Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-3\cos 2x\le 3$, do đó $y=-3\cos 2x+2\le 5$. Giá trị lớn nhất bằng $5$, đạt được khi $\cos 2x=-1$, tức $2x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$, tức $x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ là hàm chẵn.
- B: $y={\sin }^{2}x$ là hàm chẵn vì ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$.
- C: $y=\frac{\cot x}{\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x\cdot \cos x}=\frac{1}{\sin x}$, tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ và $f(-x)=\frac{1}{\sin (-x)}=-\frac{1}{\sin x}=-f(x)$, nên là hàm lẻ.
- D: $y=\frac{\tan x}{\sin x}=\frac{1}{\cos x}$ là hàm chẵn.
Vậy hàm số lẻ là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5\sin x}{\cos x-3}$ xác định khi $\cos x-3\ne 0$. Vì $\cos x\le 1<3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $\cos x-3\le -2\ne 0$ luôn đúng. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 2x$ có $y^{\prime }=2\cos 2x$. Hàm đồng biến khi $\cos 2x>0\iff -\frac{\pi }{2}+2k\pi <2x<\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff -\frac{\pi }{4}+k\pi <x<\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng đồng biến $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)$, trùng với đồ thị (hàm đi lên qua gốc $O$, đạt cực đại tại $x=\frac{\pi }{4}$). Các khoảng ở A, B nằm trong khoảng nghịch biến, còn D $(0;1)$ không phải khoảng đồng biến vì $1>\frac{\pi }{4}$. Đáp án khớp với mã đề 1102: Câu 11 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan (-x)$ chỉ xác định khi $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$, ý a) sai. Vì $\tan$ là hàm lẻ nên $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ với mọi $x\in D$, ý b) sai. $f(x)=1\iff \tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, ý c) đúng. Trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$ các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$, ý d) đúng. Kết quả S S Đ Đ khớp với đáp án nguồn (trang 9, mã đề 1102, câu 13: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$; ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ vì $\tan$ là hàm lẻ, không phải $\tan x$; ý b) sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; ý c) đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Các nghiệm thuộc $[-\pi ;2\pi ]$ là $-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng $=\frac{9\pi }{4}$; ý d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin 2x$ nghịch biến khi $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$, tức $x\in \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{3\pi }{4}+k\pi \right)$. Với $k=-1$ ta được khoảng $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{4}\right)$, trùng với phương án B. Kiểm tra: trên khoảng này $2x\in \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$, hàm sin nghịch biến trên đó, khớp với đồ thị (đi từ đỉnh cao xuống đáy). Đáp án nguồn (B, mã đề 1101) khớp với kết quả tự giải.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\cos (-x)=\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. a) Sai vì $D=\mathbb{R}$, không loại các điểm $\frac{\pi }{2}+k\pi$. b) Sai vì $\cos (-x)=\cos x$, không phải $-\cos x$. c) Đúng: $\cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Trên $[-\pi ;6\pi ]$ các nghiệm là $x=0,2\pi ,4\pi ,6\pi$, tổng $=12\pi$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, không cần loại $\frac{\pi }{2}+k\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì hàm cos là hàm chẵn: $\cos (-x)=\cos x$, nên $f(x)=\cos x\ne -\cos x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1\iff \cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\pi ;6\pi ]$, các nghiệm của $\cos x=1$ là $x=0,2\pi ,4\pi ,6\pi$; tổng $=12\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $g(x)=\sin x$.
a) Hàm $\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$ → đúng.
b) $g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$, nên $g(x)$ là hàm lẻ, không phải hàm chẵn → sai.
c) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $1$, không phải $2$ → sai.
d) Giải $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{3}$, có dạng $\frac{a}{b}\pi$ với $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$ tối giản và $a^2+b^2=1^2+3^2=10$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $\sin x$ xác định với mọi số thực, tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$ nên $g(x)$ là hàm lẻ, không phải hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $1$, không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{3}$, với $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$ thì $a^2+b^2=1+9=10$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{27\sin x+10}{\cos x+1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 6 là đường cong hình sin dạng $y=\cos x$: đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cực tiểu bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2}$, và lặp lại hình dạng cũ với cực đại tiếp theo tại $x=2\pi$. Khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp là $2\pi -0=2\pi$, vậy chu kì tuần hoàn $T=2\pi$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở hình là đường cong hình sin/cosin dạng $y=\cos x$: đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, và lặp lại cực đại bằng 1 tại $x=2\pi$. Hàm số lặp lại giá trị và tính biến thiên sau khoảng $2\pi$ (ví dụ $f(0)=f(2\pi )=1$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{5\pi }{2}\right)=0$), nên chu kì tuần hoàn $T=2\pi$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $h(t)\ge 30-20=10$. Độ cao tối thiểu của cabin là $10$ m, đạt khi $\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, tức $t=\frac{125}{6}+50k$ (giây), luôn tồn tại giá trị $t\ge 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff -\sin x>0\iff \sin x<0\iff x\in (\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi ),k\in \mathbb{Z}$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(\pi ;2\pi )$ (ứng với $k=0$) thỏa mãn. Quan sát đồ thị cũng thấy trên $(\pi ;2\pi )$ đồ thị đi lên từ $-1$ đến $1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, Mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $0\le {\sin }^{2}x\le 1$, do đó hàm số $y=3{\sin }^{2}x$ có tập giá trị $[0;3]$ (đạt được vì $\sin x=0$ và $\sin x=\pm 1$ đều có nghiệm). Vậy khẳng định B đúng. Các phương án khác sai: GTLN của $y=\sin (2024x)$ bằng 1 (không phải 2024); GTNN của $y=\cos (2024x)$ bằng $-1$ (không phải $-2024$); hàm $y=2{\cos }^{2}x$ có tập giá trị $[0;2]$ (không phải $[-2;2]$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le {\sin }^{2}x\le 1$ thực chất $0\le {\sin }^{2}x\le 1$ nên với $y=3{\sin }^{2}x$ ta có $0\le y\le 3$, tập giá trị là $[0;3]$ → B đúng. A sai vì $\min \cos (2024x)=-1$; C sai vì $0\le {\cos }^{2}x\le 1$ nên tập giá trị của $y=2{\cos }^{2}x$ là $[0;2]$; D sai vì $\max \sin (2024x)=1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 2 tại $x=0$, đi qua gốc tọa độ (nghĩa là $y=0$ tại $x=\pm \pi$), đạt giá trị nhỏ nhất $-2$ tại $x=\pm 2\pi$, chu kỳ $T=4\pi$. Kiểm tra: $y=2\cos \frac{x}{2}$ có $y(0)=2$, $y(\pi )=2\cos \frac{\pi }{2}=0$, $y(2\pi )=2\cos \pi =-2$, chu kỳ $T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác loại: $y=\sin x+2$ luôn dương ($y\in [1;3]$); $y=1+2\cos x$ có $y(0)=3$ và chu kỳ $2\pi$; $y=2\sin \frac{x}{2}$ có $y(0)=0$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \pi$, đạt giá trị nhỏ nhất $-2$ tại $x=\pm 2\pi$, chu kỳ $T=4\pi$. Xét $y=2\cos \frac{x}{2}$: tại $x=0$ có $y=2$ (đúng); $y=0\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{2}\iff x=\pm \pi$ (đúng); min $=-2$ tại $x=\pm 2\pi$ (đúng); chu kỳ $T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$ (đúng). Loại B vì $y=2\sin \frac{x}{2}$ bằng 0 tại $x=0$; loại C vì $y=1+2\cos x$ có min $=-1$ và chu kỳ $2\pi$; loại D vì $y=\sin x+2$ dao động trong $[1;3]$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1072: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính lẻ trên tập xác định: $y=\sin x$: $\sin (-x)=-\sin x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm lẻ. $y=\cos x$: $\cos (-x)=\cos x$, hàm chẵn, không lẻ. $y=\tan x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$, tập này đối xứng qua gốc tọa độ và $\tan (-x)=-\tan x$, nên hàm lẻ. $y=\cot x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, tập đối xứng và $\cot (-x)=-\cot x$, nên hàm lẻ. Vậy có 3 hàm số lẻ: $\sin x$, $\tan x$, $\cot x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1072: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $270^{\circ }=270\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}$ rad.
b) Sai: với $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ thì $\sin x=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$, nên $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}>0$, không phải $-\frac{7}{25}$.
c) Sai: $A=\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha <0$ vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$.
d) Đúng: $h(t)=2\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{6}\right)+15$ có giá trị lớn nhất khi sin bằng 1, tức $h_{\max }=2+15=17$ m, đúng với chiều sâu mực nước cao nhất $17$ m. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: 2a Đúng, 2b Sai, 2c Sai, 2d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$270^{\circ }=\frac{270\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}$ rad.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=-\frac{3}{5}$ (góc thuộc góc phần tư IV), $\cos 2x=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}\ne -\frac{7}{25}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A=\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha <0$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h_{\max }=15+2=17$ m, khớp với chiều sâu mực nước cao nhất $17$ m.