Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Xét các số phức $z=x+yi$, $(x,y\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $4(z-\overline{z})-15i=i(z+\overline{z}-1{)}^2$. Khi $\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, tổng $S=8(x+y)$ bằng

Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$, $|w-3+2i|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|z^2-2z(w+3-4i)-4\right|$.

Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $z\overline{w}+\overline{z}w=4$, $|z+w|=3$. Gọi $M,m$ tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=|3z-w|+|z-3w|$. Giá trị của $M^2+2m$ bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a;b)$ thỏa mãn $a<5$ và hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+x^2-3$ có $\underset{\mathbb{R}}{\min }f(x)=f(0)$?

Trên tập số phức xét phương trình $z^2+2mz+4m+8=0$ ($m\in \mathbb{R}$). Khi phương trình không có nghiệm thực, gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z_1^2-z_2^2|$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=3$, $|z+i\overline{w}|=5$ và $zw$ là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+i|$ bằng

Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn: ${\log }_2\left(\frac{4(2x+y)}{x^2+y^2+4}\right)=(x-2{)}^2+(y-1{)}^2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{3x}{y+2}$.

Gọi $z_1,z_2$ là hai số phức khác nhau thỏa mãn $|(1+i)z+7+i|=2\sqrt{2}$ và $\frac{z_1}{z_2}$ là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z_1{|}^2+4|z_2{|}^2$ là

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 9 x3 + 2 − y 3xy − 8 x + 2 3xy − 8 =0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu a 6 +b thức P= x3 + y 3 + 9 xy + ( 9 x 2 + 5 ) ( x + y − 3) có dạng . Tính T= a + b . 9

Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn điều kiện $|z|(1+2i)-2-i=\frac{2z}{w-i}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức $v=2w+1-i$. Tổng $M-m$ bằng

Từ một mảnh bìa hình chữ nhật $ABCD$ có đường chéo $AC=1$, ta lấy $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AD=4AN$. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh $AB$ trùng với cạnh $CD$ tạo thành một hình trụ. Tìm độ dài cạnh $BC$ của tấm bìa sao cho thể tích của tứ diện $ABMN$ đạt giá trị lớn nhất (với các đỉnh $A,B,M,N$ nằm trên hình trụ vừa tạo thành).

Biết A  x A ; y A  , B  xB , yB  là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y  sao x 1 cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Tính P  y A2  yB2  x A xB .

Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=6$ và $ab\le 0$. Xét $z_1$ và $z_2$ thuộc $S$ sao cho $\frac{z_1-z_2}{-1+i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_1+3i|+|z_2|$ bằng

Câu 3. Một nhà địa chất học đang ở địa điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ (cũng ở trên sa mạc) và cách $A$ một khoảng bằng $70\text{ km}$. Trong sa mạc, xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc $30\text{ km/h}$. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $2$ giờ, vì vậy nếu anh ta đi thẳng từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. Rất may, có một con đường nhựa song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $10\text{ km}$ (tham khảo hình vẽ). Trên đường nhựa đó, xe nhà địa chất có thể di chuyển với vận tốc $50\text{ km/h}$. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút?

Cho các số thực x, y thỏa mãn e x + 2 y + e xy ( x 2 − xy + y 2 − 1) − e1+ xy + y =0 . Gọi M , m lần 1 lượt là GTLN, GTNN của biểu thức P = . Tính M − m . 1 + xy 1

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-i|=\sqrt{13}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $2|z+1+i|+3|z-5-3i|$ bằng

Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham ( x) số m thuộc đoạn [0; 20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số g= 2 f ( x ) + m − 2 − f ( x ) trên đoạn [−1;1] không bé hơn 2 ?

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|w|=6,|iw-\bar{z}|=10$ và $z\cdot w$ là số thực. Giá trị lớn nhất của $P=\left|i(\bar{z}+1)+w\right|$ thuộc khoảng nào sau đây?

Xét hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+2z_2|=2$ và $|2z_1-3z_2-7i|=4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z_1-2i|+|z_2+i|$ bằng:

Cho số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $(3+2i)|z|=\frac{z}{iw-1+3i}+1-i$. Tính giá trị lớn nhất của $T=|w|$