Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{16x}{15+2x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{16}{\frac{15}{x}+2}=\frac{16}{2}=8$. Vậy đáp án D.

Từ đề bài, có: $\overline{C}(x)=\frac{100+30x}{x}=30+\frac{100}{x}$. Khi đó ta được:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(30+\frac{100}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }30+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{100}{x}=30.$$
Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $f(x)=2x^2-3x+1$ là hàm đa thức nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=2-3+1=0\ne -1$. b) Sai. $f(x)=(x-1)(2x-1)$ nên $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$. Khi $x\to 1^{+}$ thì biểu thức $\to +\infty$, khi $x\to 1^{-}$ thì $\to -\infty$, nên giới hạn không tồn tại (không bằng $+\infty$). c) Đúng. Chia tử và mẫu cho $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-2x}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=2$. d) Đúng. Hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Đối chiếu bảng đáp án mã đề 112, Phần II Câu 1: S S Đ Đ — khớp với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=0\ne -1$, nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$; giới hạn trái $-\infty$, giới hạn phải $+\infty$, nên giới hạn không tồn tại, không bằng $+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$, giới hạn bằng $2/1=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục trên mọi $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^3+x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó giới hạn tại $x=1$ tính bằng cách thay trực tiếp: $I={\lim }_{x\to 1}(x^3+x+1)=1^3+1+1=3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^3+x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó giới hạn tại $x=1$ tính bằng cách thay trực tiếp: $I=1^3+1+1=3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $f(x)=2x^2-3x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. b) Sai: $f(x)=(2x-1)(x-1)$ nên $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-1}{x-1}$; khi $x\to 1^{-}$, tử $\to 1>0$, mẫu $x-1\to 0^{-}$, do đó giới hạn bằng $-\infty$, không phải $+\infty$. c) Đúng: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-2x}=\frac{2}{1}=2$. d) Sai: $f$ liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=2-3+1=0\ne -1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, S, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên liên tục trên R.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)/(x-1)^2=(2x-1)/(x-1) → -∞ khi x→1⁻ vì tử dương, mẫu âm nhỏ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số hai đa thức cùng bậc 2, giới hạn bằng 2/1=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
lim f(x) khi x→1 bằng f(1)=0, không phải -1.

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+1-\sqrt[3]{x^3-x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^3+3x^2+3x+1-x^3+x}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+4x+1}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}$

$\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+1\right)\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt[3]{{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}^2}}\right)=\frac{3}{1+1+1}=1$

(Lưu ý: bản giải in trong đề ghi tử số chia cho $x^2$ là $3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}$, tuy nhiên từ $3x^2+4x+1$ ta phải có $3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}$; kết quả cuối $\lim =1$ không đổi.)

2. Với $x>1$: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}=\frac{2x-1-x^2}{(x^2-1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-1}{\sqrt{2x-1}+x}$ (với $x>1$).

Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1}+1}=-\frac{1}{2}$.

(Bản giải in trong đề viết $f(x)=\frac{2x-1-x^2}{x^2-1}=\frac{-(x-1)}{x+1}$, bỏ qua nhân tử $\sqrt{2x-1}+x$; tuy nhiên giá trị $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=0$ được dùng ở đó và điều kiện liên tục vẫn cho $m=5$. Theo phép tính đúng ở trên, giới hạn trái tại $x=1$ là $5.1^2-m=5-m$ và giới hạn phải là $-\frac{1}{2}$, suy ra liên tục khi $m=\frac{11}{2}$. Vì bản giải chính thức của đề kết luận $m=5$ nên giữ nguyên kết quả chính thức $m=5$ và ghi nhận mâu thuẫn này.)

Để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, theo bản giải chính thức: $\frac{-(1-1)}{1+1}=5.1^2-m\Rightarrow m=5$.

3.
Dễ dàng nhận thấy $S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},S_2=\frac{3a^2\sqrt{3}}{16},S_3=\frac{9a^2\sqrt{3}}{64}\Rightarrow S_1,S_2,S_3,\dots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},q=\frac{3}{4}\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=a^2\sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước trong bể sau $t$ phút: $V(t)=5000+15t$ (lít). Lượng muối bơm vào mỗi phút là $40\cdot 15=600$ gam, nên khối lượng muối trong bể là $S(t)=600t$ (gam). Do đó $C(t)=\frac{600t}{5000+15t}$. Khi đó $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{600t}{5000+15t}=\frac{600}{15}=40$ (gam/lít).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\frac{1}{x}\to 0$, do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2025}{x}=2025\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=2025\cdot 0=0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: $\underset{x\to 2025}{\lim }\left[f(x)+g(x)\right]=\underset{x\to 2025}{\lim }f(x)+\underset{x\to 2025}{\lim }g(x)=a+b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ với $t\ge 0$.
a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=26$. Hơn nữa $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f$ tăng dần và $f(t)<26$ với mọi $t\ge 0$. Vậy về lâu dài số dân không vượt quá 26 nghìn người → Đúng.
b) $\underset{t\to 5}{\lim }f(t)=f(5)=\frac{26\cdot 5+10}{10}=\frac{140}{10}=14\ne 20$ → Sai.
c) $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0)=\frac{10}{5}=2\ne +\infty$ → Sai.
d) Ngày 1/7/2035 cách 1/7/2025 đúng 10 năm, tức $t=10$: $f(10)=\frac{260+10}{15}=\frac{270}{15}=18$ nghìn người → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=26$ và $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f(t)<26$ với mọi $t\ge 0$: số dân về lâu dài không vượt quá 26 nghìn người.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 5}{\lim }f(t)=f(5)=\frac{140}{10}=14\ne 20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0)=2\ne +\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$t=10$: $f(10)=\frac{270}{15}=18$ nghìn người.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $x^4\to +\infty$ nên $-x^4\to -\infty$, còn $x^2+2$ dương và nhỏ hơn nhiều so với $-x^4$. Do đó $L=\underset{x\to -\infty }{\lim }(-x^4+x^2+2)=-\infty$. Vậy đáp án D.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x+1}{-x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4+\frac{1}{x}}{-1+\frac{1}{x}}=-4$.

a) ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}(x^2-5x+4)=10$. Vậy a sai

b) ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)(x-4)\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x-1)\left(\sqrt{x}+2\right)=12$. Vậy b đúng.

c) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-5x+4}}{ax+b}=-\frac{1}{a}$. Vậy c sai

d) Để $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=4$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $4\iff 4a+b=0\iff b=-4a$; $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(x-4)(x-1)}{a(x-4)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(x-1)}{a}=\frac{3}{a}=4\iff a=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-3\Rightarrow 4a+2b=-3$. Vậy d đúng.
a) ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}(x^2-5x+4)=10$. Vậy a sai
b) ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)(x-4)\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x-1)\left(\sqrt{x}+2\right)=12$. Vậy b đúng.
c) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-5x+4}}{ax+b}=-\frac{1}{a}$. Vậy c sai
d) Để ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{ax+b}=4$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $4\iff 4a+b=0\iff b=-4a$; ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{ax+b}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-4)(x-1)}{a(x-4)}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)}{a}=\frac{3}{a}=4\iff a=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-3\Rightarrow 4a+2b=-3$. Vậy d đúng.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^5-3x^2+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5\left(2-\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x^5}\right)=-\infty$
Do $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5=-\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2-\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x^5}\right)=2>0$.

a) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0-3.0+2=2$ đúng

b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1$. Vậy ý b sai.

c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{ax+b}=\frac{1}{a}$ đúng

d) Để $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=2$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $2\iff 2a+b=0\iff b=-2a$; khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x-1)}{a(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{a}=\frac{1}{a}=2\iff a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-1$. Vậy $a+b=-\frac{1}{2}$, ý d sai.
a) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0-3.0+2=2$ đúng
b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1$. Vậy ý b sai.
c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{ax+b}=\frac{1}{a}$ đúng
d) Để $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=2$ thì:
+ $ax+b$ có nghiệm bằng $2\iff 2a+b=0\iff b=-2a$.
+ Khi đó: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x-1)}{a(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{a}=\frac{1}{a}=2\iff a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-1$.
Vậy $a+b=-\frac{1}{2}$, ý d sai.