Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Mặt phẳng qua $M(2;-1;1)$ và song song với $(P)$ có phương trình $1(x-2)-2(y+1)+3(z-1)=0\iff x-2y+3z-7=0$.
Do đó $a=1,b=-2,c=3\Rightarrow a+b+c=2$.

Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-2=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2=(2;-3;1)$.
Chọn đáp án B.

Gọi tọa độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c\ne 0$.
Vì $G(1;2;3)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
$$\{\begin{array}{l}a=3x_G=3\\ b=3y_G=6\\ c=3z_G=9\end{array}$$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn là:
$$\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\iff 6x+3y+2z-18=0$$
Chọn đáp án B.

Chọn B.
Mặt phẳng $(P_1):4x+2y+z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(4;2;1)$.

Chọn A.
Đường thẳng $d_1$ đi qua $M_1(1;-1;1)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(-2;1;2)$.
Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(1;-3;2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1,d_2$ có một vectơ pháp tuyến là:
$\vec{n}=[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=(8;6;5).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_1(1;-1;1)$ là:
$8(x-1)+6(y+1)+5(z-1)=0⟺8x+6y+5z-7=0⟺-8x-6y-5z+7=0.$
Suy ra $a=-8,b=-6,c=-5$. Vậy $S=a-3b+c=-8-3(-6)-5=5$.

Chọn B.
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
- Với $N(1;-1;2)$: $1-(-1)+2(2)-1=1+1+4-1=5\ne 0$, do đó điểm $N$ không thuộc $(P)$.

Chọn A.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Vì $d\subset (P)$ nên hai điểm thuộc $d$ là $P_1(-1;1;2)$ và $P_2(1;2;5)$ phải thuộc $(P)$:
$\{<table><tbody><tr><td>-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1</td></tr><tr><td>\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}=1</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>\frac{1}{b}=3+\frac{7}{a}=\frac{3a+7}{a}</td></tr><tr><td>\frac{1}{c}=-1-\frac{3}{a}=\frac{-a-3}{a}</td></tr></tbody></table>$
Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(M,(P))=\frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|abc|\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$.
Thể tích khối tứ diện $MABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot d(M,(P))=\frac{1}{6}|abc|\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|$.
Thay $\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ theo $a$:
$\frac{1}{a}+2\left(3+\frac{7}{a}\right)+3\left(-1-\frac{3}{a}\right)-1=\frac{6}{a}+2=\frac{2(a+3)}{a}$.
$abc=a\cdot \frac{a}{3a+7}\cdot \frac{a}{-a-3}=\frac{-a^3}{(3a+7)(a+3)}$.
Suy ra:
$V=\frac{1}{6}\cdot \frac{a^3}{(3a+7)(a+3)}\cdot \frac{2(a+3)}{a}=\frac{a^2}{3(3a+7)}$.
Với $a\in [-5;-3]$, xét hàm số $f(a)=\frac{a^2}{3a+7}$ trên $[-5;-3]$:
$f^{\prime }(a)=\frac{2a(3a+7)-3a^2}{(3a+7{)}^2}=\frac{3a^2+14a}{(3a+7{)}^2}=\frac{a(3a+14)}{(3a+7{)}^2}$.
$f^{\prime }(a)=0\iff a=-\frac{14}{3}\in [-5;-3]$.
Ta có $f\left(-\frac{14}{3}\right)=\frac{\frac{196}{9}}{-14+7}=\frac{\frac{196}{9}}{-7}=-\frac{28}{9}$.
Vì thể tích luôn dương (lấy trị tuyệt đối), $V(a)=\frac{a^2}{3|3a+7|}$ đạt cực tiểu tại $a=-\frac{14}{3}$:
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{28}{9}=\frac{56}{27}$.

Ta có $d(M,(P))=\frac{|2(-1)-2(2)+(-3)+5|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-4|}{3}=\frac{4}{3}$.

Phương trình mặt phẳng là $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0\iff x-2y+3z+12=0$.

Mặt phẳng $(\alpha ):2x+4y-z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;4;-1)$.

a) Đúng: $3(1)-2(-1)+(-4)-1=0\Rightarrow A\in (\alpha )$.
b) Đúng: Mặt phẳng qua $M(1;2;1)$ song song với $(\alpha )$ là $3(x-1)-2(y-2)+1(z-1)=0\iff 3x-2y+z=0$.
c) Sai: $\cos ((\alpha ),(\beta ))=\frac{|3+2+2|}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\frac{7}{2\sqrt{21}}\Rightarrow ((\alpha ),(\beta ))\approx 40,2^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
d) Sai: Hai vectơ pháp tuyến $(3;-2;1)$ và $(3;-2;-2)$ không cùng phương.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;0),\overrightarrow{AC}=(3;1;-4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(8;12;9)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $8(x+1)+12(y-1)+9(z-3)=0\iff 8x+12y+9z-31=0$.
Do đó $a=8,b=12,c=9\Rightarrow a-c=8-9=-1$.

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$, ta có $\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{7}=1\iff \frac{x}{3}-y+\frac{z}{7}=1$.

Ta thay lần lượt toạ đô các điểm vào phương trình mặt phẳng ( P ) nếu tọa độ điểm nào thỏa mãn
phương trình thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Ta có: 1 - 2.1 + 2.1 - 1 = 0 \implies A $\in$ ( P ) .

Ta có u( P) = ( a; b; c ) , u(Q) = ( 3;1;1) .
Mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A ( 3; 2;1) và B ( -3;5; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng ( Q )
3a + 2b + c = 27 a = 6

-3a + 5b + 2c = 27 \iff b = 27 .

3a + b + c = 0 c = -45
Vậy S = a + b + c = -12 .

Mặt phẳng ( Oxz ) : y = 0 .
d ( A, ( Oxz ) ) = y A = 2 .

Chọn B.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-3}=1\iff 6x+3y-2z=6$.

Chọn D.
Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$.
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;0)$ có phương trình: $1(x-1)+1(y-2)-1(z-0)=0\iff x+y-z-3=0$.

Mặt phẳng $(P):x-2y-3z+5=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2(1;-2;-3)$. Chọn A.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ có phương trình là $y=0$.