Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

Viết lại phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ theo thứ tự chuẩn $x,y,z$: $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{3}=\frac{z+1}{-3}$. Do đó một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u_3}=(2;3;-3)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn A.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_P}]=(-1;3;1)\sim (1;-3;-1)$. Điểm $A(1;2;0)\in \Delta$. Với tham số $t=-2$ ta được điểm $(-1;8;2)\in \Delta$. Phương trình chính tắc tương ứng là $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-3}=\frac{z-2}{-1}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Thay tọa độ điểm $M(-2;1;-3)$ vào phương trình đường thẳng $d$, ta được $\frac{-2+2}{1}=\frac{1-1}{-3}=\frac{-3+3}{2}=0$, nên điểm $M(-2;1;-3)$ thuộc $d$.

Vectơ chỉ phương của $d_1$ là ${\vec{u}}_1=(0;-4;6)=2(0;-2;3)$. Vectơ chỉ phương của $d_2$ là ${\vec{u}}_2=(1;2;4)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ cần tìm là $\vec{u}=[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]$:
$\vec{u}=((-4)(4)-6(2);6(1)-0(4);0(2)-(-4)(1))=(-16-12;6;4)=(-28;6;4)=-2(14;-3;-2)$.
Đường thẳng đi qua $A(1;-1;2)$ và có vectơ chỉ phương $(14;-3;-2)$ có phương trình: $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{-2}$. Chọn đáp án B.

**Chọn A**

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$, một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(1;1;2)$.

Từ phương trình tham số của $\Delta$, vectơ chỉ phương là hệ số của $t$: $\vec{u}=(-1;2;2)$.

Giao điểm của $d$ và $(P)$: thay $x,y,z$ vào $(P)$: $(2+t)-2(-2+t)+2(1+t)-9=0\iff t-1=0\iff t=1$.
Tọa độ giao điểm là $M(3;-1;2)$.
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$ và ${\vec{u}}_d=(1;1;1)$:
${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(-4;1;3)=-(4;-1;-3)$.
Phương trình chính tắc của $\Delta$ là $\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{-3}$.

Từ giả thiết $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=A{M}^2\iff \overrightarrow{AM}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})=0\iff \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MB}=0$, suy ra $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Tâm $I(2;-3;-4)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=2\sqrt{5}$.
Giao của mặt cầu và mặt phẳng $(P)$ là đường tròn tâm $H$, từ đó tìm được khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $M$ tới đường thẳng $d$ bằng $3\sqrt{2}$.

Thay tọa độ điểm $M(2;-1;3)$ vào phương trình $d$: $\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$, $\frac{-1-2}{-1}=3$, $\frac{3}{3}=1$. Do $\frac{3}{2}\ne 3\ne 1$ nên $M\notin d$. Chọn đáp án D.

**Chọn A**

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1-1;3-1;3-2)=(-2;2;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

**Chọn B**

Gọi $I(3;1;2)$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
Độ dài $|\vec{u}|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d$.
Phương trình tham số của $d$: $x=1+3t,y=-2t,z=-1+t$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(3t-2;-2t-1;t-3)$.
$IM\perp d\iff \overrightarrow{IM}\cdot {\vec{u}}_d=0\iff 3(3t-2)-2(-2t-1)+1(t-3)=0\iff 14t-7=0\iff t=\frac{1}{2}$.
Vậy $M\left(\frac{5}{2};-1;-\frac{1}{2}\right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A(18;-13;12)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BA}=(8;-5;3)$, nên có phương trình chính tắc $\frac{x-18}{8}=\frac{y+13}{-5}=\frac{z-12}{3}$ (c Đúng). Viết dạng tham số theo hướng bay từ $A$ đến $B$: $x=18-8t,y=-13+5t,z=12-3t$. Giao với mặt cầu radar $x^2+y^2+z^2=49\iff t^2-5t+6=0\iff t=2$ hoặc $t=3$. Điểm đầu tiên vào vùng radar ứng với $t=2$ là $P(2;-3;6)$ có hoành độ bằng $2$ (b Đúng), điểm ra ứng với $t=3$ là $Q(-6;2;3)$. Quãng đường $PQ=7\sqrt{2}\text{ km}$, thời gian bay trong vùng phủ sóng là $\frac{7\sqrt{2}}{595}\cdot 3600\approx 59,89\text{ giaˆy}<100\text{ giaˆy}$ (a Sai). Điểm hạ cánh $L$ trên mặt đất $z=0$ ứng với $t=4\Rightarrow x_L=18-32=-14$ (d Đúng). Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): S-Đ-Đ-Đ.

Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;2;1)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u}=(5;2;-3)$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=2+5t\\ y=2+2t\\ z=1-3t\end{array}$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): B.

Phương trình đường bay của máy bay là $x=-779+91t,y=-260+75t,z=8$ ($t\ge 0$).
a) Đúng: Với $t=2$, ta được $N(-597;-110;8)$.
b) Sai: Giải $x^2+y^2+z^2=417^2\iff t^2-13t+36=0\iff t=4$ hoặc $t=9$. Vị trí đầu tiên xuất hiện trên radar ứng với $t=4$ là $Q(-415;40;8)$, còn $P(40;415;8)$ ứng với $t=9$ là vị trí cuối cùng.
c) Đúng: Khoảng tham số từ $t=4$ đến $t=9$ là $5$ đơn vị ứng với $30$ phút ($6$ phút/đơn vị $t$). Thời gian từ $M$ ($t=0$) đến $P$ ($t=9$) là $9\cdot 6=54$ phút.
d) Đúng: Khoảng cách nhỏ nhất từ máy bay đến $O$ đạt tại $t=6,5$ bằng $\sqrt{86976,5}\approx 294,92\text{ km}>294\text{ km}$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): Đ-S-Đ-Đ.

Điểm $P(2;1;-1)$ thuộc đường thẳng $d$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 2101).

Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;2;-2)=2(1;1;-1)$ nên đường thẳng $MN$ qua $M(1;0;1)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 2101).

Điểm $A(8;-19;6m+4)\in d⟺\frac{8-1}{1}=\frac{-19-2}{-3}=\frac{6m+1}{-5}=7⟺6m+1=-35⟺m=-6$ (theo đáp án chính thức Trang 12, Mã đề 2101).

Đường thẳng $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;-1;2)$.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng $d$, một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-1;2;1)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ có vtcp $\vec{u}=(a;b;c)$ là $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. Thay số ta được $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{1}$. Chọn B.