Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (theo hình vẽ, $E,F,G,H$ là các đỉnh dưới, $A,B,C,D$ là các đỉnh trên): $CG$ là cạnh bên nên song song với $HE$ (cũng là cạnh bên), do đó $CG$ không thể cắt $HE$ — mệnh đề A sai. Xét các mệnh đề còn lại: $BF$ là cạnh bên, $AD$ nằm trên mặt trên, không song song và không đồng phẳng nên chéo nhau (B đúng); $AB$ song song với $DC$ và $DC$ song song với $HG$ nên $AB\parallel HG$ (C đúng); $BG$ và $HD$ không đồng phẳng, không song song nên chéo nhau (D đúng). Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$; $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{G^{\prime }}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G^{\prime }G}=\vec{G}-\overrightarrow{G^{\prime }}=\frac{\vec{C}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $G{G}^{\prime }\parallel AC$, hai đường thẳng này không trùng nhau vì $G$ không nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ chứa $AC$ ($G$ nằm trong mặt $(BCD)$). Do đó khẳng định đúng là A. Khẳng định B, C, D sai vì $G{G}^{\prime }$ song song với $AC$ chứ không song song, chéo hay cắt $AB/AC$ theo cách khác.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}$; K là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\vec{K}=\frac{\vec{S}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{GK}=\vec{K}-\vec{G}=\frac{\vec{C}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $GK\parallel AC$, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) và $I$ là trung điểm $SA$. Vậy $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OI\parallel SC$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$) và $I$ là trung điểm $SA$. Vậy $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OI\parallel SC$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Do đó $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B. (Lưu ý: $MN$ không song song với $(SBD)$ vì $MN\parallel AC$ và $AC$ cắt $(SBD)$ tại giao điểm của hai đường chéo đáy.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. A, B sai vì $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, cắt $SA$ tại $M$ và không qua $S$ nên không song song với $SA$ hay $SD$. C sai vì $MN$ không song song với mặt phẳng $(SBD)$ (nó cắt $(SBD)$ tại giao điểm với đường thẳng $AC$ nằm trong $(SBD)$... thực chất $MN$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ nên không song song). Khớp đáp án mã đề 1103: câu 1 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B (khớp đáp án mã đề 1102).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B. (A sai vì $MN$ cắt $SA$ tại $M$; D sai vì $MN$ không song song $SD$; C sai vì $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, mặt này cắt $(SBD)$ theo giao tuyến không song song với $MN$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F\in SA$, $H\in SD$ nên $FH\subset (SAD)$. Đường thẳng $CD$ không nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ và chỉ cắt mặt phẳng này tại điểm $D$. Mặt khác $FH$ không đi qua $D$ (vì $F$ nằm trong đoạn $SA$, $H$ nằm trong đoạn $SD$, nên $FH$ cắt $SD$ tại $H\ne D$). Do đó $FH$ và $CD$ không nằm trong cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau, tức là chúng chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$ (khẳng định D đúng). $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, còn $BC\parallel AD\subset (SAD)$ nhưng $BC\not\subset (SAD)$, do đó $SA$ và $BC$ chéo nhau (A đúng). Tương tự $AB$ và $SC$: $AB\subset (ABCD)$, $SC$ chỉ có điểm $C$ chung với mặt phẳng đáy mà $C\notin AB$, nên $AB$ chéo nhau $SC$ (B đúng). Với $SD$ và $BC$: $S\notin (ABCD)$, $D\in (ABCD)$ nhưng $D\notin BC$, nên $SD$ và $BC$ chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định C là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$. Khẳng định A đúng. Các khẳng định B, C, D sai vì $MN$ không song song với $AD$ (mà song song với $AB$); $MG$ và $NG$ không tạo thành đường trung bình song song với $BC$ hay $AD$ trong mặt phẳng nào tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$. Các khẳng định B, C, D không đúng vì $MN$ chỉ song song với $AB$ (tức $CD$), còn $MG$, $NG$ không tạo thành các đường trung bình tương ứng song song với $BC$ hay $AD$. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $MN$ và $AD$: $MN$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (vì $MN\parallel BC$, $BC\subset (BCD)$), còn $AD$ không nằm trong $(BCD)$. Giao điểm của $AD$ với $(BCD)$ là điểm $D$, mà $D\notin MN$ (vì $MN\parallel BC$ và $D$ không thuộc đường thẳng qua $MN$ song song $BC$). Đồng thời $AD$ không song song với $BC$ (vì $AD$ cắt $BC$ không đồng phẳng trong tứ diện). Vậy $MN$ và $AD$ không song song, không cắt nhau mà chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 8 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Đối chiếu với đáp án đề 101 Phần II Câu 1: Đ S S S, khớp với phân tích độc lập. a) Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung (không đồng phẳng hoặc đồng phẳng không cắt nhau) → đúng. b) Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba có thể song song hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình hộp, các cạnh khác nhau cùng song song một cạnh) → sai. c) Nếu $a\parallel b$ và $b\subset (P)$ thì $a$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó không song song với $(P)$) hoặc song song với $(P)$; thiếu điều kiện $a\not\subset (P)$ → sai. d) Nếu $(P)$ chứa $a$, $b$ nhưng $a\parallel b$ (không cắt nhau) thì không kết luận được $(P)\parallel (Q)$; điều kiện đúng phải là $a,b$ cắt nhau và cùng song song $(Q)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hai đường thẳng song song không có điểm chung.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba có thể song song hoặc chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu điều kiện $a\not\subset (P)$; $a$ có thể nằm trong $(P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\parallel b$ thì không kết luận được $(P)\parallel (Q)$; cần $a,b$ cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $MN$ và $CD$: giả sử $MN$ và $CD$ đồng phẳng thì vì $MN\parallel BC$ nên mặt phẳng $(MNC)$ chính là $(ABC)$, khi đó $CD\subset (ABC)$, mâu thuẫn vì $D$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ (tứ diện). Vậy $MN$ và $CD$ không đồng phẳng. Chúng cũng không song song (vì $MN\parallel BC$ mà $BC$ cắt $CD$ tại $C$) và không cắt nhau (không đồng phẳng). Do đó $MN$ và $CD$ chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC$ và $BC$: vì $AD\parallel BC$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$, do đó $SC$ và $AD$ không thể cắt nhau (chúng chéo nhau). Vậy khẳng định C là sai. Các khẳng định còn lại đúng: $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình bình hành nên cắt nhau; $SA$ và $BD$ chéo nhau vì $A\notin (BCD)$; $AB\parallel CD$ do $ABCD$ là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác $ABC$, trọng tâm $I$ thỏa $\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$. Trong tam giác $ABD$, trọng tâm $J$ thỏa $\overrightarrow{MJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MD}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $\overrightarrow{IJ}$ cùng phương với $\overrightarrow{CD}$, tức $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{3}CD$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1111: B).

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm $CD$ và $N$ thuộc $BC$ nên cả $M$, $N$ đều nằm trong mặt phẳng $(BCD)$, do đó đường thẳng $MN$ nằm trong $(BCD)$. Đường thẳng $AC$ chỉ cắt mặt phẳng $(BCD)$ tại điểm $C$. Nếu $AC$ cắt hoặc song song với $MN$ thì $C$ phải thuộc $MN$ (khi cắt) hoặc $AC\parallel (BCD)$ (khi song song, vô lý vì $C\in (BCD)$). Vì $N\ne C$ (do $NC=BC/3$) và $M\ne C$ nên $MN$ không đi qua $C$, do đó $AC$ không cắt $MN$. $AC$ cũng không song song với $MN$ vì $AC$ cắt $(BCD)$ tại $C$. Vậy $AC$ và $MN$ chéo nhau. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel AB$. Vậy $MN$ không chéo nhau với $AB$ (song song), cũng không chéo nhau với $AD$, $BD$ vì cùng nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và cắt (hoặc song song) các đường thẳng đó. Xét $CB$: $CB$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ còn $MN$ nằm trong $(ABD)$; hai mặt phẳng này cắt nhau theo $BD$. Nếu $CB$ cắt $MN$ thì $CB$ phải cắt mặt phẳng $(ABD)$ tại điểm nằm trên $MN$, nhưng $CB$ chỉ cắt $(ABD)$ tại $B$, mà $B\notin MN$ (vì $MN\parallel AB$, $B\in AB$). Vậy $CB$ và $MN$ không cắt nhau, cũng không song song (vì $CB$ không song song $AB$ nói chung trong tứ diện). Do đó $MN$ chéo nhau với $CB$.