Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức nhân đôi: A đúng vì $\sin 2a=2\sin a\cos a$; B đúng vì $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a\Rightarrow 2{\sin }^{2}a=1-\cos 2a$; D đúng vì đó là công thức cộng $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$. C sai vì công thức đúng là $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$ (hoặc ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$), thiếu bình phương ở $\cos a$. Khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$. Khi đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1001, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\sin a>0$, $\cos a<0$. Ta có $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$. Do đó: a) Sai vì $\cos a=-\frac{15}{17}$ chứ không phải $\frac{15}{17}$. b) Sai vì $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=-\frac{15}{8}$ chứ không phải $\frac{15}{8}$. c) Đúng vì $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{8}{15}$. d) Sai vì ở góc phần tư thứ hai chỉ có $\sin a>0$; còn $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức mã đề 1001: S S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\frac{15}{17}\ne \frac{15}{17}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=-\frac{15}{8}\ne \frac{15}{8}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ở góc phần tư thứ hai: $\sin a>0$ nhưng $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ nhất, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$ → a) Đúng. Theo định nghĩa $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$ → b) Đúng. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ nên ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$, mà $\cos \alpha >0$ nên $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\ne \frac{1}{10}$ → c) Sai. Với d), chia tử và mẫu cho $\cos \alpha >0$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$ → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\ne \frac{1}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Các công thức lượng giác góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng), còn $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, không phải $\cos \alpha$. Do đó khẳng định B là sai. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, nên khẳng định ở phương án A là sai. Các phương án còn lại đều đúng: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$; $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (với $\alpha \ne 90^{\circ }$); $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$ → a) Đúng. Ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$ → b) Đúng. Từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$, mà $\cos \alpha >0$ nên $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}\ne \frac{1}{10}$ → c) Sai. Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$ → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{10}}\ne \frac{1}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử, mẫu cho $\cos \alpha$: $\frac{5\tan \alpha -3}{\tan \alpha +2}=\frac{15-3}{3+2}=\frac{12}{5}\ne -\frac{12}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P$ cho $\cos x\ne 0$ (vì $\tan x=2$): $P=\frac{\tan x-5}{\tan x+1}=\frac{2-5}{2+1}=\frac{-3}{3}=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 1: -1).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (60^{\circ }-x)\cos (60^{\circ }+x)={\cos }^{2}60^{\circ }-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x$. Do đó tích bằng $\cos x\left(\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x\right)=\cos x\left({\cos }^{2}x-\frac{3}{4}\right)={\cos }^{3}x-\frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{4}\left(4{\cos }^{3}x-3\cos x\right)=\frac{1}{4}\cos 3x$ (dùng ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ và công thức $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$). Vậy $k=\frac{1}{4}$, suy ra $\sin (k\pi )=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,71).

(AI giải đề cho tôi)
Các hằng thức đúng của góc kép: $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)={\cos }^{4}a-{\sin }^{4}a$. Vậy A, C, D đều đúng. Đẳng thức $\cos 2a=2\cos a$ sai (ví dụ $a=0$ thì $\cos 0=1\ne 2\cos 0=2$). Đáp án khớp với mã đề 111: B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức biến đổi tổng - hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (đúng, phương án A); $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, nên phương án B viết $\cos (a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$ là sai (dấu ngược); $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (đúng, phương án C); $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (đúng, phương án D). Vậy công thức sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 000, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. C đúng vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. D đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. Công thức đúng cho $\cos (a+b)$ là $\cos a\cos b-\sin a\sin b$, trong khi phương án B viết $\sin a\sin b-\cos a\cos b$ (đảo dấu sai). Vậy công thức sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2512, câu 1: B).

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x$$
$$={\left(2.\frac{16}{25}-1\right)}^2+\frac{16}{25}=\frac{449}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x={\left(2.\frac{24}{25}-1\right)}^2+\frac{24}{25}=\frac{1129}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{2}$$
$$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{8\pi }{15}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{15}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

(AI giải đề cho tôi)
Nhắc lại các công thức cộng: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (đúng), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (đúng), $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (đúng). Công thức đúng cho $\cos (a+b)$ là $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, do đó phương án D với $\cos (a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$ là sai (nó là đối của công thức đúng). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}<0$, nên phát biểu c) sai. Với d): $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$, nên phát biểu d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DDSS (mã đề 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV nên $\cos \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư IV).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{-12/13}{5/13}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$. Mà ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$, nên ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{3}{8}(1-\cos 4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4x$. Vậy $a=\frac{5}{8},b=\frac{3}{8}$, do đó $a+b=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \beta >0$: $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Do đó $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}\approx 0,8615\approx 0,86$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,86$ (bảng đáp án mã đề 1102, câu 20).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 5: A).