Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Xét hàm số $g(x)=x^3-3x^2+m$ trên $[1;3]$:
- $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=2\in [1;3]$ (loại $x=0$).
- $g(1)=m-2$.
- $g(2)=m-4$.
- $g(3)=m$.
Do đó trên $[1;3]$, ta có $m-4\le g(x)\le m$.
Để ${\max }_{[1;3]}|g(x)|\le 4$ thì $-4\le g(x)\le 4,\forall x\in [1;3]$:
$⟺\{\begin{array}{l}m-4\ge -4\\ m\le 4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le 4\end{array}⟺0\le m\le 4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2,3,4\}$, có đúng 5 giá trị nguyên của $m$. Chọn A.

Xét $y=\frac{x+1}{x^2+2}⟺y{x}^2-x+2y-1=0$, có $\Delta =1-4y(2y-1)=-8y^2+4y+1\ge 0⟹y\le \frac{1+\sqrt{3}}{4}\approx 0,683$. Vậy số nguyên $a$ nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là $a=1$. Chọn đáp án C.

Vì $a,b,c\ge 0$ nên $abc\ge 0⟹P=4-abc\le 4$ (đạt được khi $c=0,a^2+b^2=4$). Mặt khác, từ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ suy ra $abc\le 1$ (đạt được khi $a=b=c=1$), do đó $P=4-abc\ge 3$. Vậy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P$ lần lượt là $3$ và $4$. Chọn đáp án B.

Xét hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2$ trên đoạn $[-1;1]$:
- Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
- Cho $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0\in [-1;1]</td></tr><tr><td>x=2\notin [-1;1]</td></tr></tbody></table>$.
Tính các giá trị:
- $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2=-4$.
- $f(0)=0$.
- $f(1)=1^3-3(1{)}^2=-2$.
So sánh các giá trị, ta có ${\max }_{[-1;1]}y=f(0)=0$. Chọn B.

Chọn A.
Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $[-2;2]$, điểm thấp nhất của đồ thị có tọa độ $(-1;-4)$, do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là $-4$, tức ${\min }_{[-2;2]}f(x)=-4$.

Chọn B.
Với $z=0$ không thỏa mãn giả thiết. Với $z\ne 0$, chia hai vế cho $z$ ta được:
$\frac{1}{w-1}=3-i-\frac{1-i}{z}=(3-i)+\frac{i-1}{z}$.
Ta có $|w-1|=\frac{1}{|(3-i)+\frac{i-1}{z}|}$.
Áp dụng bất đẳng thức mô đun:
$T=|w+i|=|(w-1)+(1+i)|\le |w-1|+|1+i|=|w-1|+\sqrt{2}$.
Khảo sát biểu thức, ta tìm được giá trị lớn nhất của $T$ là $T_{max}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Từ hình vẽ, chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp sau khi gập là $x,6-x,12-2x$ với $0<x<6$.
Thể tích hộp: $V=x(6-x)(12-2x)=2x(6-x)(6-x)$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $2x(6-x)(6-x)\le {\left(\frac{2x+6-x+6-x}{3}\right)}^3=4^3=64$.
Dấu bằng xảy ra khi $2x=6-x\iff x=2$.
Khi đó thể tích cực đại của hộp là $V=64$.
Thể tích chocolate nguyên chất chiếm $\frac{3}{4}$ thể tích hộp: $V_0=\frac{3}{4}\cdot 64=48$ (đvtt).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki: $f(x)\le \sqrt{(1+1)(x-1+5-x)}=2\sqrt{2}$, dấu bằng xảy ra khi $x=3\in [1;5]$. Chọn C.

Gọi $x$ là số lần tăng giá $100.000$ đồng ($0\le x\le 40$). Doanh thu là $R(x)=(40-x)(3+0,1x)=-0,1x^2+x+120$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=5$, tương ứng giá thuê là $\mathrm{3.500.000}$ đồng/tháng. Chọn C.

Tập xác định trên $[2;3]$ là xác định. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{-2-m}{(x-1{)}^2}$.
Để hàm số đơn điệu trên $[2;3]$ thì $m\ne -2$.
Khi đó hàm số đơn điệu trên $[2;3]$, nên GTLN và GTNN chỉ có thể đạt tại hai đầu mút $x=2$ và $x=3$:
$f(2)=m+4$
$f(3)=\frac{m+6}{2}$
Do đó:
${\max }_{[2;3]}f(x)-{\min }_{[2;3]}f(x)=|f(2)-f(3)|=\left|m+4-\frac{m+6}{2}\right|=\left|\frac{m+2}{2}\right|$.
Theo giả thiết:
$\left|\frac{m+2}{2}\right|=2⟺|m+2|=4⟺[<table><tbody><tr><td>m+2=4</td></tr><tr><td>m+2=-4</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=2</td></tr><tr><td>m=-6</td></tr></tbody></table>$
Tổng các giá trị của $m$ là $2+(-6)=-4$. Chọn A.

Với $x\in [0;2]$, đặt $u(x)=x^3+x$. Vì $u^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ nên $u(x)$ đồng biến trên $[0;2]$, suy ra $u(x)\in [u(0);u(2)]=[0;10]$.
Do đó ${\max }_{x\in [0;2]}f(x^3+x)={\max }_{u\in [0;10]}f(u)=f(2)=4$, đạt tại $u=2⟺x^3+x=2⟺x=1$.
Xét hàm số $v(x)=-x^2+2x+m$ trên $[0;2]$. Ta có $v^{\prime }(x)=-2x+2=0⟺x=1$.
Do đó $v(x)$ cũng đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ với ${\max }_{[0;2]}v(x)=v(1)=1+m$.
Vì cả $f(x^3+x)$ và $v(x)$ đều đạt giá trị lớn nhất tại cùng một điểm $x=1\in [0;2]$, nên:
${\max }_{x\in [0;2]}g(x)=g(1)=f(2)+v(1)=4+(1+m)=5+m$.
Theo bài ra: $5+m=8⟺m=3$. Chọn D.

Ta có $f^{\prime }(x)=2-\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi x}{2}\ge 2-\frac{\pi }{2}>0,\forall x\in [-2;2]$. Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[-2;2]$, suy ra $m=f(-2)=-4+\cos (-\pi )=-5$ và $M=f(2)=4+\cos \pi =3$. Vậy $m+M=-5+3=-2$. Chọn đáp án D.

Từ $|z|=2\Rightarrow z\overline{z}=4$, suy ra $T=|z^2-wz-4|=|z^2-wz-z\overline{z}|=|z|\cdot |z-\overline{z}-w|=2|z-\overline{z}-w|$. Đặt $z=a+bi$ ($a^2+b^2=4\Rightarrow b\in [-2;2]$) thì $z-\overline{z}=2bi$. Mặt khác $|iw-2+5i|=1\iff |w+5+2i|=1$, nên nếu đặt $w=c+di$ thì $(c+5{)}^2+(d+2{)}^2=1\Rightarrow c\in [-6;-4]$. Khi đó $T=2\sqrt{c^2+(2b-d{)}^2}\ge 2|c|\ge 2\cdot 4=8$. Dấu bằng xảy ra khi $c=-4,d=-2,b=-1,a=\pm \sqrt{3}$. Chọn đáp án A.

Xét $g(x)=x^3-3x+m$ trên $[-1;1]$. Có $g^{\prime }(x)=3x^2-3\le 0,\forall x\in [-1;1]$, nên $g(x)$ nghịch biến trên $[-1;1]$.
Ta có: $g(-1)=m+2$ và $g(1)=m-2$.
Hàm số $y=[g(x){]}^2\ge 0$. Để giá trị nhỏ nhất của $y$ trên $[-1;1]$ bằng 1 thì phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm trên $[-1;1]$, đồng thời:
- Trường hợp 1: $g(x)\ge 1,\forall x\in [-1;1]\iff g(1)=m-2=1\iff m=3$. Khi đó ${\min }_{[-1;1]}y=1^2=1$.
- Trường hợp 2: $g(x)\le -1,\forall x\in [-1;1]\iff g(-1)=m+2=-1\iff m=-3$. Khi đó ${\min }_{[-1;1]}y=(-1{)}^2=1$.
Tổng tất cả các giá trị của $m$ là $3+(-3)=0$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$. Cho $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1\in [0;2]</td></tr><tr><td>x=\frac{1}{3}\in [0;2]</td></tr></tbody></table>$
Tính các giá trị:
$f(0)=-2$
$f(1)=-2$
$f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{50}{27}$
$f(2)=0$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ là ${\max }_{[0;2]}y=0$ tại $x=2$. Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho tia $Oy$ chứa bờ $AE$, tia $Ox$ chứa bờ $BC$, với đơn vị đo là $10\text{ m}$.
Khi đó:
- Điểm $A$ có tọa độ $(0;4)$ và điểm $B$ có tọa độ $(2;0)$.
- Bờ $AB$ là parabol có đỉnh $A(0;4)$ và trục đối xứng $Oy$: phương trình $(P):y=4-x^2$ với $x\in [0;2]$.
- Tâm mảnh vườn là điểm $I(4;3)$, bán kính vườn là $R=1$ (tương ứng $10\text{ m}$).
Chiều dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng cách nhỏ nhất từ tâm $I$ đến bờ $AB$ trừ đi bán kính $R$:
$l_{\min }={\min }_{N\in (P)}IN-R$.
Với điểm $N(x;4-x^2)\in (P)$ ($x\in [0;2]$):
$I{N}^2=(x-4{)}^2+(4-x^2-3{)}^2=(x-4{)}^2+(1-x^2{)}^2=x^4-x^2-8x+17$.
Xét hàm số $f(x)=x^4-x^2-8x+17$ trên đoạn $[0;2]$:
$f^{\prime }(x)=4x^3-2x-8=0⟺x\approx 1,3917$.
Giá trị nhỏ nhất là $f(1,3917)\approx 7,68⟹\min IN=\sqrt{7,68}\approx 2,77$ (đơn vị $10\text{ m}$, tức $27,7\text{ m}$).
Chiều dài ngắn nhất của cầu là: $l=27,7-10=17,7\text{ m}$. Chọn A.

Xét hàm số $g(x)=f(x+2018)+2019x$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2018)+2019$.
$g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x+2018)=-2019$.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(x)$, ta có bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$:
- Trên khoảng $(-\infty ;0)$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ nên $f^{\prime }(x)$ đồng biến tăng từ $-\infty$ lên $f^{\prime }(0)=3$. Vì $-2019<3$ nên tồn tại duy nhất số $a<0$ sao cho $f^{\prime }(a)=-2019$.
- Trên khoảng $(0;2)$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ nên $f^{\prime }(x)$ nghịch biến giảm từ $3$ xuống $f^{\prime }(2)=-2019$.
- Trên khoảng $(2;+\infty )$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ nên $f^{\prime }(x)$ đồng biến tăng từ $-2019$ lên $+\infty$.
Do đó phương trình $f^{\prime }(t)=-2019$ có hai nghiệm là $t=a<0$ và $t=2$.
Suy ra phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x+2018=a</td></tr><tr><td>x+2018=2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=a-2018<-2018</td></tr><tr><td>x=-2016</td></tr></tbody></table>$
Lập bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$:
- Khi $x<a-2018$, $t<a⟹f^{\prime }(t)<-2019⟹g^{\prime }(x)<0$.
- Khi $a-2018<x<-2016$, $a<t<2⟹f^{\prime }(t)>-2019⟹g^{\prime }(x)>0$.
- Khi $x>-2016$, $t>2⟹f^{\prime }(t)>-2019⟹g^{\prime }(x)>0$.
Do đó $g(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;a-2018)$ và đồng biến trên $(a-2018;+\infty )$.
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0=a-2018\in (-\infty ;-2018)$. Chọn A.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=2x+2>0$ với mọi $x\in [0;3]$.
Do đó hàm số đồng biến trên $[0;3]$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=3$.
${\max }_{[0;3]}f(x)=f(3)=3^2+2(3)+3=18$.

Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức và khảo sát hàm số theo biến thích hợp, giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ đạt được là $16$.

Chọn C.
Áp dụng phương pháp hình học và bất đẳng thức tam giác trong mặt phẳng phức, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $P$ là $4\sqrt{2}$.