Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha =-3$ nên $\cos \alpha \ne 0$): $P=\frac{6\tan \alpha -7}{6+7\tan \alpha }=\frac{6(-3)-7}{6+7(-3)}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}\approx 1,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1,7).

Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\iff {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha =\frac{4}{5}$. Vậy $\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha =2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.

Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\iff {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha =\frac{4}{5}$. Vậy $\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha =2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin x<0$, do đó $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Khi đó $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$.
Ta có $\frac{1}{{\cos }^{2}a}=1+{\tan }^{2}a$
$\iff \frac{1}{{\cos }^{2}a}=1+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=6$
$\iff {\cos }^{2}a=\frac{1}{6}$ (0,25 điểm)
$\iff \{\begin{array}{ll}\cos a=\frac{\sqrt{6}}{6}& (l)\\ \cos a=-\frac{\sqrt{6}}{6}& (n)\end{array}$ (0,25 điểm)

$VT={\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x+2.\tan x.\cot x$
$=(\tan x+\cot x{)}^2$
$={\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^2={\left(\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x.\cos x}\right)}^2$ (0,25 điểm)
$={\left(\frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x}\right)}^2=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}=VP$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot \frac{5}{9}=-\frac{1}{9}$. Do đó $\cos 2a\sin a=-\frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{\sqrt{5}}{27}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng mã đề 201.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Vì $0<b<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin b>0$: $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Do đó $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b=\frac{5}{13}\cdot \frac{3}{5}+\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \frac{4}{5}=\frac{15-48}{65}=-\frac{33}{65}$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: A đúng vì cos²3x = (1+cos6x)/2 (công thức hạ bậc). B đúng vì cos2x = 1−2sin²x. C đúng vì sin2x = 2sinx·cosx. D sai vì công thức hạ bậc đúng là sin²2x = (1−cos4x)/2, còn (1+cos4x)/2 = cos²2x. Vậy đẳng thức không đúng với mọi x là D, trùng với đáp án nguồn.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$.
Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{-\sqrt{21}}{5}$. (0,25 điểm)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{4\sqrt{21}}{25}$ (0,25 điểm)

$VT=\sin x{\cos }^{3}x-\cos x{\sin }^{3}x=\sin x\cos x({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x$ (0,25 điểm)
$=\frac{1}{4}\sin 4x=VP$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cosin: $P=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\cos x\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sqrt{3}\cos x$. Vậy $m=\sqrt{3}\approx 1,73\in [1;2]$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $1+\cos 4x=2{\cos }^{2}2x$ (công nhân đôi). B đúng vì $\sin 2x=2\sin x\cos x$. C sai vì $\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$, đề viết ngược dấu nên sai. D đúng vì ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Vậy khẳng định Sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ và $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$. Do đó $A=\sin \alpha \cdot \sin \alpha -(-\cos \alpha )\cdot \cos \alpha -500={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -500=1-500=-499$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-499).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$. Theo ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$. a) Sai vì $\cos a=-\frac{15}{17}\ne \frac{15}{17}$. b) $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$, đúng. c) Ở góc phần tư thứ hai: $\sin a>0$ nhưng $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$, nên khẳng định sai. d) $\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{15}{8}\ne \frac{15}{8}$, sai. Kết quả S-Đ-S-S khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, Phần II, Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$; do đó $\cos a=-\frac{15}{17}$, không phải $\frac{15}{17}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ở góc phần tư thứ hai chỉ có $\sin a>0$; $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{15}{8}$, không phải $\frac{15}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$. Khi đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1002, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$. Khi đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1001, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\sin a>0$, $\cos a<0$. Ta có $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$. Do đó: a) Sai vì $\cos a=-\frac{15}{17}$ chứ không phải $\frac{15}{17}$. b) Sai vì $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=-\frac{15}{8}$ chứ không phải $\frac{15}{8}$. c) Đúng vì $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{8}{15}$. d) Sai vì ở góc phần tư thứ hai chỉ có $\sin a>0$; còn $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức mã đề 1001: S S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\frac{15}{17}\ne \frac{15}{17}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=-\frac{15}{8}\ne \frac{15}{8}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ở góc phần tư thứ hai: $\sin a>0$ nhưng $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ nhất, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$ → a) Đúng. Theo định nghĩa $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$ → b) Đúng. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ nên ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$, mà $\cos \alpha >0$ nên $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\ne \frac{1}{10}$ → c) Sai. Với d), chia tử và mẫu cho $\cos \alpha >0$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$ → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\ne \frac{1}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$ → a) Đúng. Ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$ → b) Đúng. Từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$, mà $\cos \alpha >0$ nên $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}\ne \frac{1}{10}$ → c) Sai. Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$ → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{10}}\ne \frac{1}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử, mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$.