2;0;3)$.

Do đó $\vec{u}=-{\vec{u}}_{\Delta }=(2;0;-3)$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Do $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(Q):x-4y-z-2=0$ nên ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;-4;-1)$.

Khi đó phương trình $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1-4t\\ z=-t\end{array}$.

Chọn B.
Thay tọa độ điểm $N(1;-2;5)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta thấy:
$\frac{1-1}{2}=\frac{-2+2}{3}=\frac{5-5}{4}=0$ (thỏa mãn).
Vậy điểm $N(1;-2;5)\in d$.

Chọn C.
Theo định nghĩa ta có vectơ ${\vec{u}}_3=(1;-2;-3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Chọn D.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_1}=(1;2;-3)$.