Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

Chú ý rằng $n=2$ và $n=3$ thoả mãn điều kiện của bài toán, bởi vì
$$2^2\cdot 2-1=7$$
$$2^2\cdot 3-1=11,2^3\cdot 3-1=23$$
là các số nguyên tố.

Với $n=4$, ta có $2^2\cdot 4-1=15$ không là số nguyên tố.
Với $n=5$, ta có $2^3\cdot 5-1=39$ không là số nguyên tố.

Xét $n\ge 6$, khi đó $n-1\ge 5$. Nếu $n-1$ có một ước nguyên tố lẻ $p$ thì theo định lý Fermat nhỏ, ta có
$$2^{p-1}\cdot n-1\equiv 2^{p-1}-1\equiv 0(\mathrm{mod}p).$$
Hiển nhiên $2^{p-1}\cdot n-1>p$ nên không thể là số nguyên tố.

Giả sử $n-1$ chỉ có ước nguyên tố là $2$, hay $n$ có dạng $n=2^k+1$. Rõ ràng $3\le k\le n$. Mặt khác
$$2^{k-1}\cdot n-1=2^{2k-1}+2^{k-1}-1=2^{2k-1}+2^k-2^{k-1}-1=\left(2^k-1\right)\left(2^{k-1}+1\right)$$
không là số nguyên tố. Vậy chỉ có $2$ số nguyên $n$ thoả mãn bài toán là $n=2$ và $n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Do đó $P=x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}=x^{\frac{3}{6}}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức chuyển lũy thừa thành căn thức: $\sqrt[8]{a^3}=a^{\frac{3}{8}}$ với $a>0$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Đề 1014, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $\sqrt{a^5}={\left(a^5\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{2}}$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Đề 1013, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức chuyển lũy thừa thành căn thức: $\sqrt[8]{a^3}=a^{\frac{3}{8}}$ với $a>0$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (Đề 1012, Câu 12 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có $\sqrt{a^5}={\left(a^5\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{2}}$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (Đề 1011, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa với $a>0$, $m,n\in \mathbb{R}$: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$ đúng. Các khẳng định khác sai vì $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, và $a^m+a^n$ không bằng $a^{m+n}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa với $a>0$, $m,n\in \mathbb{R}$: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$ đúng (đáp án A). Các phương án khác sai vì: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (không phải $a^{m-n}$), $a^m+a^n$ không bằng $a^{m+n}$, và $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (không phải $a^{n-m}$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: với $a>0$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Các phương án B, C, D đều sai (B là $a^{m/n}$, C là $a^{n-m}$, D là $a^{mn}$). Đáp án khớp với bảng đáp án đề 1002, câu 12: A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b>0$, theo định nghĩa căn bậc $n$ của lũy thừa: $\sqrt[5]{b^{19}}=b^{\frac{19}{5}}$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $b>0$, theo công thức căn bậc $n$ của lũy thừa: $P=\sqrt[7]{b^{22}}=b^{\frac{22}{7}}$. Vậy đáp án B, trùng với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 1 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: với $a>0$, $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ với mọi số thực $m,n$. Các khẳng định còn lại sai: ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}\ne a^m\cdot a^n$ nói chung; $a^m\cdot a^n$ không bằng tổng $a^m+a^n$; và $a^{mn}={\left(a^m\right)}^n\ne a^m\cdot a^n$. Đáp án khớp với mã đề 1001, câu 8: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa căn bậc $n$: với $a>0$, $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$. Do đó với $n=2025$, ta có $\sqrt[2025]{a}=a^{\frac{1}{2025}}$. Các phương án còn lại sai: $a^{\sqrt{2025}}$ và $a^{2025}$ không phải dạng căn; $\sqrt{a^{2025}}=a^{\frac{2025}{2}}\ne a^{\frac{1}{2025}}$. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 1012 (câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa căn bậc n: với $a>0$, $\sqrt[2026]{a}=a^{\frac{1}{2026}}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số: $a^4\cdot a^2=a^{4+2}=a^6$ (với $a>0$). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1004 (Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số: $a^4\cdot a^2=a^{4+2}=a^6$ (với $a>0$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số: $a^4\cdot a^2=a^{4+2}=a^6$ (với $a>0$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 3 = B).