Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ với $a>0$, nên D đúng. A sai vì $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; B sai vì $(a^m{)}^n=a^{mn}$; C sai vì $(a+b{)}^m\ne a^m+b^m$ nói chung. Khớp đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a^{2b}=5$, suy ra $a^{6b}=(a^{2b}{)}^3=5^3=125$. Vậy $2\cdot a^{6b}=2\cdot 125=250$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 250).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=\frac{(a^2{)}^{1/3}}{a^{1/3}\cdot a^{1/4}}=\frac{a^{2/3}}{a^{1/3+1/4}}=a^{2/3-1/3-1/4}=a^{8/12-4/12-3/12}=a^{1/12}$. Phân số $\frac{1}{12}$ đã tối giản nên $m=1,n=12$, suy ra $m+n=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[3]{-0,001}=-\sqrt[3]{0,001}=-0,1$ vì $(-0,1{)}^3=-0,001$. Đáp án trùng với mã đề 1102, Câu 2: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lũy thừa, tích của $n$ thừa số $b$ là $b.b...b=b^n$. Đáp án trùng với key nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
$$A=\frac{a^{3/4}}{a^{1/3+1/4}}=a^{3/4-7/12}=a^{2/12}=a^{1/6}.$$ Vậy $\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$ tối giản, $m+n=7$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $0,001=10^{-3}$, nên $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{10^{-3}}=10^{-1}=0,1$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương: tích $a\cdot a\cdots a$ gồm $n$ thừa số $a$ được định nghĩa là $a^n$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[4]{a.\sqrt[6]{b^7}}={\left(a.b^{7/6}\right)}^{1/4}=a^{1/4}{b}^{7/24}$, nên lũy thừa 4 của nó là $a.b^{7/6}$. Mẫu số: $\sqrt[3]{\sqrt{a^6.b}}={\left(a^{6}b\right)}^{1/6}=a.b^{1/6}$. Vậy $P=\frac{a.b^{7/6}}{a.b^{1/6}}=b^{7/6-1/6}=b$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, bất đẳng thức $\sqrt[3]{a^2}>\sqrt[4]{a}$ tương đương $a^{2/3}>a^{1/4}$. Vì $2/3>1/4$, so sánh cùng cơ số $a$: nếu $a>1$ thì $a^{2/3}>a^{1/4}$ (đúng); nếu $0<a<1$ thì $a^{2/3}<a^{1/4}$ (sai); nếu $a=1$ thì hai vế bằng 1 (sai). Với $a<0$, $\sqrt[4]{a}$ không xác định trên tập số thực. Vậy tập hợp cần tìm là $(1;+\infty )$, khớp đáp án B trong bảng mã đề 209.

(AI giải đề cho tôi)
Tử số: $\sqrt[4]{a^3\sqrt{b}}={\left(a^3{b}^{1/2}\right)}^{1/4}=a^{3/4}{b}^{1/8}$, lũy thừa 4 ta được $a^3{b}^{1/2}$. Mẫu số: $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^3}}={\left(a^{12}{b}^3\right)}^{1/6}=a^2{b}^{1/2}$. Vậy $P=\frac{a^3{b}^{1/2}}{a^2{b}^{1/2}}=a$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x-2$. Bất phương trình trở thành $t^{\frac{1}{3}}>t^{\frac{1}{6}}$. Xét $t>0$ (trường hợp lũy thừa với mẫu số lẻ cũng cho phép $t<0$, nhưng khi $t<0$ thì $t^{1/3}<0<t^{1/6}$ không thỏa; $t=0$ cho $0>0$ sai). Với $t>1$: do $\frac{1}{3}<\frac{1}{6}$ nên $t^{\frac{1}{3}}<t^{\frac{1}{6}}$, không thỏa. Với $0<t<1$: hàm lũy thừa giảm theo số mũ nên $t^{\frac{1}{3}}>t^{\frac{1}{6}}$, thỏa mãn. Vậy $0<x-2<1\iff 2<x<3$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, bất đẳng thức $\sqrt[4]{a^3}>\sqrt[5]{a^4}$ tương đương $a^{3/4}>a^{4/5}$. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số $a$: nếu $a>1$ thì lũy thừa với số mũ lớn hơn lớn hơn, mà $\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$ nên $a^{4/5}>a^{3/4}$, bất đẳng thức sai; nếu $0<a<1$ thì lũy thừa với số mũ nhỏ hơn lớn hơn, tức $a^{3/4}>a^{4/5}$, bất đẳng thức đúng. Với $a\le 0$ hai vế không cùng xác định theo nghĩa so sánh thông thường (căn bậc chẵn yêu cầu $a\ge 0$). Vậy tập hợp cần tìm là $(0;1)$, trùng với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ảnh gốc trang 5 (mã đề 102) ghi rõ ý b) là $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}$ (số mũ $\frac{1}{13}$, không phải $\frac{1}{3}$), nên các lỗi nghi ngờ chép nhầm không xảy ra.
a) Sai: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c\ne \frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
b) Đúng: $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
c) Sai: $A=\frac{a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}}{2a}=\frac{a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
d) Đúng: $I={\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức mã đề 102: 1a S, 1b Đ, 1c S, 1d Đ.
a) Sai. Theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không phải $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
b) Đúng. $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
c) Sai. $A=\frac{a^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2a}$.
d) Đúng. $I={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$, không phải $a^{\alpha \beta }$. Ví dụ $a=2,\alpha =\beta =1$ thì $2\cdot 2=4\ne 2$. Các khẳng định A, B, D đều đúng theo định nghĩa lũy thừa. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa: $a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$, không phải $a^{\alpha \beta }$. Do đó khẳng định B sai. Các khẳng định A, C, D đều đúng với $a,b>0$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Với $a>0$: $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$, nên $A=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
b) Sai. Theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không phải $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
c) Đúng. Với $x>0$: $P=x^{\frac{6}{19}}\cdot x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
d) Đúng. $I={\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ (với $a>0,a\ne 1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$ nên $A=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không bằng $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{97}{247}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[7]{9}=9^{\frac{1}{7}}={\left(3^2\right)}^{\frac{1}{7}}=3^{\frac{2}{7}}$. Phân số $\frac{2}{7}$ tối giản với $a=2\in \mathbb{N}$, $b=7\in \mathbb{N}$. Do đó $5a+b=5\cdot 2+7=17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, Phần III câu 4: 17).

(AI giải đề cho tôi)
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là lũy thừa có số mũ là số hữu tỉ (tỉ lệ của hai số nguyên). Xét các phương án: A có $3^x$ với $x$ là biến, không xác định là số hữu tỉ; B có $3^{\pi }$ với $\pi$ là số vô tỉ; D có $3^{\sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Chỉ có phương án C, $S=3^{\frac{3}{4}}$, có số mũ $\frac{3}{4}$ là số hữu tỉ. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 1014, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[7]{9}=9^{\frac{1}{7}}=3^{\frac{2}{7}}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{2}{7}$ nên $a=2,b=7$. Vậy $5a+b=5\cdot 2+7=17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1013, Phần III câu 2 = 17).