Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Trên $[1;3]$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=0\iff x=2$. Ta có $f(1)=5$, $f(2)=4$, $f(3)=\frac{13}{3}$. Vậy ${\min }_{[1;3]}f(x)=4$ và ${\max }_{[1;3]}f(x)=5$, tích bằng $4\cdot 5=20$.

Quan sát đồ thị trên đoạn $[-1;3]$, ta có $M=2$ và $m=-3$, suy ra $M^2+m^2=2^2+(-3{)}^2=13$.

Chọn C.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Trên $[0;1]$, $f^{\prime }(x)=4x^3-x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Ta có $f(0)=1,f(1)=\frac{3}{2},f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{16}$, suy ra $M=\frac{3}{2},m=\frac{15}{16}\Rightarrow 2M-3m=3-\frac{45}{16}=\frac{3}{16}$.

Chọn B.
Xét hàm số $y=(50-x)e^x$ trên đoạn $[0;50]$. Ta có $y^{\prime }=(49-x)e^x=0⟺x=49\in [0;50]$.
Tính các giá trị: $y(0)=50$, $y(49)=e^{49}$, $y(50)=0$.
Suy ra $M=e^{49}$ và $m=0⟹M+m=e^{49}$.

Hàm số liên tục trên $[0;4]$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2(1)-(-1)(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\in [0;4]$. Do đó hàm số đồng biến trên $[0;4]$. Suy ra $m={\min }_{[0;4]}f(x)=f(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $M={\max }_{[0;4]}f(x)=f(4)=\frac{2(4)-1}{4+1}=\frac{7}{5}$. Khi đó $5M-3m=5\left(\frac{7}{5}\right)-3(-1)=7+3=10$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Chọn A
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có giá trị lớn nhất trên  -3; 2 là M = 2 và giá trị nhỏ
nhất trên  -3; 2 là m = -4 .

Suy ra: 2 M - m = 2 $\cdot$ 2 - ( -4 ) = 8 .

Xét $f(x)=x^3-2x^2+x-2$ trên đoạn $[0;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Cả hai điểm đều thuộc $[0;2]$. Tính giá trị: $f(0)=-2,f(2)=0,f(1)=-2,f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{50}{27}$. Giá trị lớn nhất là ${\max }_{[0;2]}f(x)=f(2)=0$.

Chọn A
Hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  0; 2 .

f ' ( x ) = 6 x 2 - 10 x + 4 .

x = 1 $\in$  0; 2
f ' ( x ) = 0 $\iff$ 6 x - 10 x + 4 = 0 $\iff$
2
.
x = 2 $\in$  0; 2
3

2 26
y ( 0 ) = -2; y (1) = -1; y   = - ; y ( 2 ) = 2 .
3 27

Vậy min f ( x ) = y ( 0 ) = -2 .
0;2

5 5 5

Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Tính $f(-1)=5$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{23}{27}$, $f(1)=1$, $f(2)=-1$. Vậy ${\max }_{[-1;2]}f(x)=5$.

Trên đoạn $[-1;2]$, từ bảng biến thiên ta có $M={\max }_{[-1;2]}f(x)=f(-1)=3$ và $m={\min }_{[-1;2]}f(x)=f(0)=0$. Vậy $M+m=3+0=3$. Chọn C.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn $[1;2]$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1;2]$ đạt tại $x=1$:
${\min }_{[1;2]}y=y(1)=1^3+2(1)+m=3+m.$
Theo bài ra, ${\min }_{[1;2]}y=5\iff 3+m=5\iff m=2$.

Chọn đáp án C.

Hàm số xác định và liên tục trên $[0;1]$. Ta có:
$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+6)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}$
Cho $y^{\prime }=0⟺x^2-4x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$ (loại vì không thuộc $[0;1]$).

Tính giá trị tại hai đầu mút:
$y(0)=\frac{6}{-2}=-3,y(1)=\frac{1-3+6}{1-2}=-4$
Suy ra $M={\max }_{[0;1]}y=-3$, $m={\min }_{[0;1]}y=-4$.

Vậy $M+2m=-3+2(-4)=-11$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{1(2-x)-(x-1)(-1)}{(2-x{)}^2}=\frac{1}{(2-x{)}^2}>0,\forall x\in [3;4]$.
Do đó hàm số đồng biến trên $[3;4]$.
Giá trị nhỏ nhất là $y(3)=\frac{3-1}{2-3}=\frac{2}{-1}=-2$.
Chọn đáp án D.

Dựa vào đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ ta có ${\max }_{[0;4]}f(x)=f(3)=2$ và ${\min }_{[0;4]}f(x)=f(4)=-4$, nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng $2+(-4)=-2$. Chọn C.

a) Đúng vì $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
b) Đúng vì $3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
c) Sai vì $f(1)=1^3-3\cdot 1+9=7\ne 9$.
d) Sai vì trên $[-2;2]$, $f(-2)=7,f(-1)=11,f(1)=7,f(2)=11$, nên giá trị nhỏ nhất trên $[-2;2]$ bằng $7$ (còn $11$ là giá trị lớn nhất).

Trên đoạn $[2;5]$, $f^{\prime }(x)=-\frac{5}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;5]$. Vậy ${\max }_{[2;5]}f(x)=f(2)=\frac{2\cdot 2+3}{2-1}=7$. Chọn C.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Hàm số xác định trên $[2;4]$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=-1\notin [2;4]</td></tr><tr><td>x=3\in [2;4]</td></tr></tbody></table>$.

Ta có $y(2)=7,y(3)=6,y(4)=\frac{19}{3}$.

Vậy ${\max }_{[2;4]}y=7$.

Dựa vào đồ thị trên đoạn $[-1;3]$, ta thấy giá trị lớn nhất là $M=3$ (đạt tại $x=3$), và giá trị nhỏ nhất là $m=-2$ (đạt tại $x=2$). Do đó $M\cdot m=3\cdot (-2)=-6$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6>0$ với mọi $x$. Do đó hàm số đồng biến trên $[-5;0]$, suy ra ${\max }_{[-5;0]}y=y(0)=7$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.