Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức hiệu: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 357).

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\tan x=1$ nên $\cos x\ne 0$): $P=\frac{2+5\tan x}{1-3\tan x}=\frac{2+5}{1-3}=\frac{7}{-2}=-3,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng góc lượng giác: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, nên A sai. $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, nên B sai dấu và C đúng. $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ (khi có nghĩa), nên D sai. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 357, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-\frac{\pi }{3}$ vào $f(x)=3\tan x+\sqrt{3}$: $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$, nên $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot (-\sqrt{3})+\sqrt{3}=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án A đã cho trong nguồn.

Ta có: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
Vì $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\sin \alpha >0$,
$\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$T=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}$
$T=\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}{10}$

Thang điểm: + Tìm đúng $\sin \alpha$: 0,25 đ; + KT đúng CT: 0,25 đ; + Thay đúng GT: 0,25 đ; + Tính đúng T: 0,25 đ.

Ta có:
$\tan x+\tan y=\frac{-2026}{2027}$ ; $\tan x\tan y=\frac{-2025}{2026}$.
$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{2026}{4052}=\frac{1}{2}$
Và $T=\left[2027{\tan }^2(x+y)+2026\tan (x+y)-2025\right]{\cos }^2(x+y)$.
$T=\frac{2027{\tan }^2(x+y)+2026\tan (x+y)-2025}{1+{\tan }^2(x+y)}=-2025$

Thang điểm: + Thay đúng: 0,25 đ; + Tính đúng: 0,25 đ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Kiểm tra từng công thức. A đúng vì ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\cos 2a$. B đúng vì $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ (với điều kiện có nghĩa). D đúng vì $1+{\cot }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$. C sai vì công thức đúng phải là $\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos (a+b)$; đề viết $\sin b\sin b={\sin }^{2}b$ thay cho $\sin a\sin b$, nên công thức ở C sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 126: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Công thức đúng là $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$, nên khẳng định A ($\cos 2a={\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a$) là sai (dấu ngược). Các khẳng định B, C, D đều là các dạng đúng của công thức nhân đôi: $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$, $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$, $\sin 2a=2\sin a\cos a$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng lượng giác: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, nên C đúng. A sai vì $\sin a\sin b-\cos a\cos b=-\cos (a+b)$; B sai vì $\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos (a+b)$ chứ không phải $\sin (a+b)$; D sai vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng ý với $v_0^2=245$, $g=9,8$, $y_0=0,5$.

a) Vì $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$ nên $y=-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2+\tan \alpha \cdot x+y_0=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x+y_0-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$. Đúng.

b) $\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{2\cdot 245}=\frac{1}{50}$. Thay $y=0,5=y_0$: $-\frac{x^2}{50}({\tan }^2\alpha +1)+\tan \alpha \cdot x=0\iff -\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$. Với $x=25$: $-\frac{625}{50}{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -\frac{625}{50}=0\iff -12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$. Đúng.

c) Đặt $t=\tan \alpha$: $-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$, thỏa $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$. Đúng.

d) Với $x=20$: $-\frac{400}{50}{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -\frac{400}{50}=0\iff -8t^2+20t-8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $t=2$: $\alpha =\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 63^{\circ }$ (làm tròn đến độ), không phải $64^{\circ }$; ngoài ra còn nghiệm $t=\frac{1}{2}$ ($\alpha \approx 27^{\circ }$, loại vì dưới $30^{\circ }$). Vậy ý d sai ở chỗ làm tròn góc.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dùng $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$, khai triển đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{g}{2v_0^2}=\frac{1}{50}$; thay $x=25$, $y=y_0=0,5$ được $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có nghiệm kép $t=1$, $\alpha =45^{\circ }$ thỏa điều kiện góc bắn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=20$ được $2t^2-5t+2=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=1/2$. $\tan \alpha =2$ cho $\alpha \approx 63,43^{\circ }$, làm tròn đến độ là $63^{\circ }$ chứ không phải $64^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cot α = 2 > 0 và 0° < α < 180° nên tan α = 1/2 > 0, suy ra α là góc nhọn, sin α > 0, cos α > 0.
a) sin²α = 1/(1+cot²α) = 1/5, sin α > 0 nên sin α = 1/√5 = √5/5. Đúng.
b) α là góc nhọn nên 0 < sin α < 1, do đó 0 < sin α ≤ 1. Đúng.
c) Chia tử và mẫu cho sin α: P = (1 + 2cot α)/(1 − cot α) = (1+4)/(1−2) = −5. Đúng.
d) Đẳng thức đúng phải là 1/cos²α = tan²α + 1 = 5/4, còn cot²α + 1 = 5, nên khẳng định sai. Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp đáp án nguồn (mã 102, câu 13: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
sin²α = 1/(1+cot²α) = 1/5, sin α > 0 nên sin α = √5/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 2 > 0 với 0°<α<180° nên α là góc nhọn, 0 < sin α < 1 ≤ 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = (1+2cot α)/(1−cot α) = 5/(−1) = −5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là 1/cos²α = tan²α + 1 = 5/4, còn cot²α + 1 = 5, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\cos \alpha -\sin \alpha =1$ ta có $\sin \alpha =3\cos \alpha -1$. Thay vào ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $(3\cos \alpha -1{)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow 10{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha =0\Rightarrow \cos \alpha (10\cos \alpha -6)=0$. Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha \ne 0$, suy ra $\cos \alpha =\frac{3}{5}$, khi đó $\sin \alpha =3\cdot \frac{3}{5}-1=\frac{4}{5}$. Vậy $M=3\sin \alpha +\cos \alpha =3\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{15}{5}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 21 = 3).

Đáp án mã đề 101, câu 15: Đ S Đ Đ.
a) Đúng. Chia tử và mẫu cho $\sin \alpha$ (với $\sin \alpha \ne 0$ vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$): $P=\frac{1+2\cot \alpha }{1-\cot \alpha }=\frac{1+2\cdot 2}{1-2}=-5$.
b) Sai. $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, trong khi ${\cot }^2\alpha +1=4+1=5$.
c) Đúng. Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $0<\sin \alpha \le 1$.
d) Đúng. $\cot \alpha =2\Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\Rightarrow \cos \alpha =2\sin \alpha$. Kết hợp ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta được $5{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do $\sin \alpha >0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\cos \alpha -\sin \alpha =1$ ta có $\sin \alpha =3\cos \alpha -1$. Thay vào ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $(3\cos \alpha -1{)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow 10{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha =0\Rightarrow \cos \alpha =0,6$ (do $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$). Suy ra $\sin \alpha =3(0,6)-1=0,8$. Vậy $M=3(0,8)+0,6=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 20 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (giá trị lượng giác đặc biệt). Vậy $A=\frac{1}{2}$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (với mọi $\alpha$). Ví dụ kiểm tra: $\alpha =30^{\circ }$ thì $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đẳng thức đúng là phương án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 15: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (vì $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$). Ví dụ kiểm tra với $\alpha =30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đẳng thức đúng là phương án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 14: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (giá trị lượng giác cơ bản của góc đặc biệt). Vậy $A=\frac{1}{2}$, tương ứng với phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{\sin x+4\cos x}{3\sin x+\cos x}$ cho $\cos x$ (với $\tan x=3$ thì $\cos x\ne 0$): $P=\frac{\tan x+4}{3\tan x+1}=\frac{3+4}{3\cdot 3+1}=\frac{7}{10}=0,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ và $\cot 150^{\circ }=\cot (180^{\circ }-30^{\circ })=-\cot 30^{\circ }=-\sqrt{3}$. Do đó $\tan 60^{\circ }-\cot 150^{\circ }=\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 1002 (câu 3: A).