Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)$, đi qua điểm $A(3;-2;1)$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;2;-2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và song song với ${\Delta }^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(1\cdot (-2)-3\cdot 2;3\cdot 3-2\cdot (-2);2\cdot 2-1\cdot 3)=(-8;13;1)$.
Nhân với $-1$ để hệ số của $x$ bằng $8$: $\vec{n}=(8;-13;-1)$, tức $b=-13$, $c=-1$.
Vì $(P)$ qua $A(3;-2;1)$: $8\cdot 3+(-13)(-2)+(-1)(1)+d=0\Rightarrow 24+26-1+d=0\Rightarrow d=-49$.
Vậy $b+c+d=-13-1-49=-63$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $A(0;0;1)$ vào $(P):ax+by+cz-1=0$ ta được $c-1=0\Rightarrow c=1$. Thay $B(1;0;0)$ vào $(P)$ ta được $a-1=0\Rightarrow a=1$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(0;1;0)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)=(1;b;1)$. Góc giữa hai mặt phẳng bằng $45^{\circ }$ nên $\cos 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}_1|}{|\vec{n}||{\vec{n}}_1|}=\frac{|b|}{\sqrt{1+b^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $\frac{b^2}{b^2+2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2b^2=b^2+2\Rightarrow b^2=2$. Vì $b<0$ nên $b=-\sqrt{2}$. Vậy $a+b+2c=1-\sqrt{2}+2=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u1=(3;2;-1) và đi qua điểm M(2;-1;7). Véc tơ MI=(0;2;-7). Pháp tuyến (Q): n = u1 × MI = (2·(-7)-(-1)·2; (-1)·0-3·(-7); 3·2-2·0) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2). Vậy n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) Sai. Khoảng cách từ I(2;1;0) đến (P): d = |2+1-0+12|/√(1+1+25) = 15/(3√3) = 5/√3, nên R² = 25/3. Mặt cầu tâm I có phương trình (x-2)² + (y-1)² + z² = 25/3, không phải (x-1)² + (y-1)² + z² = 25/3.
c) Đúng. Giao điểm với các trục: A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Pháp tuyến (P): n=(1;1;-5). Đường cao từ A có phương hướng n × BC với BC=(0;12;12/5): (72/5;-12/5;12) ∼ (6;-1;5), nên đường cao: (-12+6s; -s; 5s). Đường cao từ B có phương hướng n × AC với AC=(12;0;12/5): (12/5;-312/5;-12) ∼ (1;-26;-5), nên đường cao: (t; -12-26t; -5t). Giải hệ: 5s=-5t ⇒ s=-t; -12+6s=t ⇒ -12-6t=t ⇒ 27t=-12 ⇒ t=-4/9. Vậy H=(-4/9; -4/9; 20/9) (thỏa mãn cả đường cao từ A: s=4/9 cho cùng điểm). Khi đó a·b·c = (-4/9)(-4/9)(20/9) = 320/729.
d) Đúng. Δ có véc tơ chỉ phương (3;2;-1), nên u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cũng là một véc tơ chỉ phương của Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = (3;2;-1) × (0;2;-7) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2), nên n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P)) = 15/√27 = 5/√3 nên R²=25/3, nhưng tâm là I(2;1;0) nên phương trình đúng là (x-2)²+(y-1)²+z²=25/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Giải hệ ba đường cao được H=(-4/9;-4/9;20/9), nên a·b·c = 320/729.
d) (AI giải đề cho tôi)
u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cùng phương với véc tơ chỉ phương của Δ.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả (P) và (Q) nên là tích có hướng: $\vec{n}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(3;-2;2)\times (5;-4;3)=(2;1;-2)$. Mặt phẳng có dạng $2x+y-2z+d=0$. Thay $M(3;-1;-5)$: $6-1+10+d=0\Rightarrow d=-15$. Vậy mặt phẳng là $2x+y-2z-15=0$, trùng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 1-3+3\cdot (-2)+4|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{|2-3-6+4|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}\approx 0,802\ne \frac{15}{\sqrt{56}}\approx 2,004$ → Sai.
b) $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;3)$, $\overrightarrow{n_Q}=(4;-2;6)=2\overrightarrow{n_P}$: hai vecto pháp tuyến cùng phương nên $(P)\parallel (Q)$, không vuông góc → Sai.
c) Chuẩn hóa $(Q)$: $2x-y+3z-\frac{1}{2}=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: $d=\frac{\left|4-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{2\sqrt{14}}=\frac{9\sqrt{14}}{28}=\frac{9\sqrt{56}}{56}$ → Đúng.
d) Mặt phẳng qua $M(1;3;-2)$ song song $(P)$: $2x-y+3z+d=0$ với $2-3-6+d=0\Rightarrow d=7$, tức $2x-y+3z+7=0\ne 2x-y+3z-10=0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,(P))=\frac{|2-3-6+4|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}\ne \frac{15}{\sqrt{56}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_Q}=(4;-2;6)=2\overrightarrow{n_P}$ nên $(P)\parallel (Q)$, không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$: $2x-y+3z-\frac{1}{2}=0$; $d=\frac{\left|4+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{2\sqrt{14}}=\frac{9\sqrt{56}}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M$ vào $2x-y+3z+d=0$ được $d=7$, phương trình là $2x-y+3z+7=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: pháp tuyến của (Q): -3x+7y-9z-5=0 là n=(-3;7;-9), không phải (-3;7;-5). b) Thay A(-5;5;6): -3(-5)+7·5-9·6-5 = 15+35-54-5 = -9 ≠ 0 nên A không thuộc (Q) → đúng. c) (R): 6x-14y+18z+12=0 có n_R=(6;-14;18) = -2·(-3;7;-9) nên n_R cùng phương n_Q; chia (R) cho -2 được -3x+7y-9z-6=0 khác -3x+7y-9z-5=0 nên hai mặt phẳng song song, không trùng nhau → đúng. d) CM = M-C = (6;-4;-7); n_P = [CM, n_Q] = (85;75;30). Mặt phẳng qua C(-4;5;5): 85(x+4)+75(y-5)+30(z-5)=0 ⟺ 85x+75y+30z-185=0 (kiểm tra M: 170+75-60=185 ✓). Phương trình trong đề là -183, sai số hằng số → khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Q) là (-3;7;-9), không phải (-3;7;-5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào (Q): 15+35-54-5=-9≠0 nên A không thuộc (Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
n_R=(6;-14;18)=-2n_Q và hai mặt phẳng không trùng nhau nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P=[CM,n_Q]=(85;75;30), phương trình đúng là 85x+75y+30z-185=0, không phải -183.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH\perp AB$, và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$.

Diện tích tam giác $SAB$: $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot SH=\frac{a^2\sqrt{6}}{6}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;2a;0)$, $H\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right)$, $S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

$\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

$\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}=\left(\frac{2a^2\sqrt{3}}{3};\frac{a^2\sqrt{6}}{3};a^2\sqrt{2}\right)$, nên $|\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}|=a^2\sqrt{\frac{12}{9}+\frac{6}{9}+2}=2a^2$.

$\overrightarrow{AS}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, khi đó
$$d(A,(SBD))=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot (\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD})|}{|\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}|}=\frac{\frac{a^3\sqrt{6}}{3}+\frac{a^3\sqrt{6}}{3}}{2a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x$, chiều cao hình hộp $A{A}^{\prime }=h$. Vì hình hộp đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AC$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$ nên $A{A}^{\prime }=AC=h$. Theo Pythagore: $A^{\prime }{C}^2=A{C}^2+A{A}^{\prime 2}=2h^2=a^2\Rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Đáy là hình vuông nên $AC=x\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{a}{2}$.

Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(x;0;0)$, $C(x;x;0)$, $D(0;x;0)$, $D^{\prime }(0;x;h)$ với $x=\frac{a}{2}$, $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Mặt phẳng $(BC{D}^{\prime })$ chứa $\overrightarrow{BC}=(0;x;0)$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-x;x;h)$, vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(xh;0;x^2).$$
Phương trình mặt phẳng: $h(X-x)+xZ=0$, tức $hX+xZ-hx=0$.

Khoảng cách từ $A(0;0;0)$:
$$d(A,(BC{D}^{\prime }))=\frac{hx}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2}{2\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $S(0;0;a)$ (vì $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$). Gọi $O$ là tâm hình thoi, $O$ là trung điểm $AC$: $O\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$.

Mặt phẳng $(SCD)$: vì $CD\parallel AB$ nên $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{CS}=\left(-\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$. VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CS}=\left(0;a^2;\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\parallel (0;2;\sqrt{3})$. Phương trình: $2y+\sqrt{3}z=a\sqrt{3}$ (thay điểm $D$).

1) Khoảng cách từ $B(a;0;0)$: $d(B,(SCD))=\frac{|0-a\sqrt{3}|}{\sqrt{4+3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

2) Khoảng cách từ $O\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$: $d=\frac{\left|2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}-a\sqrt{3}\right|}{\sqrt{7}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

3) Trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$: $G=\left(\frac{\frac{3a}{4}+a+0}{3};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{3};0\right)=\left(\frac{7a}{12};\frac{a\sqrt{3}}{12};0\right)$. Khoảng cách: $d(G,(SCD))=\frac{\left|2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{12}-a\sqrt{3}\right|}{\sqrt{7}}=\frac{\frac{5a\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{7}}=\frac{5a\sqrt{21}}{42}$.

Kiểm tra: vì $B\in (ABCD)$, $O\in (ABCD)$, $G\in (ABCD)$ và $(SCD)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $CD$, tỉ số khoảng cách bằng tỉ số khoảng cách tới đường thẳng $CD$ trong mặt đáy: $d(B,CD)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $d(O,CD)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, $d(G,CD)=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$; nhân với $\sin \phi$ với $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ (góc giữa hai mặt phẳng) cho đúng các kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(15;0;0)$, $D(0;45;0)$, $A^{\prime }(0;0;10)$. Điểm ngắm $M$ là tâm hình vuông $ABCD$: $M(7,5;22,5;0)$. Mặt phẳng $(D{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $D(0;45;0)$, $A^{\prime }(0;0;10)$, $C^{\prime }(15;45;10)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-45;10)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(15;0;10)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(-450;150;675)\parallel (-6;2;9)$. Phương trình mặt phẳng: $-6x+2y+9z=90$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng (cũng là khoảng cách ngắn nhất tới mục tiêu di động trên mặt phẳng): $d(M,(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{|-6\cdot 7,5+2\cdot 22,5+9\cdot 0-90|}{\sqrt{36+4+81}}=\frac{90}{\sqrt{121}}=\frac{90}{11}\approx 8,18$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(Q)\parallel (P)$ nên $(Q)$ nhận cùng vector pháp tuyến $\vec{n}=(1;5;2)$ → a đúng. Phương trình $(Q)$ qua $M(-1;4;2)$: $1(x+1)+5(y-4)+2(z-2)=0$ → b đúng. Đường thẳng qua $M$ vuông góc $(Q)$ có vector chỉ phương $\vec{n}=(1;5;2)$, phương trình $x=-1+t,y=4+5t,z=2+2t$ → c đúng. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ $M$ đến $(P)$: $d(M,(P))=\frac{|-1+20+4-1|}{\sqrt{1+25+4}}=\frac{22}{\sqrt{30}}$, nên $R^2=\frac{484}{30}=\frac{242}{15}\approx 16,13\ne 15$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ song song với $(P)$ nên nhận cùng vector pháp tuyến $\vec{n}=(1;5;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $M(-1;4;2)$ với pháp tuyến $(1;5;2)$: $1(x+1)+5(y-4)+2(z-2)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc $(Q)$ có vector chỉ phương là pháp tuyến $(1;5;2)$, đi qua $M$: $x=-1+t,y=4+5t,z=2+2t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(M,(P))=\frac{|-1+20+4-1|}{\sqrt{30}}=\frac{22}{\sqrt{30}}$, nên $R^2=\frac{242}{15}\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O\equiv D_1$, $C_1\in Ox$, $A_1\in Oy$, $D\in Oz$, đáy là hình vuông cạnh 1, chiều cao 2 nên tọa độ: $D_1(0;0;0)$, $C_1(1;0;0)$, $A_1(0;1;0)$, $D(0;0;2)$, suy ra $C(1;0;2)$, $B_1(1;1;0)$, $A(0;1;2)$.

a) Ta có $\overrightarrow{C{B}_1}=(0;1;-2)$, $\overrightarrow{CD}=(-1;0;0)$.
VTPT: $\vec{n}=[\overrightarrow{C{B}_1},\overrightarrow{CD}]=(0;2;1)$.
Mặt phẳng $(C{B}_{1}D)$ qua $C(1;0;2)$: $0(x-1)+2(y-0)+1(z-2)=0\iff 2y+z-2=0$.
Kiểm tra: $B_1(1;1;0)$: $2+0-2=0$ ✓; $D(0;0;2)$: $0+2-2=0$ ✓.

b) Khoảng cách từ $A(0;1;2)$ đến $(C{B}_{1}D)$:
$$d(A,(C{B}_{1}D))=\frac{|2\cdot 1+2-2|}{\sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 có véc tơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$ → Đúng. b) (Q): 2x−4y+4z+10=0 có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(2;-4;4)=2{\vec{n}}_1$, và ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$ nhưng (Q) không trùng (P) (thay A(0;0;1) vào (P): −3≠0, vào (Q): 14≠0) nên (P)//(Q) → Đúng. c) Mặt phẳng (α) qua A(0;0;1) song song (P) có VTPT ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$: $1(x-0)-2(y-0)+2(z-1)=0\iff x-2y+2z-2=0$ → Đúng. d) (β) qua B(2;0;1), vuông góc với (P) và (Oxy) nên VTPT $\vec{n}={\vec{n}}_1\times \vec{k}=(1;-2;2)\times (0;0;1)=(-2;-1;0)$. Phương trình: $-2(x-2)-1(y-0)+0(z-1)=0\iff 2x+y-4=0$, khác $x+y+z-1=0$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 15: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình (P): x−2y+2z−5=0, véc tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) có VTPT ${\vec{n}}_2=(2;-4;4)=2{\vec{n}}_1$ nên ${\vec{n}}_1\parallel {\vec{n}}_2$; hai mặt phẳng không trùng nhau (ví dụ điểm A(0;0;1) không thuộc cả hai), vậy (P)//(Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
(α) qua A(0;0;1) song song (P) nhận ${\vec{n}}_1=(1;-2;2)$ làm pháp tuyến: $x-2y+2(z-1)=0\iff x-2y+2z-2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTPT của (β) là $\vec{n}={\vec{n}}_1\times \vec{k}=(-2;-1;0)$. Qua B(2;0;1): $-2(x-2)-y=0\iff 2x+y-4=0\ne x+y+z-1=0$.

Mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Vì $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất nên vectơ pháp tuyến $(a;\frac{1}{2};c)$ của $(\alpha )$ vuông góc với vectơ pháp tuyến $(0;0;1)$ của mặt đất, suy ra $c=0$. Quỹ đạo bóng bắt đầu từ vị trí Nam (gốc $O$) nên $(\alpha )$ đi qua $O$, do đó $d=0$. Theo hình vẽ, bóng rơi xuống tại điểm cách An $0,5\mathrm{m}$ theo phương $x$ và cách Nam $4,5\mathrm{m}$ theo phương $y$, tức điểm $(0,5;4,5;0)$ thuộc $(\alpha )$. Thay vào phương trình: $a\cdot 0,5+\frac{1}{2}\cdot 4,5=0\Rightarrow a=-4,5$. Vậy $a+c+d=-4,5+0+0=-4,5$. (Lưu ý đối chiếu: giá trị $-4,5$ khớp cột mã đề 1005, dòng 18 của bảng đáp án trang 5; đề in trên trang 3 ghi 'Mã đề 1001' nhưng cột 1001 dòng 18 là 7 — bảng đáp án nguồn có sự lệch cột, còn kết quả suy ra từ đề là $-4,5$.)

Hướng dẫn: Mặt phẳng $(OACB)$ đi qua $O(0;0;0)$ nên $d=0$. Đi qua $A(100;0;0)$ nên $100a+d=0\Rightarrow a=0$. Đi qua $B(10;10;8)$ nên $4\cdot 10+c\cdot 8+d=0\Rightarrow 40+8c=0\Rightarrow c=-5$. Vậy $a+c+d=0+(-5)+0=-5$. Kết quả $-5$ này trùng với giá trị ở cột mã đề 1001, dòng 21 của bảng đáp án (dòng tương ứng với câu tự luận này), trong khi dòng 20 cột 1001 là 79.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$. b) Sai: mặt phẳng $(\beta )$ qua $A(1;2;5)$ song song $(\alpha )$ có dạng $x+2y+2z+C=0$; thay $A$: $1+4+10+C=0\Rightarrow C=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0$, không phải $x+2y+2z+15=0$. c) Đúng: $(\gamma )$ qua $O$ và $A$ nên pháp tuyến ${\vec{n}}_{\gamma }\perp \overrightarrow{OA}=(1;2;5)$; vuông góc $(\alpha )$ nên ${\vec{n}}_{\gamma }\perp (1;2;2)$. Lấy ${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times (1;2;2)=(-6;3;0)$, suy ra $(\gamma ):-6x+3y=0\iff 2x-y=0$ (thỏa mãn qua $O$ và $A$). d) Sai: thay $M(2;-1;1)$ vào $(\alpha )$: $2+2(-1)+2(1)-6=-4\ne 0$, nên $M\notin (\alpha )$. Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án ĐSĐS của mã đề 102.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x,y,z$ trong phương trình $(\alpha )$ chính là véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(1;2;5)$ song song $(\alpha )$: $x+2y+2z+C=0$, thay $A$ được $C=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0\ne x+2y+2z+15=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times (1;2;2)=(-6;3;0)$, phương trình $(\gamma ):-6x+3y=0\iff 2x-y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2+2(-1)+2(1)-6=-4\ne 0$ nên $M$ không thuộc $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình vẽ: bé gái ở gốc $O(0;0;0)$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$, trục $Oy$ hướng về phía bé trai, trục $Ox$ hướng sang phải.

Quả bóng rơi tại điểm $B$ cách bé gái $5m$ (khoảng cách ngang), trong đó lệch về bên phải $3m$ theo hình vẽ (hình chiếu vuông góc từ $B$ lên trục $Oy$ tại điểm $C$ có độ dài $3m$). Theo định lý Pythagoras, khoảng cách dọc theo hướng ném là $OC=\sqrt{5^2-3^2}=4m$. Vậy $B(3;4;0)$.

Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên không chứa $z$, có dạng $4x+by+c=0$. Quỹ đạo xuất phát từ vị trí bé gái nên mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$, suy ra $c=0$. Mặt phẳng còn đi qua $B(3;4;0)$:
$$4\cdot 3+b\cdot 4+0=0\Rightarrow 12+4b=0\Rightarrow b=-3.$$

Vậy $b+c=-3+0=-3$, khớp với đáp án $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình $5x-5y+8z+24=0$, véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(5;-5;8)$, nên khẳng định 'không phải là véc tơ pháp tuyến' là sai.
b) Sai. Thay $H(-4;-4;-3)$: $5(-4)-5(-4)+8(-3)+24=-20+20-24+24=0$, nên $H\in (Q)$; do đó khẳng định 'H không thuộc $(Q)$' là sai.
c) Đúng. $(P):-15x+15y-24z-71=0$ có $\overrightarrow{n_P}=(-15;15;-24)=-3(5;-5;8)=-3\overrightarrow{n_Q}$, nên hai véc tơ pháp tuyến cùng phương. Lấy điểm $O(0;0;0)$: $Q(O)=24\ne 0$, $P(O)=-71\ne 0$, hai mặt phẳng không trùng nhau, vậy $(Q)\parallel (P)$.
d) Đúng. $\overrightarrow{KB}=(2;6;0)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $KB$ và vuông góc $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{KB}\times \overrightarrow{n_Q}=(2;6;0)\times (5;-5;8)=(48;-16;-40)\parallel (6;-2;-5)$. Qua $K(-2;-4;-3)$: $6(x+2)-2(y+4)-5(z+3)=0\iff 6x-2y-5z-11=0$. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $5x-5y+8z+24=0$ ta có $\vec{n}=(5;-5;8)$ chính là một véc tơ pháp tuyến của $(Q)$, nên khẳng định là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $H(-4;-4;-3)$ vào $(Q)$: $5(-4)-5(-4)+8(-3)+24=0$, nên $H\in (Q)$; khẳng định 'H không thuộc $(Q)$' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_P}=(-15;15;-24)=-3(5;-5;8)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_Q}$, và hai mặt phẳng không trùng nhau (thử $O(0;0;0)$: $24\ne 0$, $-71\ne 0$), nên $(Q)\parallel (P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{KB}=(2;6;0)$, $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{KB}\times \overrightarrow{n_Q}=(48;-16;-40)\parallel (6;-2;-5)$. Qua $K$: $6(x+2)-2(y+4)-5(z+3)=0\iff 6x-2y-5z-11=0$. Đúng.