Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tan(a-b): $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{3}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{1+3\sqrt{3}}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{5}{12}$.

$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{5}{13}\cdot \frac{1}{2}+\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{26}-\frac{6\sqrt{3}}{13}=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$.

$\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{-\frac{5}{12}-1}{1-\frac{5}{12}}=\frac{-\frac{17}{12}}{\frac{7}{12}}=-\frac{17}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{24}{25}$.

$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le -2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $3\le y\le 7$. Vậy $\max y=7$ (khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$) và $\min y=3$ (khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$).

b) Dùng công thức tổng hai sin: $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=2\sin x\cos \frac{2\pi }{3}=2\sin x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\sin x$. Vì $-1\le -\sin x\le 1$ nên $\max y=1$ (khi $\sin x=-1$, tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$) và $\min y=-1$ (khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan a=-2$ và $a\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $a$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos a>0$, $\sin a<0$. Ta có $\cos a=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}a}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin a=\tan a\cdot \cos a=\frac{-2}{\sqrt{5}}$. Tính $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot \frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$. Vậy $A=\sin a-2\cos 2a=-\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{6}{5}=\frac{6-2\sqrt{5}}{5}\approx 0,31$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$. Với $u=4x,v=2x$: $B=\cos 4x-\cos 2x=-2\sin 3x\sin x$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{4}$, $B=\cos \pi -\cos \frac{\pi }{2}=-1$ và $-2\sin \frac{3\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-1$, khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0: cosα=-√(1-144/169)=-5/13 → a đúng. cos2α=1-2sin²α=1-288/169=-119/169 → b đúng. sin(α+π/3)=sinα·1/2+cosα·√3/2=6/13-5√3/26=(12-5√3)/26 → c đúng. tanα=sinα/cosα=-12/5; tan(α+π/4)=(-12/5+1)/(1-(-12/5)·1)=(-7/5)/(17/5)=-7/17 ≠ 7/17 → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cosα=-√(1-sin²α)=-5/13 vì α ở góc phần tư thứ II.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=1-2·144/169=-119/169.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3)=(12/13)(1/2)+(-5/13)(√3/2)=(12-5√3)/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=-12/5 nên tan(α+π/4)=(-12/5+1)/(1+12/5)=-7/17, không bằng 7/17.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$ và $\sin \beta >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ và $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$.
a) $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ SAI vì $\cos \alpha =\frac{4}{5}>0$.
b) $\sin \beta =\frac{25}{169}$ SAI vì $\sin \beta =\frac{5}{13}$ (giá trị $\frac{25}{169}$ là ${\sin }^2\beta$).
c) $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$ ĐÚNG.
d) $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{48+15}{65}=\frac{63}{65}$ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$; $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$ (đúng). Từ $\tan x=\sqrt{2}$ và $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{3}\Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (đúng). Suy ra $\sin x=\tan x\cdot \cos x=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (đúng). Tính $\cos (x-30^{\circ })=\cos x\cos 30^{\circ }+\sin x\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\ne \frac{3-\sqrt{6}}{6}$, nên khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{3}$, với $\cos x>0$ nên $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\tan x\cdot \cos x=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (x-30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\ne \frac{3-\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta >0$: $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{9}$, tức $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}$, suy ra $A=\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}-1=-\frac{4}{9}\approx -0,4$. Kiểm tra: với $\alpha \in (-\frac{\pi }{2};0)$, $\sin \alpha <0<\cos \alpha$ nên $A<0$, phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin a+\cos a{)}^2=2\Rightarrow 1+2\sin a\cos a=2\Rightarrow \sin a\cos a=\frac{1}{2}$. Khi đó $P={\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a{)}^2-2{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a=1-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\cos 80^{\circ }=\sin (90^{\circ }-80^{\circ })=\sin 10^{\circ }$. B đúng vì hàm $\tan$ đồng biến trên $(0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\tan 30^{\circ }<\tan 60^{\circ }$. C sai vì $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, do đó $-\sin 120^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \sin 60^{\circ }$. D đúng vì $\cos 160^{\circ }=\cos (180^{\circ }-20^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$, nên $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=0$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{-3\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7\sin \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $P=\frac{-3\tan \alpha +2}{5+7\tan \alpha }=\frac{-3\cdot 2+2}{5+7\cdot 2}=\frac{-4}{19}=-\frac{4}{19}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0. Từ sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 - 9/25 = 16/25, và vì cos α < 0 nên cos α = -4/5. Do đó tan α = sinα/cosα = (3/5)/(-4/5) = -3/4. a) Sai (cos α < 0). b) Đúng. c) Sai (cos α = -4/5). d) Sai (tan α = -3/4).
a) (AI giải đề cho tôi)
α thuộc góc phần tư thứ II nên cos α < 0, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos²α = 1 - sin²α = 1 - 9/25 = 16/25, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cos α < 0 nên cos α = -4/5, không phải 4/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(-4/5) = -3/4, không phải 3/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$.

Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư II).

$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ (âm).

a) Đúng: $\sin \alpha >0$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II.
b) Đúng: ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$ nên $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}\ne \frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, tức $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, giá trị âm nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với tan α = 3: a) cot α = 1/tan α = 1/3, đúng. b) tan là hàm tuần hoàn chu kỳ π nên tan(α+3π) = tan α = 3 ≠ 3+3π, sai. c) tan(−α) = −tan α = −3, đúng. d) tan 2α = 2tan α/(1−tan²α) = 6/(1−9) = −3/4, nên cot 2α = −4/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 1/tan α = 1/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(α+3π) = tan α = 3, không bằng 3+3π.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan(−α) = −tan α = −3.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan 2α = 2·3/(1−9) = −3/4 nên cot 2α = −4/3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì α∈(π/2;π) nên sinα>0. Từ cosα=−3/4: sin²α=1−9/16=7/16 ⇒ sinα=√7/4 (chỉ lấy dương). a) Sai: công thức đúng là cos2α=2cos²α−1=2·(9/16)−1=1/8, không phải 2cosα. b) Sai: do α ở góc phần tư thứ II nên sinα=√7/4 (dương), không có dấu ±. c) Đúng: sinα>0 với α∈(π/2;π). d) Đúng: tanα=sinα/cosα=(√7/4)/(−3/4)=−√7/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=2cos²α−1=2·(9/16)−1=1/8≠−3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì α∈(π/2;π) nên sinα=+√7/4, không phải ±√7/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với α∈(π/2;π) (góc phần tư thứ II) thì sinα>0.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=sinα/cosα=(√7/4)/(−3/4)=−√7/3.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: với $0^0<\alpha <180^0$, hai góc $\alpha$ và $180^0-\alpha$ có cùng sin nên $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$. b) Sai: vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$; từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta được $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$, không phải $+\frac{2\sqrt{2}}{3}$. c) Đúng: theo bảng giá trị lượng giác, $\cos 60^0=\frac{1}{2}$. d) Sai: $P=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )=\cos 180^0=-1\ne 1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0^0<\alpha <180^0$, $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$ (tính chất hai góc bù có cùng sin).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lượng giác đặc biệt: $\cos 60^0=\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )=\cos 180^0=-1$.