Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tính giới hạn: $a=\lim \frac{5n^3-2n+2025}{n-2n^3}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
a) $a=-\frac{5}{2}<0$ nên sai.
b) $\cos x=a=-\frac{5}{2}\notin [-1;1]$ nên phương trình vô nghiệm, đúng.
c) Trục đối xứng của $(P):y=x^2+5x+2$ là $x=-\frac{5}{2}=a$, đúng.
d) $u_5=u_1+4d=-\frac{5}{2}+12=\frac{19}{2}\ne 19$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}<0$, nên khẳng định $a>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\frac{5}{2}\notin [-1;1]$ nên phương trình vô nghiệm, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của $(P)$ là $x=-\frac{5}{2}=a$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=-\frac{5}{2}+4\cdot 3=\frac{19}{2}\ne 19$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3}$ và công bội $q=\frac{1}{3}$ (với $|q|<1$). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1/4}{-1/2}=-\frac{1}{2}$, với $|q|<1$. Tổng là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-1/2}{1+1/2}=\frac{-1/2}{3/2}=-\frac{1}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 74: Tính từng giới hạn.
a) Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{6-\frac{5}{n}}{3}=\frac{6}{3}=2$.
b) Chia cho $n^2$: $\lim \frac{-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$.
c) Bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2) nên $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}=+\infty$.
d) Chia cho $n^2$: $\lim \frac{-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{0}{9}=0$.
e) Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{8+\frac{3}{n}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
f) (dòng thứ hai, ký hiệu d) Chia tử và mẫu cho $5^n$: $\lim \frac{{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{3{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-4}=\frac{0+1}{0-4}=-\frac{1}{4}$.
g) $\lim \left(5-\frac{2}{n^3}\right)=5-0=5$.
h) $\lim \left(4-\frac{2}{n}\right)=4$ và $\lim \left(5+\frac{1}{3^n}\right)=5$, nên tích bằng $4\cdot 5=20$.
i) Chia tử và mẫu cho $2^n$: $\lim \frac{\frac{2}{2^n}+\frac{1}{n\cdot 2^n}}{1}=0+0=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì u_n → +∞ và v_n → a > 0 nên từ n đủ lớn v_n > a/2 > 0, do đó u_n·v_n → +∞. B đúng vì u_n → a ≠ 0 (hữu hạn) và |v_n| → +∞ nên u_n/v_n → 0. C sai: khi lim u_n = a > 0 và lim v_n = 0, nếu v_n < 0 từ n đủ lớn thì u_n/v_n → −∞ chứ không nhất thiết +∞ (ví dụ u_n = 1, v_n = −1/n thì u_n/v_n = −n → −∞). Muốn mệnh đề đúng phải có thêm điều kiện v_n > 0. D đúng vì u_n → a < 0 và v_n → 0 với v_n > 0 nên u_n/v_n → −∞. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim u_n=a$ (hữu hạn) và $\lim v_n=+\infty$, ta viết $\frac{u_n}{v_n}=u_n\cdot \frac{1}{v_n}$. Do $\lim \frac{1}{v_n}=0$ và $\lim u_n=a$ (dãy $u_n$ bị chặn), nên $\lim \frac{u_n}{v_n}=a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (I) Với $k$ nguyên dương, $\lim n^k=+\infty$ — đúng. (II) Nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$, không phải $+\infty$ — sai. (III) Nếu $q>1$ thì $\lim q^n=+\infty$ — đúng. Vậy có 2 khẳng định đúng, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{u_n}{v_n}=\frac{1/(n+1)}{3/(n+3)}=\frac{n+3}{3(n+1)}=\frac{1+3/n}{3(1+1/n)}\to \frac{1}{3}$ khi $n\to +\infty$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $100^n=10^{2n}$: $\lim \frac{100+3{\left(\frac{99}{100}\right)}^n}{1-2\cdot 98{\left(\frac{98}{100}\right)}^n}$. Vì ${\left(\frac{99}{100}\right)}^n\to 0$ và $98{\left(\frac{98}{100}\right)}^n\to 0$, giới hạn bằng $\frac{100+0}{1-0}=100$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 83 (questionNumber 82): Ta có $3^n-4^n=4^n\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^n-1\right)$. Vì $0<\frac{3}{4}<1$ nên ${\left(\frac{3}{4}\right)}^n\to 0$, do đó ${\left(\frac{3}{4}\right)}^n-1\to -1$. Mặt khác $4^n\to +\infty$, suy ra $\lim \left(3^n-4^n\right)=-\infty$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{3\cdot 2^{n+1}-2\cdot 3^{n+1}}{4+3^n}=\lim \frac{6\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n-6}{\frac{4}{3^n}+1}=\frac{0-6}{0+1}=-6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$, nên $u_n=\frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}=\frac{n^2+n}{2n^2+2}$. Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim u_n=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_n=\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $u_n=\frac{\frac{-2}{n}+3-2n^2}{3-\frac{2}{n}}$. Khi $n\to +\infty$, mẫu tiến về $3>0$, còn tử có số hạng $-2n^2\to -\infty$ trội hơn nên tử tiến về $-\infty$. Do đó $\lim u_n=-\infty$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{2-\frac{3}{n}}=\frac{2-0}{2}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $n-\sqrt{n^2-4n}=\frac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}=\frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}\to \frac{4}{1+1}=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $4^n$: $\lim \frac{2\cdot (1/2{)}^n+7}{(3/4{)}^n+4}=\frac{0+7}{0+4}=\frac{7}{4}$. Vậy $a=7,b=4$ (tối giản, $a,b\in \mathbb{N}$), nên $a^2+b^2=49+16=65$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Tính từng giới hạn.

1. Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2. Chia cho $n^2$: $\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$.

3. Mẫu có bậc 3: $(2n+3)(n^2+7)=2n^3+6n^2+14n+21$. Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{14}{n^2}+\frac{21}{n^3}}=\frac{1}{2}$.

4. Tử bậc 2, mẫu bậc 1, chia cho $n$: $\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

5. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6. Ta có $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$, $2^{3n-1}=\frac{1}{2}\cdot 8^n$. Chia tử và mẫu cho $8^n$: $\lim \frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}=\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(-2n^3+9n^2+1)=\lim n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)=-\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$ và $n^3\to +\infty$.

8. Nhân liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-21n+\frac{2}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5}=-\infty$.

9. Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a_n=1-2n\sim -2n$ và $b_n=-n^3+2n+1\sim -n^3$ khi $n\to +\infty$. a) $\lim \frac{a_n}{b_n}=\lim \frac{1-2n}{-n^3+2n+1}=\lim \frac{1/n^3-2/n^2}{-1+2/n^2+1/n^3}=0$ → đúng. b) $\lim \frac{b_n}{a_n}=\lim \frac{-n^3+2n+1}{1-2n}=\lim \frac{-n^2+2+1/n}{1/n-2}=+\infty \ne 0$ → sai. c) $\lim b_n=\lim (-n^3+2n+1)=-\infty$ → đúng. d) $\lim \frac{1}{a_n}=\lim \frac{1}{1-2n}=0\ne +\infty$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1/n^3-2/n^2}{-1+2/n^2+1/n^3}=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{-n^3+2n+1}{1-2n}=\lim \frac{-n^2+2+1/n}{1/n-2}=+\infty$, không bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\lim (-n^3+2n+1)=-\infty$ vì bậc cao nhất là $-n^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{1}{1-2n}=0$, không phải $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $6^n$ (số mũ lớn nhất): $$\lim \frac{3^n-5\cdot 6^n+1}{6^n+2\cdot 5^n}=\lim \frac{{\left(\frac{3}{6}\right)}^n-5+\frac{1}{6^n}}{1+2{\left(\frac{5}{6}\right)}^n}.$$ Vì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n\to 0$ và $\frac{1}{6^n}\to 0$ khi $n\to +\infty$, nên giới hạn bằng $$\frac{0-5+0}{1+2\cdot 0}=-5.$$ Vậy $\lim \frac{3^n-5\cdot 6^n+1}{6^n+2\cdot 5^n}=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n-n^4}{4n^4-5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{n^3}-1}{4-\frac{5}{n^4}}=\frac{0-1}{4-0}=-\frac{1}{4}$. Vậy đáp án D.