Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Đường cao $AH$ vuông góc với đường thẳng $BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow{BC}$ làm một vectơ pháp tuyến. Ta có $\overrightarrow{BC}=(4-(-2);-3-1)=(6;-4)$. Có thể chọn VTPT gọn hơn: $\vec{n}=(3;-2)$. Đường cao $AH$ đi qua $A(1;5)$ và có VTPT $\vec{n}=(3;-2)$, có phương trình tổng quát là: $3(x-1)-2(y-5)=0\iff 3x-2y+7=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$, nên VTPT là $(7;-5)$ hoặc $(-7;5)$. Kiểm tra $(5;7)\cdot (-5;-7)=-74\ne 0$ nên $(5;7)$ không phải VTPT → Sai.
b) Trung điểm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, đường trung trực có VTPT là $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$: $-5\left(x+\frac{1}{2}\right)-7\left(y+\frac{3}{2}\right)=0\iff 5x+7y+13=0$. Phương trình đề cho tương đương $x+3y+26=0$ → Sai.
c) Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, bán kính $R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{25+49}{4}=\frac{37}{2}$: ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{37}{2}$ → Đúng.
d) Đường tròn tâm $A$ qua $B$ có $R^2=A{B}^2=25+49=74\ne 72$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP $\overrightarrow{AB}=(-5;-7)$ nên VTPT là $(7;-5)$ hoặc $(-7;5)$; $(5;7)$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường trung trực qua $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$ với VTPT $(-5;-7)$ có phương trình $5x+7y+13=0$, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $M\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$, $R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{74}{4}=\frac{37}{2}$, đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R^2=A{B}^2=(-5{)}^2+(-7{)}^2=74\ne 72$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;3)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(9;-5)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|1\cdot 9+3\cdot (-5)|}{\sqrt{10}\sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(-2;-1), B(2;-7): vectơ chỉ phương AB = (4;-6) = 2(2;-3), nên a) đúng. Trung điểm AB là (0;-4), đường trung trực có VTCP (2;-3) nên phương trình 2x - 3(y+4) = 0 tức 2x - 3y - 12 = 0, khác 2x - 3y + 1 = 0 nên b) sai. Đường tròn tâm A qua B có R² = AB² = 16 + 36 = 52 ≠ 49 nên c) sai. Đường tròn đường kính AB có tâm (0;-4), R = AB/2, R² = 13, phương trình x² + (y+4)² = 13 nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ AB = (4;-6) có VTCP (2;-3), đường thẳng qua A(-2;-1): x = -2 + 2t, y = -1 - 3t. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là (0;-4), đường trung trực vuông góc AB nên có VTCP (2;-3): 2x - 3(y+4) = 0 ⇔ 2x - 3y - 12 = 0 ≠ 2x - 3y + 1 = 0. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = AB nên R² = 4² + (-6)² = 52, phương trình là (x+2)² + (y+1)² = 52 ≠ 49. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm I(0;-4), R² = (AB/2)² = 52/4 = 13, phương trình x² + (y+4)² = 13. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-3)(5)+1\cdot 9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;2), B(-3;-5). Vecto chỉ phương của AB là AB=(-5;-7), nên vecto pháp tuyến là (7;-5) (vì 7·(-5)+(-5)·(-7)=0) → a) đúng. Đường thẳng AB: 7(x-2)-5(y-2)=0 ⇔ 7x-5y-4=0. Trung điểm M(-1/2; -3/2). Đường trung trực AB nhận AB=(-5;-7) làm pháp tuyến, đi qua M: -5(x+1/2)-7(y+3/2)=0 ⇔ 5x+7y+13=0, khác -1/2 x - 3/2 y - 13 = 0 → b) sai. Đường tròn đường kính AB có tâm M(-1/2;-3/2), bán kính R=AB/2, R²=AB²/4=(25+49)/4=74/4=37/2, không phải 37/4 → c) sai. Đường tròn tâm A qua B có R²=AB²=(-5)²+(-7)²=74, không phải 72 → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-5;-7) nên vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là (7;-5) vì 7·(-5)+(-5)·(-7)=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M(-1/2;-3/2), đường trung trực có pháp tuyến AB=(-5;-7): -5(x+1/2)-7(y+3/2)=0 ⇔ 5x+7y+13=0, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm M(-1/2;-3/2) đúng nhưng R²=AB²/4=(25+49)/4=37/2 ≠ 37/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
R²=AB²=(-5)²+(-7)²=74 ≠ 72, nên phương trình đúng phải là (x-2)²+(y-2)²=74.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-15+9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
A(-2;-1), B(2;-7). a) VTCP của AB là AB=(4;-6), không phải (2;-7); kiểm tra: với x=-2+2t=2 thì t=2, y=-1-7·2=-15≠-7 nên B không thuộc đường thẳng này → sai. b) Trung điểm AB là I(0;-4), AB có hệ số góc -3/2 nên trung trực có hệ số góc 2/3: y+4=(2/3)x ⟺ 2x-3y-12=0 → đúng. c) Bán kính R=AB=√(16+36)=√52, nên đường tròn là (x+2)²+(y+1)²=52≠50 → sai. d) Đường tròn đường kính AB có tâm I(0;-4), R²=AB²/4=52/4=13: x²+(y+4)²=13 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của AB là (4;-6) chứ không phải (2;-7); thay t=2 được điểm (2;-15)≠B nên phương trình đã cho sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm I(0;-4), hệ số góc trung trực 2/3, suy ra 2x-3y-12=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R²=AB²=4²+6²=52, phương trình đúng phải là (x+2)²+(y+1)²=52.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(0;-4), R²=52/4=13, được x²+(y+4)²=13.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y=0$ có $a=1,b=-2,c=0$. Áp dụng công thức hình chiếu/đối xứng qua đường thẳng: $x^{\prime }=x_0-2a\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=5-2\cdot 1\cdot \frac{5-10}{5}=5+2=7$; $y^{\prime }=y_0-2b\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=5-2\cdot (-2)\cdot \frac{-5}{5}=5-4=1$. Vậy $A^{\prime }(7;1)$, tức $a=7,b=1$, nên $a+b=8$. Kiểm tra: trung điểm $M(6;3)$ thỏa $6-2\cdot 3=0$ (nằm trên $d$), và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;-4)$ vuông góc với vectơ chỉ phương $(2;1)$ vì $2\cdot 2+(-4)\cdot 1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1:-3x+y+7=0$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;3)$ (hoặc pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(-3;1)$), VTCP của $d_2:5x+9y-6=0$ là $\overrightarrow{u_2}=(-9;5)$ (pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(5;9)$). Dùng hai pháp tuyến: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-3)(5)+1\cdot 9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{106}}=\frac{6}{\sqrt{1060}}=\frac{6}{2\sqrt{265}}=\frac{3}{\sqrt{265}}=\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Kiểm tra bằng VTCP: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-9)+3\cdot 5=6$, $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{u_2}|=\sqrt{106}$, cùng kết quả $\frac{3\sqrt{265}}{265}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(-1;1) vào Δ: 3(-1)-1+2=-2≠0 nên A không thuộc Δ → Sai. b) d có pháp tuyến n_d=(1;3), Δ có pháp tuyến n_Δ=(3;-1); n_d·n_Δ=3-3=0 nên d⊥Δ → Đúng. c) Đường thẳng qua A(2;-3) song song Δ có dạng 3x-y+c=0; thay A: 6+3+c=0 → c=-9, được 3x-y-9=0 → Đúng. d) Với d: x+3y-1=0, vectơ (1;3) là vectơ pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương (chỉ phương là (3;-1) hoặc (-3;1)) → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 0102: S, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(-1;1) vào Δ: 3(-1)-1+2=-2≠0, nên A không thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_d=(1;3), n_Δ=(3;-1), tích vô hướng 1·3+3·(-1)=0 nên hai đường thẳng vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với Δ: 3x-y+c=0; qua A(2;-3): 6+3+c=0 ⇒ c=-9, được 3x-y-9=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
(1;3) là vectơ pháp tuyến của d, không phải vectơ chỉ phương; vectơ chỉ phương là (3;-1).

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x+y-4=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1)$. $d_2:-2x-2y+6=0$ có ${\vec{n}}_2=(-2;-2)$. Ta thấy ${\vec{n}}_2=-2{\vec{n}}_1$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Chia $d_2$ cho $-2$ được $x+y-3=0$, khác $d_1:x+y-4=0$ (hệ số tự do khác nhau), nên $d_1$ và $d_2$ song song. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua A(2;-3) song song với Δ:2x-y-3=0 có dạng 2x-y+c=0. Thay A: 2·2-(-3)+c=0 ⇒ 7+c=0 ⇒ c=-7, được 2x-y-7=0. Đúng. b) d:x+2y-5=0 có vectơ pháp tuyến (1;2), vectơ chỉ phương là (2;-1) (hoặc (-2;1)), không phải (1;2). Sai. c) VTCT của d là (1;2), VTCT của Δ là (2;-1); tích vô hướng 1·2+2·(-1)=0 nên d⊥Δ. Đúng. d) Thay A(1;-1) vào Δ: 2·1-(-1)-3=0 ⇒ 0=0, nên A thuộc Δ. Đúng. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng song song với Δ có dạng 2x-y+c=0; thay A(2;-3): 4+3+c=0 ⇒ c=-7, được 2x-y-7=0. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
d:x+2y-5=0 có vectơ pháp tuyến (1;2); vectơ chỉ phương là (2;-1), không phải (1;2). Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(1;2)·(2;-1)=2-2=0 nên hai pháp tuyến vuông góc ⇒ d⊥Δ. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·1-(-1)-3=0 nên A(1;-1) thuộc Δ. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0;1)$ và $d_2:\sqrt{3}x+y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3};1)$. Cosin của góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0\cdot \sqrt{3}+1\cdot 1|}{\sqrt{0^2+1^2}\cdot \sqrt{3+1}}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}=0,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (0,5).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;-5)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3)$ có phương trình tham số: $x=2+4t$, $y=-5+3t$. Khớp với đáp án D, cũng đúng theo bảng đáp án mã đề 391 (câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng: $d_1:y-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0;1)$; $d_2:\sqrt{15}x+y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{15};1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0\cdot \sqrt{15}+1\cdot 1|}{1\cdot \sqrt{15+1}}=\frac{1}{4}=0,25$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$, $\overrightarrow{n_2}=(m;-2)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos 45^{\circ }=\frac{|1\cdot m+1\cdot (-2)|}{\sqrt{2}\sqrt{m^2+4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $|m-2|=\sqrt{m^2+4}$. Bình phương: $m^2-4m+4=m^2+4\Rightarrow m=0$. Thử lại: $m=0$ thỏa mãn. Vậy chỉ có đúng một giá trị của $m$ (là $m=0$), đáp án điền là $1$. Điều này khớp với đáp án nguồn (mã đề 0003, TLN câu 1 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và ${\Delta }_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra hệ số tự do: ${\Delta }_1$ có $c_1=1$, ${\Delta }_2$ có $c_2=-10$. Vì $\frac{-3}{1}=\frac{6}{-2}=-3\ne \frac{-10}{1}$, hai đường thẳng không trùng nhau mà song song. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $A{A}^{\prime }$ đi qua $A(1;-2)$ và vuông góc với $BC$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-6;8)$ là pháp tuyến của $A{A}^{\prime }$. Phương trình: $-6(x-1)+8(y+2)=0\iff -6x+8y+22=0\iff 3x-4y-11=0$. Thử: điểm $A(1;-2)$ thỏa $3-(-8)-11=0$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(1;1)$, $n_2=(2;m)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$ nên $\cos 45^{\circ }=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $|m+2|=\sqrt{4+m^2}$, bình phương: $m^2+4m+4=m^2+4\Rightarrow 4m=0\Rightarrow m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, ${\Delta }_2:2x+2026=0$ (đường thẳng đứng), ${\Delta }_1$ có hệ số góc $-1$ (nghiêng $45^{\circ }$), góc giữa chúng đúng bằng $45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (TLN câu 1, mã đề 0001: 0).