Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z+2}{1}$ và $d_2:\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+2}{-2}$. Gọi mặt phẳng $(P)$ là chứa $d_1$ và $(P)$ song song với đường thẳng $d_2$. Khoảng cách từ điểm $M(1;1;1)$ đến $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(N)$ có đỉnh $A(1;4;0)$, độ dài đường sinh bằng $\sqrt{19}$ và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(P):2x+y+2z-3=0$. Gọi $(C)$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $(N)$ với mặt phẳng $(Q):x-2(m+1)y+mz+2m+1=0$ và $M$ là một điểm di động trên $(C)$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $(Q)$ lớn nhất thì giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 2. Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện $OABC$ tận dụng góc tường nhà (với $O$ là góc tường, ba cạnh $OA,OB,OC$ nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng $ABC$) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí $M$ có tọa độ $M(1;2;1)$ (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(N)$ có đỉnh là $S(1;-3;2)$, tâm đường tròn đáy là $I(4;3;5)$, bán kính $R$ không đổi. Hình trụ $(T)$ có một đáy là đường tròn tâm $I$, đường tròn đáy còn lại có tâm $K$ và đường tròn này nằm trên mặt xung quanh của hình nón $(N)$. Khi khối trụ $(T)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $(P)$ chứa đường tròn tâm $K$ có phương trình $ax+2y+cz+d=0$. Giá trị của biểu thức $M=a+2c-d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$, $B(6;5;5)$. Xét khối nón $(N)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có $B$ là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $(N)$. Khi thể tích của khối nón $(N)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Giá trị của biểu thức $T=b+c+d$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, $C(0;0;6)$, $D(2;4;6)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$, $(P)$ cắt các cạnh $DA,DB,DC$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho thể tích khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$ bằng $\frac{1}{8}$ thể tích khối tứ diện $ABCD$. Khi đó, mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $ax+by+cz+d=0$. Biết $c=4$, hãy tính giá trị biểu thức $T=a^2-b^3-d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;3;5)$ và $B(-4;-1;-3)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$ và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi khối nón $(N)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng

Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm $B$ trên một chân tường và điểm $C$ trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường $1\text{ m}$ và chiều cao $1\text{ m}$ (đỉnh cột là điểm $M$) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm $A$ trên một chân tường còn lại cách điểm $O$ một khoảng $2\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha $ABC$ là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và tạo với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3\\ z=-1+8t\end{array}$ một góc lớn nhất, có phương trình là $ax+by+cz-5=0$. Tính $a+b+c$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y+z+3=0$ và điểm $A(1;1;2)$. Gọi $M$ là điểm tùy ý thuộc mặt phẳng $(P)$ và luôn cách gốc tọa độ $O$ đoạn bằng $\sqrt{2}$. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn $AM$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).