Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

Gọi $t$ (giờ) là thời gian tàu $B$ đi từ lúc khởi hành đến $B_1$. Khi đó: quãng đường $B{B}_1=8t$ (hải lí), $A{B}_1=10-8t$ (hải lí). Do tàu $A$ và $B$ đồng thời cùng khởi hành nên quãng đường $A{A}_1=7t$ (hải lí). Sau thời gian t (giờ) thì khoảng cách giữa hai tàu là $$A_1{B}_1=\sqrt{(7t{)}^2+(10-8t{)}^2}=\sqrt{113t^2-160t+100}\text{ (hải lıˊ)}$$ Để $A_1{B}_1$ ngắn nhất khi $t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-160)}{2.113}\approx 0,71$ (giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trục $Ox$ là mặt đất, điểm $F$ nằm trên $Ox$ tại gốc (gần $O$) và $E$ là giao điểm của parabol với $Ox$. Parabol có đỉnh $C(1;7)$ nên có dạng $y=a(x-1{)}^2+7$. Qua $A(0;2)$: $2=a+7\Rightarrow a=-5$, tức $y=-5(x-1{)}^2+7$. Viên bi chạm đất khi $y=0$: $(x-1{)}^2=\frac{7}{5}\Rightarrow x=1\pm \sqrt{1,4}$. Lấy nghiệm dương (điểm $E$): $x_E=1+\sqrt{1,4}\approx 2,1832$. Vì $F$ nằm tại gốc $O$ trên mặt đất nên $EF=OE\approx 2,18$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Oy trùng trục đối xứng của cổng, gốc O tại trung điểm chân cổng. Parabol (P): y = ax² + c với đỉnh (0;4) nên c = 4; chân cổng A(-4;0), B(4;0) nên 16a + 4 = 0 ⇒ a = -1/4. Vậy (P): y = -x²/4 + 4 (a < 0). a) Sai vì parabol quay xuống nên a < 0, không phải a > 0. b) Cửa rộng bằng nửa chiều rộng cổng: 8/2 = 4 m ⇒ đúng. c) Người đứng cách B 1 m nên tại x = 3: y = -9/4 + 4 = 1,75 m ≠ 2,75 m ⇒ sai. d) Cửa rộng 4 m, hai cạnh trên tại x = ±2 có chiều cao y = -1 + 4 = 3 m, diện tích = 4·3 = 12 m², giá sơn = 12·160000 = 1.920.000 đồng ⇒ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0; cụ thể (P): y = -x²/4 + 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng cửa = 8/2 = 4 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại x = 3 (cách B 1 m): y = -3²/4 + 4 = 1,75 m, không phải 2,75 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cửa rộng 4 m, cao 3 m (tại x = ±2, y = 3), diện tích 12 m², tiền sơn = 12 × 160000 = 1.920.000 đồng.

Lời giải:

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

Ta có $AB.AD=25\left(m^2\right)$; $\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}$. Đặt

$\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}=x\Rightarrow NH=x.AB;AN=(1-x)AD$

Diện tích đất trồng cỏ là:

$S=AN.NH=x.(1-x).AB.AD=25.x.(1-x)=-25x^2+25x$ — 0,5

Diện tích đất trồng cỏ lớn nhất $S=\frac{1}{4}.25=\frac{25}{4}$ — 0,25

(Diện tích lớn nhất tại tung độ đỉnh của hàm số bậc hai)

Số tiền lớn nhất để trồng cỏ: $T=\frac{25}{4}.100000=625000$ đồng. — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá vé là $x$ (nghìn đồng), với $0<x\le 100$. Số khán giả đến sân: khi giá giảm mỗi 10 nghìn đồng thì thêm 3 000 người, tức giảm mỗi 1 nghìn đồng thêm 300 người, nên số khán giả là $24000+300(100-x)$. Ràng buộc sức chứa: $24000+300(100-x)\le 60000\iff x\ge 40$. Doanh thu: $T(x)=x\left[24000+300(100-x)\right]=300x(180-x)=-300x^2+54000x$. Hàm số bậc hai với đỉnh tại $x=\frac{54000}{600}=90$, thuộc khoảng $[40;100]$. Vậy doanh thu lớn nhất khi giá vé $x=90$ nghìn đồng, khi đó số khán giả là $24000+300\cdot 10=27000$ người và doanh thu $T=90\cdot 27000=2430000$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (90).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol $v=a(t-2{)}^2+9$ (đỉnh $I(2;9)$, trục đối xứng $t=2$). Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm $(0;6)$ nên $6=a(0-2{)}^2+9\Rightarrow 4a=-3\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$. Vậy $v(t)=-\frac{3}{4}(t-2{)}^2+9$. Tại thời điểm 2 giờ 30 phút, tức $t=2,5$ h: $v(2,5)=-\frac{3}{4}(0,5{)}^2+9=-\frac{3}{16}+9=8,8125\approx 8,81$ km/h. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa đề về dạng $y=a(t-3{)}^2+21$ vì đỉnh parabol tại $t=3$, $y=21$. Do bóng được đá từ mặt đất: $y(0)=0\Rightarrow 9a+21=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$. Vậy $y=-\frac{7}{3}(t-3{)}^2+21$. Yêu cầu $y>10$: $-\frac{7}{3}(t-3{)}^2+21>10\iff (t-3{)}^2<\frac{33}{7}\approx 4,714\iff |t-3|<\sqrt{33/7}\approx 2,171$. Suy ra $0,829<t<5,171$. Với $t$ nguyên, giá trị lớn nhất là $t=5$ (kiểm tra: $y(5)=-\frac{7}{3}\cdot 4+21=\frac{35}{3}\approx 11,67>10$; còn $y(6)=-\frac{7}{3}\cdot 9+21=0<10$). Vậy $t_{\max }=5$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Cho $y=x^2-3x$ có đồ thị (P) là parabol quay lên, và đường thẳng $d:y=x-3$.

a) **Vẽ đồ thị (P):**
- Hàm số $y=x^2-3x$ có $a=1>0$ nên parabol quay lên.
- Tọa độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$; $y=-\frac{9}{4}$, tức đỉnh $I\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.
- Bảng giá trị: $x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=-2$; $x=2\Rightarrow y=-2$; $x=3\Rightarrow y=0$.
- Đồ thị đi qua $O(0;0)$, đối xứng qua trục $x=\frac{3}{2}$, cắt trục hoành tại $x=0$ và $x=3$.

b) **Khoảng đồng biến, nghịch biến và GTNN:**
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ (vì $a>0$).
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.
- Giá trị nhỏ nhất: $y_{\min }=y\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}$, đạt tại $x=\frac{3}{2}$.

c) **Giao điểm của d và (P):**
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x=x-3\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x=1$: $y=1-3=-2$.
- Với $x=3$: $y=3-3=0$.
Vậy $d$ cắt (P) tại hai điểm $A(1;-2)$ và $B(3;0)$.

d) **Biện luận số nghiệm của $x^2-3x+1=m$:**
Phương trình tương đương $x^2-3x=m-1$. Xét giao điểm của (P) với đường thẳng $y=m-1$ (song song trục hoành). Vì $\underset{(P)}{\min }y=-\frac{9}{4}$:
- Nếu $m-1<-\frac{9}{4}\iff m<-\frac{5}{4}$: phương trình vô nghiệm.
- Nếu $m-1=-\frac{9}{4}\iff m=-\frac{5}{4}$: phương trình có nghiệm kép $x=\frac{3}{2}$.
- Nếu $m-1>-\frac{9}{4}\iff m>-\frac{5}{4}$: phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra bằng biệt thức: $x^2-3x+1-m=0$ có $\Delta =9-4(1-m)=5+4m$; $\Delta <0\iff m<-\frac{5}{4}$, $\Delta =0\iff m=-\frac{5}{4}$, $\Delta >0\iff m>-\frac{5}{4}$ — khớp hoàn toàn với kết luận đồ thị.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai giao điểm với trục $Ox$ nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi $f(0)<0$ (vì hệ số $a=1>0$, parabol hướng lên, hai nghiệm trái dấu). Ta có $f(0)=m-1<0\iff m<1$. Kiểm tra: với $m<1$, $\Delta =4-4(m-1)=8-4m>0$ nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^2-2(m+1)x+3m^2-3=0$ với $a=1$, $b=-2(m+1)$, $c=3m^2-3$.

Cách 1 (dùng biệt thức):
$$\Delta =b^2-4ac=4(m+1{)}^2-4(3m^2-3)=4(m^2+2m+1-3m^2+3)=-8(m^2-m-2)=-8(m-2)(m+1).$$

**a. Phương trình có nghiệm** $\iff \Delta \ge 0\iff (m-2)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 2$.

Vậy $m\in [-1;2]$.

**b. Phương trình có hai nghiệm trái dấu:**

Vì $a=1>0$, phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm:
$$P=\frac{c}{a}=3m^2-3<0\iff m^2<1\iff -1<m<1.$$

(Khi $-1<m<1$ thì $\Delta =-8(m-2)(m+1)>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, và tích nghiệm $3m^2-3<0$ nên hai nghiệm trái dấu — điều kiện thỏa mãn.)

Vậy $m\in (-1;1)$.

*Cách 2 cho câu b (dùng định lý Vi-ét):* hai nghiệm trái dấu $\iff \Delta >0$ và $S=2(m+1)\ne 0$... thực chất chỉ cần $P=3m^2-3<0$ vì điều này đã kéo theo $\Delta >0$ như đã kiểm tra ở trên.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ cao của bóng theo thời gian $t$ (giây) là $h(t)=a{t}^2+bt+c$ với $a<0$ (parabol quay xuống dưới). Theo đề: $h(0)=1\Rightarrow c=1$; $h(1)=10\Rightarrow a+b+c=10\Rightarrow a+b=9$... kiểm tra lại: $a+b=9$. Và $h(3,5)=6,25\Rightarrow 12,25a+3,5b+c=6,25\Rightarrow 12,25a+3,5b=5,25$. Thay $b=9-a$: $12,25a+31,5-3,5a=5,25\Rightarrow 8,75a=-26,25\Rightarrow a=-3$, suy ra $b=12$. Vậy $h(t)=-3t^2+12t+1$. Hoành độ đỉnh $t=-\frac{b}{2a}=2$ (giây), độ cao cực đại $h(2)=-12+24+1=13$ (m). Vậy độ cao cao nhất quả bóng đạt được là $13$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với A(0;0), B(162;0). Do parabol đối xứng nên đỉnh có hoành độ x = 81. Parabol qua A, B có dạng y = a·x(162 − x). Điểm M có hoành độ HA = 10 và tung độ MH = 43, nên 43 = a·10·152 = 1520a, suy ra a = 43/1520. Chiều cao cổng là giá trị lớn nhất tại đỉnh: h = a·81² = (43/1520)·6561 = 282123/1520 ≈ 185,6 m. Vậy chọn B, trùng đáp án nguồn (Mã 1103, Câu 19: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $(1;-4)$, đi qua $(0;-3)$, cắt Ox tại $x=-1$ và $x=3$, nên $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$.
a) $f^2(x)-5f(x)+6=0\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=3$. Với $f(x)=2$: $(x-1{)}^2=6$ cho 2 nghiệm; với $f(x)=3$: $(x-1{)}^2=7$ cho 2 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt, không phải 3 → Sai.
b) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ → Sai.
c) $\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm $\iff m\ge -4$ → Đúng.
d) Trên khoảng $(-2;2)$, đỉnh $x=1$ thuộc khoảng nên $\min f=-4$; giới hạn trên ${\sup }_{(-2;2)}f={\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=9$. Bất phương trình $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm trong $(-2;2)$ khi $2m-1<9\iff m<5$. Khi $m<3$ thì $2m-1<5<9$, nên chắc chắn có nghiệm (ví dụ lấy $x$ gần $-2$) → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=2 và f(x)=3 mỗi phương trình cho 2 nghiệm phân biệt, tổng 4 nghiệm phân biệt nên khẳng định 'ba nghiệm' sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c=f(1)=-4≠2.
c) (AI giải đề cho tôi)
min f = -4 nên f(x)=m có nghiệm ⟺ m≥-4.
d) (AI giải đề cho tôi)
sup f trên (-2;2) là 9, cần 2m-1<9 ⟺ m<5; với m<3 điều kiện này thỏa nên bất phương trình có nghiệm thuộc (-2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục $Ox$ dọc theo nhịp cầu, gốc $O$ tại giữa nhịp. Đỉnh parabol ở giữa nhịp, dây ngắn nhất $0,8$ m nên phương trình thành cầu: $y=0,8+k{x}^2$. Tại đầu nhịp $x=15$ m, dây dài nhất $5$ m nên $5=0,8+k\cdot 225\Rightarrow k=\frac{4,2}{225}=0,018\overline{6}$.

Khoảng cách giữa các dây bằng nhau, bằng $\frac{30}{20}=1,5$ m, nên mỗi mặt bên có $21$ sợi dây tại $x=0,\pm 1,5,\pm 3,\dots ,\pm 15$.

Tổng chiều dài dây một mặt bên:
$$S=21\cdot 0,8+k\sum x^2=16,8+\frac{4,2}{225}\cdot 2\left(1,5^2+3^2+\cdots +15^2\right).$$
Với $\sum x^2=2\cdot 2,25\cdot (1^2+2^2+\cdots +10^2)=4,5\cdot 385=1732,5$:
$$S=16,8+0,018\overline{6}\cdot 1732,5=16,8+32,34=49,14\text{ (m)}.$$

Hai mặt bên, cộng thêm $5\%$ để neo cố định:
$$T=2\cdot 49,14\cdot 1,05=103,194\approx 103\text{ (m)}.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1103, Câu 2: 103).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh rào là $x$ và $y$ (m), với cạnh $y$ song song bức tường (không cần rào). Tổng lưới: $2x+y=100$ với $x,y>0$. Diện tích $S=xy=x(100-2x)=100x-2x^2$. Hàm số $S(x)=-2x^2+100x$ có đỉnh tại $x=\frac{100}{4}=25$, khi đó $y=100-2\cdot 25=50$ và $S_{\max }=25\cdot 50=1250{\mathrm{m}}^2$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (Mã 1102, câu 18: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $(1;-4)$ và $f(0)=-3$, nên $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$ (đi qua $(-1;0)$, $(3;0)$, $f(-2)=5$ khớp hình vẽ).
a) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ ⇒ Sai.
b) Trên khoảng $(-2;2)$, $f$ liên tục, đạt min $=-4$ tại $x=1$, và giá trị lớn nhất tiệm cận là ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=5$ (không đạt vì $f(-2)=5$ ngoài khoảng). BPT $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm thuộc $(-2;2)$ ⟺ $2m-1<5$ (nếu $2m-1\ge 5$ thì vô nghiệm vì $f<5$ trên khoảng) ⟺ $m<3$ ⇒ Đúng.
c) $\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm ⟺ $m\ge -4$ ⇒ Đúng.
d) Đặt $t=f(x)$: $t^2-5t+6=0\iff t=2$ hoặc $t=3$. Cả hai giá trị $>-4=\min f$ nên mỗi phương trình $f(x)=2$, $f(x)=3$ có 2 nghiệm phân biệt (x=1±√5, x=1±√6), tổng cộng 4 nghiệm phân biệt, không phải 3 ⇒ Sai.
Đối chiếu bảng đáp án chính thức Mã đề 1102, Câu 7: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7a): Sai. Từ đồ thị, đỉnh parabol là $(1;-4)$ và $f(0)=-3$, nên $f(x)=x^2-2x-3$, suy ra $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$.
b) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7b): Đúng. Trên khoảng $(-2;2)$, $f(x)$ đạt giá trị từ $-4$ (tại $x=1$) đến gần $5$ (không đạt, vì $f(-2)=5$ ngoài khoảng). Bất phương trình có nghiệm thuộc $(-2;2)$ khi $2m-1<5\iff m<3$.
c) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7c): Đúng. Đỉnh parabol là $(1;-4)$ nên $\min f(x)=-4$, do đó phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -4$.
d) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7d): Sai. Đặt $t=f(x)$, ta được $t=2$ hoặc $t=3$. Vì $\min f=-4$ và parabol bậc hai, mỗi giá trị $t=2$ và $t=3$ cho hai nghiệm phân biệt, tổng cộng $4$ nghiệm phân biệt (không phải ba).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh $(1;-4)$, đi qua $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=3$. Suy ra $f(x)=a(x-1{)}^2-4$ với $f(0)=a-4=-3\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$.
a) $f^2(x)-5f(x)+6=0\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=3$. Với $f(x)=2$: $(x-1{)}^2=6$ cho 2 nghiệm; với $f(x)=3$: $(x-1{)}^2=7$ cho 2 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt (vì $2\ne 3$), không phải 3 → SAI.
b) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ → SAI.
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất $-4$ tại đỉnh và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$, nên phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -4$ → ĐÚNG.
d) Trên khoảng $(-2;2)$, hàm số liên tục, $f(-2)=5$ không thuộc khoảng, giá trị lớn nhất (sup) trên khoảng là 5 (chưa đạt). Bất phương trình $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm thuộc $(-2;2)$ khi và chỉ khi $2m-1<{\sup }_{(-2;2)}f=5\iff m<3$ → ĐÚNG. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2$ và $f(x)=3$ mỗi phương trình cho 2 nghiệm phân biệt, tổng cộng 4 nghiệm phân biệt chứ không phải 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-2x-3$ thì $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm khi $m\ge -4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;2)$, sup của $f$ là $f(-2)=5$ (không đạt được). Cần $2m-1<5\iff m<3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với chân cổng $A$ tại $x=0$, $B$ tại $x=162$. Parabol có dạng $y=ax(162-x)$, đỉnh tại $x=81$. Điểm $M$ có hoành độ $x=HA=10$ và $y=MH=43$, nên $43=a\cdot 10\cdot 152\Rightarrow a=\frac{43}{1520}$. Chiều cao cổng: $h=y(81)=\frac{43}{1520}\cdot 81^2=\frac{43\cdot 6561}{1520}\approx 185,6m$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 8: D).