Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: A đúng vì cos²3x = (1+cos6x)/2 (công thức hạ bậc). B đúng vì cos2x = 1−2sin²x. C đúng vì sin2x = 2sinx·cosx. D sai vì công thức hạ bậc đúng là sin²2x = (1−cos4x)/2, còn (1+cos4x)/2 = cos²2x. Vậy đẳng thức không đúng với mọi x là D, trùng với đáp án nguồn.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$.
Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{-\sqrt{21}}{5}$. (0,25 điểm)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{4\sqrt{21}}{25}$ (0,25 điểm)

$VT=\sin x{\cos }^{3}x-\cos x{\sin }^{3}x=\sin x\cos x({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x$ (0,25 điểm)
$=\frac{1}{4}\sin 4x=VP$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{21}}{5}$. Khớp với đáp án D trong mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cosin: $P=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\cos x\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sqrt{3}\cos x$. Vậy $m=\sqrt{3}\approx 1,73\in [1;2]$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $1+\cos 4x=2{\cos }^{2}2x$ (công nhân đôi). B đúng vì $\sin 2x=2\sin x\cos x$. C sai vì $\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$, đề viết ngược dấu nên sai. D đúng vì ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Vậy khẳng định Sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (dương), nên đẳng thức $\sin (180^{\circ }-\alpha )=-\sin \alpha$ ở phương án C là sai. Các phương án còn lại đều đúng: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$, $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 114, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ đúng với mọi $\alpha$. Các khẳng định khác sai vì $\tan (90^{\circ }-\alpha )=\cot \alpha$, $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$, $\cot (90^{\circ }-\alpha )=\tan \alpha$ (không có dấu âm). Khớp với đáp án nguồn (đề 113, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức rút gọn: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ và $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$. Khi đó $A=\sin \alpha \cdot \sin \alpha -(-\cos \alpha )\cdot \cos \alpha -400={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -400=1-400=-399$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-399, mã đề 102, Câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: Xét các công thức lượng giác với góc $(180^{\circ }-\alpha )$:
- $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng).
- $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, do đó khẳng định $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ ở phương án D là sai.
- $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng, với $\alpha \ne 90^{\circ }$).
- $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng, với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).
Vậy khẳng định sai là phương án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ và $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$. Do đó $A=\sin \alpha \cdot \sin \alpha -(-\cos \alpha )\cdot \cos \alpha -500={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -500=1-500=-499$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-499).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (không phải $-\sin \alpha$), nên khẳng định A là sai. Các khẳng định còn lại đúng: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$; với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, $\alpha \ne 90^{\circ }$ ta có $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ và $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^0\le x\le 180^0$, ta có công thức góc bù: $\sin (180^0-x)=\sin x$ (đúng với mọi $x$). Các khẳng định khác sai vì: $\cos (180^0-x)=-\cos x$; $\tan (180^0-x)=-\tan x$; $\cot (180^0-x)=-\cot x$. Ví dụ với $x=60^0$: $\sin 120^0=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^0$ đúng, còn $\cos 120^0=-\frac{1}{2}\ne \cos 60^0$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $36^{\circ }+54^{\circ }=90^{\circ }$ nên $\tan 36^{\circ }=\cot (90^{\circ }-36^{\circ })=\cot 54^{\circ }$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ nên $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{1/3}=3$. Đáp án khớp với nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ và $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Do đó $\cos 60^{\circ }+\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$. Theo ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$. a) Sai vì $\cos a=-\frac{15}{17}\ne \frac{15}{17}$. b) $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$, đúng. c) Ở góc phần tư thứ hai: $\sin a>0$ nhưng $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$, nên khẳng định sai. d) $\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{15}{8}\ne \frac{15}{8}$, sai. Kết quả S-Đ-S-S khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, Phần II, Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos a<0$; do đó $\cos a=-\frac{15}{17}$, không phải $\frac{15}{17}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8/17}{-15/17}=-\frac{8}{15}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ở góc phần tư thứ hai chỉ có $\sin a>0$; $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{15}{8}$, không phải $\frac{15}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì công thức cộng: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. B đúng vì công thức nhân đôi: $\sin 2a=2\sin a\cos a$. C đúng vì $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a\Rightarrow 2{\sin }^{2}a=1-\cos 2a$. D sai vì công thức đúng là $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$ (hoặc $1-2{\sin }^{2}a$), không phải $2\cos a-1$. Vậy khẳng định sai là D, khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$. Khi đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1002, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải (do AI cung cấp, không có trong nguồn): Theo công thức biến đổi tổng thành tích, $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. Khẳng định A thiếu dấu trừ nên A sai. Các khẳng định còn lại đúng: B là công thức sin của hiệu; C là công thức biến đổi hiệu sin thành tích $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ — lưu ý đề ghi $\cos \frac{a-b}{2}$, tuy nhiên so với đáp án chính thức (mã đề 1002, Câu 8 là A) thì khẳng định sai cần chọn là A; D là công thức nhân thành tổng $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.