Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Hình vẽ là đồ thị hàm số $y=a^x$ với $0<a<1$ (đi qua điểm $(0;1)$, nghịch biến, nhận trục hoành làm tiệm cận), không phải đồ thị của $y={\log }_{a}x$ (đi qua điểm $(1;0)$, nhận trục tung làm tiệm cận). b) Sai. Hàm số $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$; khi $a>1$ hàm số đồng biến. c) Đúng. Theo định nghĩa logarit: $\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$ với $a>0,a\ne 1,b>0,\alpha \in \mathbb{R}$. d) Sai. ${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{1/3}=\frac{1}{3}\ne 3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ là đồ thị hàm mũ $y=a^x$ với $0<a<1$ (đi qua $(0;1)$, nghịch biến, tiệm cận trục hoành), không phải đồ thị $y={\log }_{a}x$ (đi qua $(1;0)$, tiệm cận trục tung).
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$; khi $a>1$ hàm số đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$ với $a>0,a\ne 1,b>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{1/3}=\frac{1}{3}\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 ngày tức $t=24$ giờ, với $m_0=100$ gam và $T=9$ giờ, ta có: $m(24)=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{24}{9}}=100\cdot 2^{-\frac{8}{3}}=\frac{100}{2^2\cdot 2^{2/3}}\approx \frac{100}{6,3496}\approx 15,749$ gam. Làm tròn đến hàng phần chục ta được $15,7$ gam, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=7^x$ với $x\in \mathbb{R}$.
a) Đúng. Vì $7^x>0$ với mọi $x$, nên ${\log }_7(f(x))={\log }_7(7^x)=x$ theo định nghĩa logarit.
b) Đúng. Tại $x=0$: $f(0)=7^0=1$, nên đồ thị đi qua điểm $A(0;1)$.
c) Đúng. Hàm số mũ $y=7^x$ với cơ số $7>1$ nhận mọi giá trị dương, nên tập giá trị là $T=(0;+\infty )$.
d) Sai. $f(x)=14\iff 7^x=14\iff x={\log }_{7}14\approx 1,356\ne 2$ (vì $7^2=49\ne 14$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_7(f(x))={\log }_7(7^x)=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $7^x>0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=7^0=1$ nên đồ thị đi qua $A(0;1)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=7^x$ là $(0;+\infty )$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$7^x=14\iff x={\log }_{7}14\approx 1,356\ne 2$ vì $7^2=49$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(-1;3)$, hàm số nghịch biến nên cơ số $0<a<1$. Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=-1$ ta có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$ (khớp với đồ thị), tại $x=0$ có $y=1$. Các hàm $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ đồng biến; $y=3^{x+1}$ có $y(0)=3\ne 1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (đề 102, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=5^x$. a) Vì $f(x)=5^x>0$ nên ${\log }_5(f(x))={\log }_5{5}^x=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$: đúng. b) Hàm số mũ $y=5^x$ có cơ số $5>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$: đúng. c) Tập giá trị của hàm số mũ $y=5^x$ là $(0;+\infty )$: đúng. d) $f(x)=10\iff 5^x=10\iff x={\log }_{5}10\approx 1,43\ne 2$ (vì $5^2=25\ne 10$): sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_5(f(x))={\log }_5{5}^x=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số mũ $y=5^x$ là $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5^x=10\iff x={\log }_{5}10\approx 1,43\ne 2$ vì $5^2=25\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(3;1)$ và điểm $(\frac{1}{3};-1)$, đồng thời hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên cơ số $a>1$. Kiểm tra: ${\log }_{3}3=1$ và ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$ thỏa mãn đồ thị. Với $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ thì hàm nghịch biến (loại B); với $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ thì ${\log }_{\sqrt{3}}3=2\ne 1$ (loại C); $y=\log 3x$ có $\log 3\ne 1$ (loại D). Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: P = log((d+1)/d).
a) Khi d=3: P = log(4/3) = log4 − log3, nên P = log4 − log3, không phải P > log4 − log3 → sai.
b) Khi d=1: P = log(2/1) = log2 → đúng.
c) P = log(d+1) − log d theo tính chất log của thương → đúng.
d) log((d+1)/d) > log(4/d) ⟺ (d+1)/d > 4/d ⟺ d+1 > 4 ⟺ d > 3. Các chữ số nguyên dương d ≤ 9 thỏa mãn: 4,5,6,7,8,9 — có 6 chữ số, không phải 5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi d=3 thì P = log(4/3) = log4 − log3, tức P bằng chứ không lớn hơn log4 − log3.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = log((1+1)/1) = log2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của thương: log((d+1)/d) = log(d+1) − log d.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương d+1 > 4 ⟺ d > 3, nên d ∈ {4,5,6,7,8,9}: có 6 chữ số, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. Hàm số $y=a^x$ với đồ thị đi qua điểm $(1;3)$ và tăng dần.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Vì $a>0$ nên $a^x>0$ với mọi $x$, do đó tập giá trị là $\left(0;+\infty \right)$.

b) Trên đồ thị, khi $x$ tăng thì $y$ tăng (đường cong đi lên từ trái sang phải), nên hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tương ứng $a>1$).

c) Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$, thay vào: $a^1=3\Rightarrow a=3$ (thỏa mãn $a>1$). Vậy $a=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số mũ $y=a^x$ đi qua điểm $(0;1)$ và đồng biến (tăng dần từ trái sang phải), nên cơ số $a>1$. Kiểm tra các phương án: $\sqrt{2}-1\approx 0,414<1$; $\frac{e}{\pi }\approx \frac{2,718}{3,141}\approx 0,865<1$; $0,3<1$; còn $\sqrt{2}+1\approx 2,414>1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\left(\sqrt{2}+1\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$, trong khi $\frac{1}{{\log }_{a}x}$ là giá trị khác. Ví dụ $a=2,x=2$: ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ nhưng $\frac{1}{{\log }_{2}2}=1$. Vậy mệnh đề A sai.
- B: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ là tính chất đúng của lôgarit.
- C: ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x=\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln b}={\log }_{b}x$, đúng.
- D: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ là tính chất đúng của lôgarit.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên R phải là hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$ (hàm logarit không xác định trên toàn R). Vì $e\approx 2,718<\pi \approx 3,1416$ nên $0<\frac{e}{\pi }<1$, do đó $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên R. Các đáp án A, B là hàm logarit chỉ xác định trên $(0;+\infty )$; đáp án C có cơ số $\frac{\pi }{e}>1$ nên đồng biến trên R.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_a{a}^x=x$ (đúng), ${\log }_{a}a=1$ (đúng), ${\log }_{a}1=0$ (đúng). Khẳng định C sai vì $x^{{\log }_{a}x}$ nói chung không bằng $x$ (ví dụ $a=2,x=4$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 4$). Đáp án trùng với mã đề 1145: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ và $y=b^x$ đều là hàm số tăng nên $a>1,b>1$. Trong hai đường này, đường $y=a^x$ dốc hơn (tăng nhanh hơn) đường $y=b^x$ nên với $x>1$ ta có $a^x>b^x$, suy ra $a>b>1$. Đường $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $c<b<a$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ nghịch biến, đi qua điểm $(0;1)$ và tại $x=1$ có $y=\frac{1}{5}$ (theo đường đứt nét trên hình). Trong các đáp án: A và C là hàm mũ đồng biến (cơ số lớn hơn 1), B là hàm đa thức lẻ, chỉ có $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ với cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ là nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $y(1)=\frac{1}{5}$ khớp với đồ thị. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(6;1)$ và có dạng đường logarit đồng biến (xác định trên $(0;+\infty )$, tăng dần, cắt trục hoành tại $x=1$). Trong các đáp án, chỉ có $y={\log }_{6}x$ thỏa mãn vì ${\log }_{6}6=1$. Các hàm $y=6^x$ và $y={\sqrt{6}}^x$ là hàm mũ (xác định trên $\mathbb{R}$), còn $y={\log }_{\frac{1}{6}}x$ nghịch biến. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(3;1)$ và tăng trên $(0;+\infty )$, nên là đồ thị hàm số $y={\log }_{3}x$ vì ${\log }_{3}3=1$. Các phương án khác không thỏa: $y={\log }_{1/3}x$ nghịch biến; $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 16 là đường cong nằm hoàn toàn về phía phải trục $Oy$ (tập xác định $x>0$), đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến, tiệm cận trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$. Đó là đặc điểm của hàm logarit với cơ số thuộc $(0;1)$, tức $y={\log }_{\frac{1}{7}}x$. Loại các phương án khác: $y=7^x$ và $y=(\sqrt{7}{)}^x$ là hàm mũ đồng biến trên $\mathbb{R}$, đi qua $(0;1)$; $y={\log }_{7}x$ là hàm logarit đồng biến. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: log là phép nhân chia, không có log(a−b) = log a − log b; ví dụ b=50 thì log₂50 − log₂25 = log₂2 ≠ log₂25. b) Đúng: log₃(9b) = log₃9 + log₃b = 2 + log₃b. c) Đúng: log₄b = (1/2)log₂b và (log₃b)/(log₃2) = log₂b, nên vế trái = (1/2)log₂b + 8log₂b = (17/2)log₂b. d) Sai: 1/log_k b = log_b k với k = 9,10,...,110, tổng = log_b(9·10·...·110) = log_b(110!/8!), không phải log_b(110!/9!).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì log₂b − log₂25 = log₂(b/25), không phải log₂(b−25); đồng thời b−25 có thể âm nên log₂(b−25) không xác định với mọi b>0, b≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: log₃(9b) = log₃9 + log₃b = 2 + log₃b.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: log₄b = ½log₂b; theo công thức đổi cơ số (log₃b)/(log₃2) = log₂b. Vế trái = ½log₂b + 8log₂b = (17/2)log₂b.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: mỗi số hạng 1/log_k b = log_b k, tổng từ k=9 đến 110 là log_b(9·10·...·110) = log_b(110!/8!), còn đề ghi 110!/9! nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến nên $0<a<1$. a) Hàm nghịch biến trên toàn tập xác định nên trên $(7;+\infty )$ cũng nghịch biến → đúng. b) Tập giá trị của hàm logarit là $\mathbb{R}$ → đúng. c) Nếu đồ thị đi qua $(3;343)$ thì ${\log }_{a}3=343$, suy ra $a=3^{1/343}>1$, mâu thuẫn với $0<a<1$ (và với $a<1$ thì ${\log }_{a}3<0$) → sai. d) Hàm logarit liên tục trên tập xác định $(0;+\infty )$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nghịch biến nên $0<a<1$; hàm logarit nghịch biến trên toàn tập xác định, do đó nghịch biến trên $(7;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y={\log }_{a}x$ là $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a}3=343\Rightarrow a=3^{1/343}>1$, trái với $0<a<1$; hơn nữa với $0<a<1$ thì ${\log }_{a}3<0$ nên không thể bằng 343.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit liên tục trên tập xác định $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn năm 2023 làm mốc, dân số năm 2036 ứng với $t=2036-2023=13$, với $A=96$ (triệu người) và $r=0,0135$. Theo công thức $S=A\cdot e^{rt}$: $S=96\cdot e^{0,0135\cdot 13}=96\cdot e^{0,1755}\approx 96\cdot 1,19187\approx 114,42$ triệu người. Vậy dân số khu vực năm 2036 ước khoảng $114,42$ triệu người (làm tròn $\approx 114$ triệu người).