Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Cho A(1;4), B(3;−1), C(6;2).

a) Phương trình các cạnh:
- Cạnh AB: $\overrightarrow{AB}=(2;-5)$ nên ${\vec{n}}_{AB}=(5;2)$, qua A(1;4): $5(x-1)+2(y-4)=0\iff 5x+2y-13=0$.
- Cạnh BC: $\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn ${\vec{n}}_{BC}=(1;-1)$, qua B(3;−1): $(x-3)-(y+1)=0\iff x-y-4=0$.
- Cạnh CA: $\overrightarrow{CA}=(-5;2)$, chọn ${\vec{n}}_{CA}=(2;5)$, qua C(6;2): $2(x-6)+5(y-2)=0\iff 2x+5y-22=0$.

b) Đường cao AH vuông góc với BC nên ${\vec{n}}_{AH}=\overrightarrow{BC}=(3;3)$, chọn $(1;1)$, qua A(1;4): $(x-1)+(y-4)=0\iff x+y-5=0$.

Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC: $M\left(\frac{9}{2};\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)$ có vtcp $(1;-1)$, nên ${\vec{n}}_{AM}=(1;1)$, qua A(1;4): $x+y-5=0$.

Nhận xét: $A{B}^2=2^2+5^2=29=A{C}^2$ nên tam giác cân tại A, do đó trung tuyến AM trùng đường cao AH; cả hai đều có phương trình $x+y-5=0$. Kiểm tra: B(3;−1): $5\cdot 3+2\cdot (-1)=13$ ✓; C(6;2): $6-2=4$ ✓; A(1;4): $2+20=22$ ✓; M(9/2;1/2): $9/2+1/2=5$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho d: $x-2y+4=0$ và $A(4;1)$.

a) Hình chiếu vuông góc H của A xuống d.
Vecto pháp tuyến của d là $\vec{n}=(1;-2)$. Đường thẳng qua A vuông góc với d có phương trình tham số:
$$x=4+t,y=1-2t$$
Thay vào phương trình d:
$$(4+t)-2(1-2t)+4=0\Rightarrow 6+5t=0\Rightarrow t=-\frac{6}{5}$$
Suy ra $H\left(4-\frac{6}{5};1+\frac{12}{5}\right)=H\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)$.
Kiểm tra: $\frac{14}{5}-2\cdot \frac{17}{5}+4=\frac{14-34+20}{5}=0$ ✓

b) Điểm A' đối xứng với A qua d: H là trung điểm của AA', nên
$$x_{A^{\prime }}=2x_H-x_A=\frac{28}{5}-4=\frac{8}{5},y_{A^{\prime }}=2y_H-y_A=\frac{34}{5}-1=\frac{29}{5}$$
Vậy $A^{\prime }\left(\frac{8}{5};\frac{29}{5}\right)$.
Kiểm tra: trung điểm $\left(\frac{4+8/5}{2};\frac{1+29/5}{2}\right)=\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)=H$ ✓

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng.

a) d có vtcp $\vec{u}=(-5;4)$, đi qua điểm $P(-1;2)$. d' có vtcp $\overrightarrow{u^{\prime }}=(5;-4)=-\vec{u}$, đi qua điểm $P^{\prime }(-6;2)$.
Vì $\overrightarrow{u^{\prime }}$ và $\vec{u}$ cùng phương nên d và d' song song hoặc trùng nhau. Xét $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=(-5;0)$: có $-5\cdot 4-0\cdot (-5)=-20\ne 0$, tức $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ không cùng phương với $\vec{u}$, nên $P^{\prime }\notin d$.
Vậy d và d' song song (không trùng nhau).

b) d có vtcp $\vec{u}=(-4;2)$, đi qua $P(1;2)$. d': $2x+4y-10=0$ có vtpt $\vec{n}=(2;4)$.
Thay tọa độ điểm P của d vào d': $2(1)+4(2)-10=2+8-10=0$, nên $P\in d^{\prime }$.
Thay phương trình tham số của d vào d': $2(1-4t)+4(2+2t)-10=2-8t+8+8t-10=0$ với mọi $t$.
Vậy mọi điểm của d đều thuộc d', tức d và d' trùng nhau (d nằm trọn trong d').

c) d: $x+y-2=0$ có $\overrightarrow{n_d}=(1;1)$; d': $2x+y-3=0$ có $\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=(2;1)$.
Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên hai đường thẳng không song song, do đó chúng cắt nhau.
Giải hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ 2x+y-3=0\end{array}$: trừ hai phương trình ta được $x-1=0\Rightarrow x=1$, suy ra $y=1$.
Vậy d và d' cắt nhau tại điểm $(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:mx+y+q=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;1)$ và ${\Delta }_2:x-y+m=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$, tức là $m\cdot 1+1\cdot (-1)=m-1=0$, suy ra $m=1$. Vậy với $m=1$ thì ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho d₁: x−2y+5=0 và d₂: 3x−y=0.

a) Giao điểm: Từ d₂ có y=3x. Thay vào d₁: x−2(3x)+5=0 ⟹ −5x+5=0 ⟹ x=1, suy ra y=3. Vậy giao điểm là I(1; 3). Kiểm tra: 1−2·3+5=0 ✓ và 3·1−3=0 ✓.

b) Góc giữa hai đường thẳng: d₁ có vectơ pháp tuyến n₁=(1; −2), d₂ có vectơ pháp tuyến n₂=(3; −1).
$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 3+(-2)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Suy ra φ=45°. Vậy góc giữa d₁ và d₂ bằng 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng d₁: x+2y+4=0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;2)$ và d₂: 2x−y+6=0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$.

Góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 2+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2-2|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=0$$

Suy ra $\phi =90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng:

a) $d:x+y+1=0$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(1;1)$; $k:2x+y-3=0$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên ${\vec{u}}_d$ không cùng phương ${\vec{u}}_k$, do đó $d$ và $k$ cắt nhau. Giải hệ $\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y-3=0\end{array}$, trừ hai phương trình ta được $x-4=0\Rightarrow x=4$, suy ra $y=-5$. Vậy $d$ cắt $k$ tại điểm $(4;-5)$.

b) $d:\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=4-2t\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(-1;-2)$ và đi qua điểm $P(3;4)$; $k:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\prime }\\ y=2t^{\prime }\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(1;2)$. Ta có ${\vec{u}}_d=-2{\vec{u}}_k$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra điểm $P(3;4)$ của $d$ với $k$: từ $x=1+t^{\prime }=3\Rightarrow t^{\prime }=2$, khi đó $y=2t^{\prime }=4$ — đúng bằng tung độ của $P$, tức $P\in k$. Vậy $d$ trùng với $k$ (chú ý $k$ có phương trình tổng quát $2x-y-2=0$ và $P(3;4)$ thỏa mãn $2\cdot 3-4-2=0$).

c) $d:\{\begin{array}{l}x=6t\\ y=2+2t\end{array}$ có vtcp ${\vec{u}}_d=(6;2)$; $k:x-3y+5=0$ có vtcp ${\vec{u}}_k=(3;1)$. Vì $\frac{6}{3}=\frac{2}{1}=2$ nên ${\vec{u}}_d$ cùng phương ${\vec{u}}_k$, tức $d\parallel k$ hoặc $d\equiv k$. Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình của $k$: $6t-3(2+2t)+5=6t-6-6t+5=-1\ne 0$ với mọi $t$, nên $d$ và $k$ không có điểm chung. Vậy $d$ song song với $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Tính góc giữa các cặp đường thẳng.

a) $d:\sqrt{3}x-y+2=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_d}=(\sqrt{3};-1)$; $k:x-\sqrt{3}y-2=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_k}=(1;-\sqrt{3})$.
$$\cos (d,k)=\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+(-1)(-\sqrt{3})|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Vậy góc giữa $d$ và $k$ bằng $30^{\circ }$.

b) $a$ có vtcp $\overrightarrow{u_a}=(1;-2)$; $b$ có vtcp $\overrightarrow{u_b}=(1;3)$.
$$\cos (a,b)=\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Vậy góc giữa $a$ và $b$ bằng $45^{\circ }$.

c) $p$ có vtcp $\overrightarrow{u_p}=(-5;4)$; $q:5x-4y+3=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_q}=(5;-4)$.
Ta thấy $\overrightarrow{u_p}=-\overrightarrow{n_q}$, tức vtcp của $p$ trùng (thuận chiều) với vtpt của $q$, nên $p\perp q$.
Vậy góc giữa $p$ và $q$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-2-(-1);3-0)=(-1;3)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(-1;3)$ làm vectơ pháp tuyến, tức dạng $-x+3y+c=0$. Qua $B(-2;3)$: $-(-2)+3(3)+c=0\Rightarrow 11+c=0\Rightarrow c=-11$. Vậy $-x+3y-11=0$, tương đương $x-3y+11=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(1;-2)$, của $k$ là $\overrightarrow{n_k}=(1;3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-3)$, có phương trình chỉ phương tỉ lệ $(1;1)$. Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $x=1+t$, $y=-1+t$. Kiểm tra các đáp án: A có VTCP $(3;-3)$ loại; B có VTCP $(1;-1)$ loại; C không đi qua $A$ hay $B$, loại; D: $x=-2+t$, $y=-4+t$ có VTCP $(1;1)$ và đi qua $B(-2;-4)$ (t=0), cũng đi qua $A$ khi $t=-3$: $x=-3$? Kiểm tra: $t=-3$ cho $x=-5$, không đúng... nhưng đường thẳng D có dạng $y=x-2$, thay $A(1;-1)$: $-1=1-2$ đúng. Vậy D là đường thẳng cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(4;3)$, suy ra vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(3;-4)$. Đường thẳng $k$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_k=(3;-4)$. Vì ${\vec{u}}_k$ cùng phương với ${\vec{u}}_d$ nên $d$ và $k$ song song hoặc trùng nhau. Thay điểm $P(-1;2)$ (thuộc $k$ khi $t=0$) vào $d$: $4(-1)+3(2)-2=-4+6-2=0$, nên $P\in d$. Vậy $d$ và $k$ trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(2;5)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, phương trình: $x=2$, $y=-1+6t$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến tỉ lệ và hai đường không trùng nhau. Xét các đáp án: A có $\vec{n}=(1;2)$ không tỉ lệ với ${\vec{n}}_1$; B có $\vec{n}=(2;-1)$ không tỉ lệ; C có $\vec{n}=(-1;2)=-{\vec{n}}_1$ nhưng phương trình $-x+2y+1=0$ chính là $d$ nhân với $-1$, nên trùng với $d$ chứ không song song; D có $\vec{n}=(-2;4)=-2{\vec{n}}_1$ tỉ lệ với ${\vec{n}}_1$, và nhân $d$ với $-2$ được $-2x+4y+2=0$ khác $-2x+4y-1=0$, nên hai đường không trùng nhau. Vậy đường thẳng ở đáp án D song song với $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+\sqrt{3}y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-\sqrt{3})$ và ${\vec{n}}^{\prime }=(1;\sqrt{3})$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}^{\prime }|}{|\vec{n}||{\vec{n}}^{\prime }|}=\frac{|1\cdot 1+(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{|1-3|}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =60^{\circ }$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-5y+10=0$ có VTPT $\vec{n}=(2;-5)$. a) $(2;5)$ không phải VTPT vì $2\cdot 2+(-5)\cdot 5=-21\ne 0$ → sai. b) Điểm $(-5;0)$ thuộc $\Delta$ vì $2(-5)-5(0)+10=0$, VTCP $\vec{u}=(5;2)$ vuông góc với $\vec{n}=(2;-5)$ vì $2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$ → đúng. c) A(-5;0) thuộc $\Delta$ và $\vec{n}=(2;-5)$ là VTPT → đúng. d) M(-5;0): $-10+0+10=0$ ✓; điểm (-10;-2): $-20+10+10=0$ ✓ → đúng.
a) VTPT của $\Delta :2x-5y+10=0$ là $\vec{n}=(2;-5)$, không phải $(2;5)$ vì $2\cdot 2-5\cdot 5=-21\ne 0$.
b) Điểm $(-5;0)$ thỏa mãn phương trình $\Delta$ và VTCP $\vec{u}=(5;2)$ có $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-10=0$, nên phương trình tham số này đúng.
c) Thay A(-5;0): $2(-5)-5(0)+10=0$ nên A thuộc $\Delta$, và $\vec{n}=(2;-5)$ là VTPT của $\Delta$.
d) M(-5;0): $-10+10=0$ ✓; điểm (-10;-2): $-20+10+10=0$ ✓, cả hai điểm đều thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(-2;1)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(3;2)$ có phương trình: $3(x+2)+2(y-1)=0\iff 3x+2y+4=0$. Kiểm tra: $A(-2;1)$: $3(-2)+2(1)+4=0$ đúng; pháp tuyến $(3;2)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Vì $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nhân phương trình của ${\Delta }_1$ với $-3$ ta được $-3x+6y-3=0$, khác $-3x+6y-10=0$ (hệ số tự do $-3\ne -10$), nên hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy ${\Delta }_1$ song song với ${\Delta }_2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;-1)$, $n_2=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^0$. Đáp án B.