Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 5^{-}$ thì $g(x)\to 2025>0$ và $x-5\to 0^{-}$ (giá trị âm, tiến về 0). Tử số dương, mẫu số âm có độ lớn tiến về 0 nên thương $\frac{g(x)}{x-5}$ tiến về $-\infty$. Vậy $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{g(x)}{x-5}=-\infty$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{2x^2+x+1}=|x|\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\to -x\sqrt{2}$. Do đó $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2x^2+x+1}+5x}{3x+2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+5x}{x\left(3+\frac{2}{x}\right)}=\frac{-\sqrt{2}+5}{3}=\frac{5-\sqrt{2}}{3}.$$ Suy ra $a\sqrt{2}+b=5-\sqrt{2}$, tức $a=-1$, $b=5$, vậy $a+b=-1+5=4$. (Lưu ý: đề nói $a,b$ nguyên dương nhưng hệ số của $\sqrt{2}$ thực tế là $-1$; theo kết quả giới hạn thì $a+b=4$.) Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{\sqrt{7\cdot 4+1006}}{2-1}=\sqrt{1034}$. Vì $1034=2\cdot 11\cdot 47$ không phải số nguyên tố nên ý a) SAI.
b) Khi $x\to 1^{-}$ thì $x-1\to 0^{-}$ nên $g(x)=\frac{\sqrt{2026}}{x-1}\to -\infty$. Ý b) ĐÚNG.
c) $2f(x)+xg(x)=\frac{2\sqrt{7x^2+1006}+x\sqrt{2026}}{x-1}$. Chia tử và mẫu cho $x$ với $x\to +\infty$: tử $\to 2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$, mẫu $\to 1$, nên giới hạn bằng $2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$. Khi đó $a=2,b=2026$ nên $a+b=2028\ne 2024$. Ý c) SAI.
d) Với $x\to -\infty$: $f(x)+g(x)=\frac{\sqrt{7x^2+1006}+\sqrt{2026}}{x-1}$, chia tử và mẫu cho $x$ (chú ý $x<0$ nên $\frac{\sqrt{7x^2+1006}}{x}\to -\sqrt{7}$) được giới hạn bằng $-\sqrt{7}$. Với $x\to 1^{-}$: $\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\sqrt{2026}}{\sqrt{7x^2+1006}}\to \frac{\sqrt{2026}}{\sqrt{1013}}=\sqrt{2}$. Tổng bằng $-\sqrt{7}+\sqrt{2}$, chọn $m=-1,n=0,p=1\in \mathbb{Z}$ và $m+n+p=0$. Ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2}f(x)=\sqrt{1034}$ với $1034=2\cdot 11\cdot 47$ không phải số nguyên tố.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x-1\to 0^{-}$ nên $g(x)\to -\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng $2\sqrt{7}+\sqrt{2026}$, khi đó $a+b=2+2026=2028\ne 2024$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai giới hạn bằng $-\sqrt{7}+\sqrt{2}$, với $m=-1,n=0,p=1$ thì $m+n+p=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{4x^2-x+9}=|2x|\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}=-2x\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}$ (vì $x<0$ nên $|2x|=-2x$). Do đó:
$$\sqrt{4x^2-x+9}+2x-1=-2x\left(\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}-1\right)-1.$$
Khi $x\to -\infty$, đặt $t=-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}\to 0$, nên $\sqrt{1+t}-1\sim \frac{t}{2}=-\frac{1}{8x}+\frac{9}{8x^2}$. Khi đó:
$$-2x\left(-\frac{1}{8x}+\frac{9}{8x^2}\right)-1\to \frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}=-0,75.$$
Vậy giới hạn bằng $-0,75$, làm tròn đến hàng phần mười ta được $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{2x^2-3x+1}{x-2}=2x+1+\frac{3}{x-2}$ (kiểm tra: $(x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2$, cộng thêm $3$ được $2x^2-3x+1$). Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{2x^2-3x+1}{x-2}-(ax+b)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(2-a)x+(1-b)+\frac{3}{x-2}\right]$. Để giới hạn hữu hạn thì $a=2$, khi đó giới hạn bằng $1-b=2025\Rightarrow b=-2023$. Vậy $a-b=2-(-2023)=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia tử và mẫu cho $11^n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3/11{)}^n+4}{11-3/11^n}=\frac{0+4}{11-0}=\frac{4}{11}$.

b) Tại $x=7$ cả tử và mẫu bằng 0 nên phân tích nhân tử: $49-x^2=(7-x)(7+x)$ và $4x^2-31x+21=(x-7)(4x-3)$. Do đó $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{(7-x)(7+x)}{(x-7)(4x-3)}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(7+x)}{4x-3}=\frac{-14}{25}$.

c) Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{5x^2+4}=|x|\sqrt{5+4/x^2}=-x\sqrt{5+4/x^2}$ và $\sqrt{x^2+x}=|x|\sqrt{1+1/x}=-x\sqrt{1+1/x}$. Chia tử và mẫu cho $x$ (lấy $-x$ ra khỏi căn):
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\sqrt{5+4/x^2}}{-\sqrt{1+1/x}}=\frac{3+\sqrt{5}}{-1}=-(3+\sqrt{5}).$$

Vậy: a) $\frac{4}{11}$; b) $-\frac{14}{25}$; c) $-(3+\sqrt{5})$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=2025>0$ nên với $x$ gần đủ sát bên phải $3$, ta có $2f(x)>0$. Khi đó $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2f(x)}{x-3}=\frac{2\cdot 2025}{0^{+}}=+\infty$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, số mũ $333$ là số lẻ nên $x^{333}\to -\infty$, do đó $3x^{333}\to -\infty$. Số hạng bậc cao nhất $3x^{333}$ trội hơn $-2x^2+5$ khi $|x|$ lớn, nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(3x^{333}-2x^2+5\right)=-\infty$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: i) Khi $x\to -2$ thì $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → mệnh đề SAI. ii) Khi $x\to -1^{-}$ thì $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-1-2=-3$ → mệnh đề ĐÚNG. iii) Khi $x\to -1^{+}$ thì $x\ge -1$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → mệnh đề ĐÚNG. iv) Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên hàm số KHÔNG tồn tại giới hạn khi $x\to -1$ → mệnh đề SAI. Vậy có 2 mệnh đề sai (i và iv), chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì giới hạn hữu hạn bằng 5 khi $x\to 2$ nên tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4+2b+c=0$. Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+bx+c}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+?)}{x-2}$, hoặc dùng đạo hàm của $x^2+bx+c$ tại $x=2$: $2\cdot 2+b=4+b=5\Rightarrow b=1$. Suy ra $c=-4-2b=-6$. Vậy $T=b+c=1-6=-5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$; ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\lim \frac{x\sqrt{3+1/x^2}}{x+1}=\sqrt{3}$. c) Sai: khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$, nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, do đó $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$. d) Sai: $f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $2+2=4\ne 0$ nên giới hạn bằng $\infty$ (không tồn tại hữu hạn), không thể bằng $\frac{1}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$ và ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\sqrt{3}$ vì $\sqrt{3x^2+1}\approx x\sqrt{3}$ khi $x\to +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$ nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, suy ra $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $4\ne 0$ nên giới hạn vô cực, không bằng $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $t$ phút, lượng nước biển bơm vào là $15t$ lít, chứa lượng muối $30\cdot 15t=450t$ (g). Thể tích nước trong hồ là $V(t)=600+15t$ (lít). Nồng độ muối trong hồ tại thời điểm $t$ là $$C(t)=\frac{450t}{600+15t}.$$ Khi $t\to +\infty$: $$\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{450t}{600+15t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{450}{\frac{600}{t}+15}=\frac{450}{15}=30.$$ Vậy nồng độ muối trong hồ sẽ tiến gần đến $30g/l$ (bằng nồng độ muối của nước biển) khi thời gian dần về dương vô cùng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}-x\right)$. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+5x}-x=\frac{(x^2+5x)-x^2}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}+x}=\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+1}$$
Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{5}{x}\to 0$, nên giới hạn bằng $\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}$.

b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+9n}{n^3-2n-2025}$. Chia tử và mẫu cho $n^3$:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{5}{n}+\frac{9}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}-\frac{2025}{n^3}}=\frac{0+0}{1-0-0}=0.$$

Vậy a) $\frac{5}{2}$; b) $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn hữu hạn: $\underset{x\to 2}{\lim }[f(x)+g(x)]=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)+\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=4+1=5$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{-}$ thì tử số $3x+2\to 5>0$ và mẫu số $x-1\to 0^{-}$ (âm). Do đó $\frac{3x+2}{x-1}\to \frac{5}{0^{-}}=-\infty$. Vậy $P=-\infty$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, đặt $t=-x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+7ax+5}+x=\sqrt{t^2-7at+5}-t=t\left(\sqrt{1-\frac{7a}{t}+\frac{5}{t^2}}-1\right)\to t\cdot \left(-\frac{7a}{2t}\right)=-\frac{7a}{2}$. Theo đề $-\frac{7a}{2}=-3\Rightarrow a=\frac{6}{7}\approx 0,86$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5}{9n^2+n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n^2}}{9+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{9}.$$

b) Đặt $x=-t$ với $t\to +\infty$ (do $x\to -\infty$):
$$\sqrt{x^2+7x+5}+2x=\sqrt{t^2-7t+5}-2t=t\left(\sqrt{1-\frac{7}{t}+\frac{5}{t^2}}-2\right).$$
Khi $t\to +\infty$ thì $\sqrt{1-\frac{7}{t}+\frac{5}{t^2}}\to 1$, nên biểu thức trong ngoặc tiến về $1-2=-1$, do đó:
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+7x+5}+2x\right)=-\infty .$$

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 3^{+}$ thì $x-3\to 0^{+}$ (dương), do đó $\frac{5}{x-3}$ là phân số có tử số dương cố định $5$ và mẫu số dương tiến tới $0$, nên $\frac{5}{x-3}\to +\infty$. Vậy $L=+\infty$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của giới hạn: $\underset{x\to 2}{\lim }\left[2f(x)-g(x)\right]=2\underset{x\to 2}{\lim }f(x)-\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=2\cdot 5-6=4$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{x^2+3x}=|x|\sqrt{1+3/x}=-x\sqrt{1+3/x}$ (vì $x<0$ nên $|x|=-x$). Do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1+3/x}}{2024x+1}=\frac{-1}{2024}$. Vậy $\underset{x\to -\infty }{\lim }[g(x)-1]=-\frac{1}{2024}-1=-\frac{2025}{2024}$. Đáp án A.