Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng lượng giác: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (đúng), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (A sai), $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (B sai), $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (C sai). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}$ (âm, không phải $\frac{12}{5}$). Với d): $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$. Kết quả a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp đáp án DDSS của mã đề 1101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ (góc phần tư IV) nên $\cos \alpha >0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư IV). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-12/13}{5/13}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Áp dụng công thức: $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}\approx 0,8615\approx 0,86$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,86$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$. Vì ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$ nên ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{3}{8}(1-\cos 4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4x$. Vậy $a=\frac{5}{8},b=\frac{3}{8}$, suy ra $a+b=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 1101: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức lượng giác: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (đúng), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (A sai vì dấu cộng), $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (C sai vì dấu cộng), $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (D sai vì dấu trừ). Vậy chỉ phương án B đúng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Kiểm tra các công thức biến đổi tổng thành tích. - B đúng: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - C đúng: $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. - D đúng: $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - A SAI vì công thức đúng phải là $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$, còn đáp án A lại viết $2\cos \frac{a-b}{2}\sin \frac{a+b}{2}$ (hoán vị nhầm giữa hai nửa tổng và nửa hiệu). Ví dụ kiểm tra: $a=\pi ,b=0$ thì $\sin a-\sin b=0$, nhưng theo A: $2\cos \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=0$ (trùng hợp); thử $a=\frac{\pi }{2},b=0$: vế trái $=1$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}=1$ (vẫn trùng vì $b=0$); thử $a=\frac{\pi }{2},b=\frac{\pi }{6}$: vế trái $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$. Vậy A sai. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ (đồng thời $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$). Do đó A sai ($1-2{\cos }^2\alpha =-\cos 2\alpha$), B sai (${\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =-\cos 2\alpha$), D sai ($2{\sin }^2\alpha -1=-\cos 2\alpha$). Chỉ khẳng định C đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Áp dụng công thức cung cùng bậc với góc thêm $\pi$: $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$ (A sai), $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ (B sai), $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$ (D sai), còn $\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha$ (đúng với mọi $\alpha$ trong tập xác định). Vậy mệnh đề đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 20: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án C và với bảng đáp án (mã đề 1131, câu 23: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với điều kiện các hệ thức đã xác định:
- A: $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$ đúng (cot là hàm lẻ).
- B: $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$ đúng (tan là hàm tuần hoàn chu kỳ $\pi$).
- C: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ đúng (công thức góc bù).
- D: $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$, không phải $\sin \alpha$, nên khẳng định D sai.
Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$ và $\tan \alpha <0$.

a) Sai: Theo hệ thức cơ bản ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nên $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dấu trừ vì $\sin \alpha <0$), không phải $+\frac{\sqrt{7}}{4}$.

b) Đúng: $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi +20\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$.

c) Đúng: Với $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{7}}{3}$, ta có
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{21}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}.$$
Kiểm tra số: $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})\approx \frac{1.7321-0.8819}{1+0.8819\cdot 1.7321}\approx 0.3364$, cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\approx 2.6458=\sqrt{7}$. Vậy $M=\sqrt{7}$.

d) Sai: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng chấm mã đề 102 Phần II Câu 2 (a: S, b: Đ, c: Đ, d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$: $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}\ne \frac{\sqrt{7}}{4}$. Ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$. Ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}\approx 0.3364$; cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\sqrt{7}\approx 2.6458$. Ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$. Ý d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Dùng công thức nhân: $\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}b=\frac{4}{9}-\frac{7}{16}=\frac{64-63}{144}=\frac{1}{144}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{1}{144}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$. Khớp với đáp án C trong bảng chấm (Mã đề 102, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì 3π/2 < α < 2π nên sin α < 0: sin α = -√(1 - 9/16) = -√7/4.
a) Sai: sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(-√7/4)·(3/4) = -3√7/8 ≠ -3√7/16.
b) Sai: sin α = -√7/4 (âm vì α ở góc phần tư thứ IV).
c) Đúng: tan α = -√7/3, nên tan(α + π/3) = (tan α + √3)/(1 - √3 tan α) = (-√7/3 + √3)/(1 + √21/3) = (3√3 - √7)/(3 + √21) ≈ 0,3363. Khi đó M ≈ 0,3363 + 4√3/3 ≈ 0,3363 + 2,3094 ≈ 2,6458 = √7. Thật vậy (3√3 - √7)/(3 + √21) + 4√3/3 = √7 (kiểm tra đại số: quy đồng, biểu thức rút gọn đúng bằng √7).
d) Đúng: cos(α + 21π) = cos(α + π + 20π) = cos(α + π) = -cos α = -3/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(-√7/4)·(3/4) = -3√7/8, không bằng -3√7/16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì 3π/2 < α < 2π nên sin α < 0, do đó sin α = -√7/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = -√7/3; tan(α + π/3) = (3√3 - √7)/(3 + √21) ≈ 0,3363; M ≈ 0,3363 + 2,3094 = √7.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(α + 21π) = cos(α + π) = -cos α = -3/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Áp dụng công thức nhân: $\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b=\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{16}-\frac{5}{9}\cdot \frac{7}{16}=\frac{36}{144}-\frac{35}{144}=\frac{1}{144}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{1}{144}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án chính thức (Câu 3, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức lượng giác: A đúng vì $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$ (hàm cot là hàm lẻ). B sai vì $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$, không phải $\sin \alpha$. C đúng vì $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$. D đúng vì $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$ (chu kỳ $\pi$). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\tan x=-1$ nên $\cos x\ne 0$): $P=\frac{8+6\tan x}{-4+\tan x}=\frac{8+6(-1)}{-4+(-1)}=\frac{2}{-5}=-0,4$. Kết quả khớp với đáp án $-0,4$ của đề (mã 469).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng lượng giác: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ nên A đúng. B sai vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. C sai vì $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$. D sai vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 469, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức hiệu hai góc: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}$. Kết quả trùng với phương án C, cũng khớp với đáp án ma đề 469 là C.