Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$ với $p$ là nửa chu vi. Suy ra $p=\frac{S}{r}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10$. Chu vi tam giác $=2p=20$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với a=7, b=9, c=12: nửa chu vi p=(7+9+12)/2=14, nên mệnh đề a đúng. Diện tích theo công thức Heron: S=√(14·7·5·2)=√980=14√5, nên mệnh đề b đúng. Xét góc lớn nhất C (đối diện c=12): cos C=(a²+b²−c²)/(2ab)=(49+81−144)/(2·7·9)=−14/126<0, nên góc C tù, tam giác không nhọn, mệnh đề c sai. Với d: 1/h_b+1/h_c=b/(2S)+c/(2S)=(b+c)/(2S)=21/(2S), còn 2/h_a=2a/(2S)=14/(2S). Vì 21≠14 nên mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(7+9+12)/2=14.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(14·7·5·2)=√980=14√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos C=(49+81−144)/126<0 nên góc C tù, tam giác tù không nhọn.
d) (AI giải đề cho tôi)
1/h_b+1/h_c=(b+c)/(2S)=21/(2S)≠2/h_a=2a/(2S)=14/(2S).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Suy ra $a=2R\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=64+9-24=49$. Suy ra $b=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thang dài 15 m nối đáy bể với mép trên bể, phần chiếu lên phương thẳng đứng của thang bằng chiều cao bể là 10 m (hình vẽ cho thấy mực nước sâu 9 m, tức cách mặt bể 1 m). Vì thang là đoạn thẳng nối đáy với mép bể, tỉ lệ phần thang ngập nước theo chiều cao là $\frac{9}{10}$. Độ dài thang bị ngập: $\frac{9}{10}\cdot 15=13,5$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (cạnh $a=BC$ đối diện góc $A$). Kiểm tra các phương án khác: A sai dấu (phải là $-2ac\cos B$); B sai vì $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$; D sai dấu và sai góc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C, mã đề 0102).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+18-2\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=43-30=13$, nên $BC=\sqrt{13}\ne \sqrt{23}$ → c) Sai.
Định lí sin: $\frac{\sin C}{AB}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin C=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}\approx 0,9806\Rightarrow C\approx 78,6^{\circ }$ (hoặc $101,4^{\circ }$), không phải $59^{\circ }$ → a) Sai.
Nửa chu vi $p=\frac{5+3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{2}\approx 6,42$; diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=7,5$ → d) Đúng. Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}\approx \frac{7,5}{6,42}\approx 1,17\ne 1,25$ → b) Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\sin C=\frac{5\sin 45^{\circ }}{\sqrt{13}}\approx 0,9806$ nên $C\approx 78,6^{\circ }$ (hoặc $101,4^{\circ }$), không phải $59^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{5+3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{2}\approx 6,42$, $r=S/p\approx 7,5/6,42\approx 1,17\ne 1,25$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+18-30=13$ nên $BC=\sqrt{13}\ne \sqrt{23}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=7,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở trang 7 xác nhận: $A$ là đầu bóng trên sườn đồi, $B$ chân cây, $C$ ngọn cây; sườn đồi tạo góc $\alpha =26^{\circ }$ với phương ngang, tia nắng $AC$ tạo góc $\beta =54^{\circ }$ với phương ngang.
- Góc giữa bóng $AB$ (nằm trên sườn đồi) và tia nắng $AC$: $\widehat{BAC}=\beta -\alpha =54^{\circ }-26^{\circ }=28^{\circ }$.
- Cây $BC$ thẳng đứng nên $BC$ vuông góc với phương ngang; sườn đồi nghiêng $\alpha$ lên trên nên góc trong tam giác tại $B$ là $\widehat{ABC}=90^{\circ }+\alpha =116^{\circ }$.
- Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-116^{\circ }-28^{\circ }=36^{\circ }$.
- Định lí sin: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$ nên $BC=18,5\cdot \frac{\sin 28^{\circ }}{\sin 36^{\circ }}\approx 18,5\cdot \frac{0,4695}{0,5878}\approx 14,77\approx 14,8$ m.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 15: 14,8).

Hướng dẫn chấm:
$\sin C=\frac{2S}{BC.AC}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \hat{C}=30^{\circ }$ (0,5 điểm)
Khi đó: $AB=\sqrt{B{C}^2+A{C}^2-2.BC.AC.\cos C}=\sqrt{43}$ (0,25 điểm)
$R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{\sqrt{43}}{2\sin 30^{\circ }}=\sqrt{43}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=5, AC=3√2, A=45°.
- b) S = ½·AB·AC·sinA = ½·5·3√2·(√2/2) = 15/2 = 7,5 → Đúng.
- c) BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cosA = 25 + 18 − 2·5·3√2·(√2/2) = 43 − 30 = 13 ⇒ BC = √13 ≠ √23 → Sai.
- a) nửa chu vi p = (5 + 3√2 + √13)/2 ≈ 6,424; r = S/p ≈ 7,5/6,424 ≈ 1,17 ≠ 1,25 → Sai.
- d) sinC = AB·sinA/BC = 5·(√2/2)/√13 ≈ 0,9806 ⇒ C ≈ 79° ≠ 59° → Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p = (5 + 3√2 + √13)/2 ≈ 6,424 nên r = S/p ≈ 7,5/6,424 ≈ 1,17 ≠ 1,25 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·5·3√2·sin45° = 15/2 = 7,5 → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC² = 25 + 18 − 30 = 13 ⇒ BC = √13 ≠ √23 → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinC = 5·sin45°/√13 ≈ 0,9806 ⇒ C ≈ 79° ≠ 59° → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $ABC$ với $A$ là đầu bóng, $B$ là chân cây, $C$ là ngọn cây. Cạnh $AB=18,5$ m nằm dọc sườn đồi nên tạo với phương ngang góc $\alpha =26^{\circ }$; tia nắng $AC$ tạo với phương ngang góc $\beta =54^{\circ }$, do đó $\widehat{BAC}=\beta -\alpha =28^{\circ }$. Cây $BC$ thẳng đứng nên $BC$ vuông góc phương ngang, suy ra $\widehat{ACB}=90^{\circ }-\beta =36^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$, nên $BC=18,5\cdot \frac{\sin 28^{\circ }}{\sin 36^{\circ }}\approx 18,5\cdot \frac{0,4695}{0,5878}\approx 14,77\approx 14,8$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 14,8.

Hướng dẫn chấm:
$\sin B=\frac{2S}{BC\cdot AB}=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \hat{B}=60^{\circ }$ (0,5 điểm)
Khi đó: $AC=\sqrt{B{C}^2+A{B}^2-2\cdot BC\cdot AB\cdot \cos B}=\sqrt{13}$ (0,25 điểm)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{\sqrt{13}}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{39}}{3}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,AC=b,AB=c$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Các phương án khác sai vì: B đúng phải là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos C$; C đúng phải là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$; D đúng phải là $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 9, mã 0101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=5, b=6, c=7. a) Theo định lí cosin: cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = (25+49−36)/(2·5·7) = 38/70 = 19/35. Vì 0°<B<180° nên sin B = √(1−(19/35)²) = √(864)/35 = 12√6/35 → Đúng. b) Vì A+B+C=180° nên A+B=180°−C, do đó cos(A+B)=cos(180°−C)=−cos C → Đúng. c) sin(A+B)=sin(180°−C)=sin C ≠ −sin C → Sai. d) Công thức diện tích đúng là S = abc/(4R), không phải abc/(2R) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = 19/35, nên sin B = √(1−361/1225) = 12√6/35.
b) (AI giải đề cho tôi)
A+B = 180°−C nên cos(A+B) = −cos C.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(A+B) = sin(180°−C) = sin C, không phải −sin C.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là S = abc/(4R).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Suy ra $BC=\sqrt{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: B).

Ta có
$$\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2a+c}{\sqrt{4a^2-c^2}}\iff \frac{(1+\cos B{)}^2}{{\sin }^{2}B}=\frac{(2a+c{)}^2}{4a^2-c^2}(0,25\text{đ})$$
$$\iff \frac{1+\cos B}{1-\cos B}=\frac{2a+c}{2a-c}\iff \frac{1+\cos B}{1-\cos B}-1=\frac{2a+c}{2a-c}-1(0,25\text{đ})$$
$$\iff 2ac\cdot \cos B=c^2\iff a^2+c^2-b^2=c^2\iff a^2=b^2=b^2\iff a=b(0,25\text{đ})$$
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$. (0,25đ)
(Ghi chú: nguồn gốc ghi 'a^2=b^2=b^2' — có vẻ là lỗi đánh máy của tài liệu gốc, kỳ vọng 'a^2=b^2'; giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Vậy $\frac{a}{\sin A}=2R$, khớp với đáp án A (mã đề 102, câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{16}{169}=\frac{153}{169}=\frac{9\cdot 17}{169}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{17}}{13}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $A+B=180^{\circ }-C$. a) $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$: đúng. b) $\sin (A+B)=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C\ne -\sin C$: sai. c) Công thức diện tích đúng là $S=\frac{abc}{4R}$, không phải $\frac{abc}{2R}$: sai. d) $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+49-36}{70}=\frac{19}{35}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{361}{1225}}=\sqrt{\frac{864}{1225}}=\frac{12\sqrt{6}}{35}$: đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: D-S-S-D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (A+B)=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$, không phải $-\sin C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S=\frac{abc}{4R}$ (vì $\frac{a}{\sin A}=2R$ nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{abc}{4R}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+49-36}{70}=\frac{19}{35}$, suy ra $\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{19}{35}\right)}^2}=\frac{\sqrt{864}}{35}=\frac{12\sqrt{6}}{35}$.

Ta có $\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{2b+c}{\sqrt{4b^2-c^2}}$
$$\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{2b+c}{\sqrt{4b^2-c^2}}\iff \frac{(1+\cos A{)}^2}{{\sin }^{2}A}=\frac{(2b+c{)}^2}{4b^2-c^2}(0,25\text{đ})$$
$$\iff \frac{1+\cos A}{1-\cos A}=\frac{2b+c}{2b-c}\iff \frac{1+\cos A}{1-\cos A}-1=\frac{2b+c}{2b-c}-1(0,25\text{đ})$$
$$\iff 2bc\cdot \cos A=c^2\iff b^2+c^2-a^2=c^2\iff a^2=b^2\iff a=b(0,25\text{đ})$$
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$. (0,25đ)
Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.