Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số bậc ba: Nhánh phải đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1<0<x_2$ với $|x_1|>x_2$, từ đó xác định dấu của $b$ và $c$. Kết luận có 2 số dương trong các số $a,b,c,d$.

Đặt t = - x , ta có f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d \iff f ( -t ) = -at 3 + bt 2 - ct + d .


Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( - x ) , suy ra các hệ số của các số hạng trong biểu thức của hàm số
f ( -t ) như sau:
* -a > 0 \iff a < 0 ;
* hàm số có hai điểm cực trị trái dấu và điểm cực trị dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt
ab > 0
b < 0
đối của điểm cực trị âm \implies c ; kết hợp với a < 0 \implies
3a < 0 c > 0

* f ( 0) = d > 0 .
Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương là c, d .

Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-1)\Rightarrow \frac{2}{d}=-1\Rightarrow d=-2$. Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=2\Rightarrow c=1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1$.

Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=-1$.
Suy ra:
$\{\begin{array}{l}\frac{a}{c}=3\\ -\frac{d}{c}=-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=3c\\ d=c\end{array}$
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
$y^{\prime }=\frac{ad+2c}{(cx+d{)}^2}>0⟹3c^2+2c>0⟹c(3c+2)>0⟹c\in \left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right)\cup (0;+\infty ).$
Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất mà $c$ có thể nhận là $c=-1$.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số bậc ba:
- Nhánh cuối hướng lên trên khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a>0$, do đó loại phương án A và C.
- Đồ thị có điểm cực đại tại $(0;2)$ và điểm cực tiểu tại $(2;-2)$.
Xét hàm số $y=x^3-3x^2+2$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ (cho $y=2$) hoặc $x=2$ (cho $y=-2$). Thỏa mãn đúng đồ thị hình vẽ.

Chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số: Khi $x\to +\infty ,y\to +\infty$ nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)$ nằm phía dưới trục hoành nên $d<0$. Hàm số có hai điểm cực trị là $x_1=-2$ và $x_2=1$. Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Theo định lý Vi-et cho đạo hàm: $x_1+x_2=-2+1=-1=-\frac{2b}{3a}\Rightarrow 2b=3a\Rightarrow b=\frac{3}{2}a>a>0$. Và $x_1{x}_2=(-2)(1)=-2=\frac{c}{3a}\Rightarrow c=-6a<0$. So sánh 4 số: $b=1,5a>a>0$ và $c<0,d<0$. Do đó số lớn nhất trong các số $a,b,c,d$ là $b$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Chọn B
Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d trong đó ( a, b, c, d $\in$ $\mathbb{R}$ )
y' = 3ax 2 + 2bx + c
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy: a  0 đồ thị hàm số có hai điểm cực trị M ( 0; -1) , N ( 4; -5 ) .
Ta có hệ phương trình:
d = -1
d = -1 c = 0
 3 
4 a + 4 b + 4c + d = -5
2

$\iff$ a = 1 Vậy số giá trị dương trong các số a, b, c, d là 1 số.
c = 0  8
3.4 a + 2.4b + c = 0
2  3
b = -
4

Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc bằng nhau: $y^{\prime }(x_A)=y^{\prime }(x_B)\iff \frac{2}{(x_A+1{)}^2}=\frac{2}{(x_B+1{)}^2}\iff (x_A+1{)}^2=(x_B+1{)}^2$. Vì $A$ và $B$ phân biệt nên $x_A\ne x_B$, do đó $x_A+1=-(x_B+1)\iff x_A+x_B=-2$.

Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$ ($x\ne 1$) và $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.
a) Đúng vì tiệm cận xiên là $y=x-2\Rightarrow a=1,b=-2\Rightarrow a-2b=5$.
b) Đúng vì hai điểm cực trị là $A(-1;-5)$ và $B(3;3)$, đường thẳng $AB$ có phương trình $y=2x-3$.
c) Đúng vì $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|(-1)\cdot 3-3\cdot (-5)|=6$.
d) Sai vì hàm số không xác định tại $x=1\in (-1;3)$, nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1;1)$ và $(1;3)$.

a) Sai: Hàm số không xác định tại $x=2$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.
b) Đúng: Đường tiệm cận xiên đi qua $(-2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $y=x+2$.
c) Sai: Trên $[-2;1]$ hàm số đồng biến và đi qua $(1;4)$, nên giá trị lớn nhất trên $[-2;1]$ là $4$ (không phải $5$).
d) Đúng: Tiệm cận đứng $x=2\Rightarrow d=2$, tiệm cận xiên $y=x+2$, đồ thị đi qua $(1;4)\Rightarrow y=x+2-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2-5}{x-2}\Rightarrow a=1,b=0,c=-5,d=2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+25+4=30$.
Đáp án (Phần II Câu 1, trang 8): S, Đ, S, Đ.

Ta có $y=\frac{2x+1}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$. Với $x\in \mathbb{Z}$, để $y\in \mathbb{Z}$ thì $x-2\in \{\pm 1;\pm 5\}\iff x\in \{1;3;-3;7\}$. Vậy có $4$ điểm thỏa mãn.

a) Sai: $y=x+1+\frac{1}{x+2}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=0\iff x=-1$ ($y_{\text{CT}}=1$) hoặc $x=-3$ ($y_{\text{CĐ}}=-3$). Tổng hai giá trị cực trị bằng $1+(-3)=-2\ne -4$.
b) Đúng: Tiệm cận xiên là $y=x+1$, đi qua $A(0;1)$.
c) Đúng: Tiếp tuyến vuông góc với $x-3y-6=0$ có hệ số góc $k=-3$. Phương trình $y^{\prime }(x)=-3\iff (x+2{)}^2=\frac{1}{4}\iff x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$. Tại $x=-\frac{3}{2}$ thì $y\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}$, nên tiếp điểm là $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$.
d) Sai: Phương trình $\frac{x^2+3x+3}{|x+2|}=m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>3$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): S-Đ-Đ-S.

**Chọn A**

+ Nhánh cuối đồ thị đi lên khi $x\to +\infty$ nên $a>0$.
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)$ phía trên trục hoành nên $d>0$.
+ Hàm số có hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ với $|x_1|<x_2\Rightarrow x_1+x_2>0$ và $x_1{x}_2<0$.
Theo định lí Vi-ét cho phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$:
$x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$ (do $a>0$).
$x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$ (do $a>0$).
Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$.

Đồ thị là đường cong bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty \Rightarrow a>0$. Giao điểm với trục tung tại $(0;5)$. Điểm cực đại tại $(0;5)$ và điểm cực tiểu tại $(2;1)$. Hàm số tương ứng là $y=x^3-3x^2+5$. Chọn C.

**a) Sai.** Hàm số không xác định tại $x=1\in (0;2)$ nên chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(0;1)$ và $(1;2)$.

**b) Đúng.** Giá trị cực đại là $2$ và giá trị cực tiểu là $6$, tích bằng $2\cdot 6=12$.

**c) Đúng.** Từ bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và đạt cực trị tại $x=0(y=2)$, $x=2(y=6)$ nên $f(x)=x+3+\frac{1}{x-1}=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$. Với $M(x;y)$ có $x>1\Rightarrow y>0$, tổng khoảng cách từ $M$ đến hai trục tọa độ là $x+y=2x+3+\frac{1}{x-1}=2(x-1)+\frac{1}{x-1}+5\ge 5+2\sqrt{2}$.

**d) Sai.** Hàm số có thể viết với $(a;b;c;d)=(1;2;-2;-1)$, khi đó $a+b+c+d=0\ne 2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II) có đáp án là: a:Đ, b:Đ, c:S, d:Đ.

- a) Đúng. Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x$.
- b) Đúng. $y^{\prime }=0\iff -3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Trên khoảng $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$.
- c) Sai. Các điểm cực trị của $(C)$ là $A(0;4)$ và $B(2;8)$.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $2x-y+4=0$, khác với $2x+y-4=0$.
- d) Đúng. Ta có $A(0;4)$, $B(2;8)$, $O(0;0)$.
Diện tích $\Delta AOB$ là $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|0\cdot 8-2\cdot 4|=4$.

- **a) Sai:** Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(-1;0)$ đồ thị đi lên từ $-\infty$ đến $0$ nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$.
- **b) Đúng:** Đồ thị có tiệm cận đứng là $x=-1\Rightarrow -\frac{n}{m}=-1\iff m=n$.
- **c) Đúng:** Giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$ là điểm $I(-1;2)$, đó là tâm đối xứng của đồ thị.
- **d) Đúng:** Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(-2;4)$ và $O(0;0)$, nên khoảng cách giữa chúng là $OA=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

- **a) Sai:** Ta có $y=-x+1-\frac{4}{x-1}\Rightarrow y^{\prime }=-1+\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{4-(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}$. Trên khoảng $(3;+\infty )$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- **b) Sai:** Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(-1;4)$ và $B(3;-4)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(3+1{)}^2+(-4-4{)}^2}=4\sqrt{5}\ne 2\sqrt{5}$.
- **c) Đúng:** Vì $y=-x+1-\frac{4}{x-1}$ nên đường tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=-x+1$.
- **d) Đúng:** Trên đoạn $[2;2026]$, hàm số đồng biến trên $[2;3]$ và nghịch biến trên $[3;2026]$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=3$ với $y(3)=-4$.

- Ý a) Sai: Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Ý b) Đúng: Đường tiệm cận xiên trên đồ thị đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $y=x+2$.
- Ý c) Sai: Quan sát đồ thị trên đoạn $[-2;1]$, hàm số đồng biến và đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ với ${\max }_{[-2;1]}y=y(1)=4\ne 5$.
- Ý d) Đúng: Tiệm cận đứng là $x=2\Rightarrow d=2$. Vì tiệm cận xiên là $y=x+2$ nên $y=x+2+\frac{k}{x-2}$. Đồ thị đi qua $(1;4)\Rightarrow 4=3+\frac{k}{-1}\iff k=-1$.
Suy ra $y=x+2-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2-5}{x-2}\Rightarrow a=1,b=0,c=-5,d=2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+25+4=30$.

a) Sai vì $y^{\prime }=\frac{x^2+4x-5}{(x+2{)}^2}$ (mẫu số là $(x+2{)}^2$). b) Đúng. c) Đúng vì $y=x-1+\frac{9}{x+2}$. d) Sai vì $x+2\in \{\pm 1;\pm 3;\pm 9\}$ chỉ có $6$ điểm nguyên (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).