Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Thay tọa độ $N\left(1;1;\frac{3}{2}\right)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$1-3(1)+2\left(\frac{3}{2}\right)-1=1-3+3-1=0$ (thỏa mãn).
Vậy điểm $N\in (P)$.

Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ là:
$d(M,(P))=\frac{|2-2(-5)-2(0)-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{|9|}{3}=3$.

Trung điểm của đoạn thẳng $OA$ là $I(1;0;-2)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{OA}=(2;0;-4)=2(1;0;-2)$.
Phương trình mặt phẳng trung trực là:
$1(x-1)+0(y-0)-2(z+2)=0⟺x-2z-5=0$.

Phương trình $(\alpha )$ dạng đoạn chắn: $\frac{x}{\frac{60}{a}}+\frac{y}{\frac{60}{b}}+\frac{z}{\frac{60}{c}}=1$.
Thể tích tứ diện là $V=\frac{1}{6}\cdot \frac{60^3}{abc}=\frac{36000}{abc}$.
Do $M(2;4;5)\in (\alpha )$ nên $2a+4b+5c=60$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $60=2a+4b+5c\ge 3\sqrt[3]{40abc}\Rightarrow abc\le 200$.
Suy ra $V\ge \frac{36000}{200}=180$.
Dấu "=" xảy ra khi $2a=4b=5c=20\iff a=10,b=5,c=4$.
Vậy $a+b+c=10+5+4=19$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Mặt phẳng $2x+4y+6z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $(2;4;6)=2(1;2;3)$ cùng phương với $\vec{n}=(1;2;3)$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;5;3)=-(3;-5;-3)$. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-5;-3)$ là $3(x-1)-5(y-2)-3(z+3)=0\iff 3x-5y-3z-2=0$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}\Rightarrow I(5;-3;-1)$. Khi đó $d(A;(P))+2d(B;(P))=3d(I;(P))\le 3IC$, dấu bằng xảy ra khi $(P)\perp IC$. Ta có $\overrightarrow{CI}=(4;-4;2)=2(2;-2;1)$, nên $(P):2(x-1)-2(y-1)+(z+3)=0\iff 2x-2y+z+3=0\Rightarrow a+b+c=2-2+1=1$.

Chọn C.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2(x-1)-3(y+2)+5(z-3)=0⟺2x-3y+5z-23=0$.

Chọn B.
Đặt $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$. Ta có $(1+2i)(a+bi)+3(a-bi)=4-2i⟺(4a-2b)+(2a-2b)i=4-2i$.
Suy ra $\{\begin{array}{l}4a-2b=4\\ 2a-2b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\end{array}⟹|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Chọn D.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;2)=2(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;-1;3)$.
Khi đó $\left[\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(4;0;-4)=4(1;0;-1)$.
Vậy ${\vec{n}}_1=(1;0;-1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng $(P)$: Với điểm $(1;-1;1)$, ta có $2(1)-(-1)+2(1)-5=2+1+2-5=0$, thỏa mãn phương trình $(P)$. Vậy điểm $(1;-1;1)\in (P)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn A.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;3)$ và nhận $\vec{n}=(1;-1;2)$ làm vectơ pháp tuyến là: $1(x-1)-1(y-2)+2(z-3)=0\iff x-1-y+2+2z-6=0\iff x-y+2z-5=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tại $D(0;0;0)$, tia $Dx\equiv DA$, $Dy\equiv DC$, $Dz\equiv DQ$. Khi đó $D(0;0;0)$, $M(6;0;6)$, $E(6;3;0)$, $P(0;6;6)$. Mặt phẳng $(MED)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;-1)$ và đi qua $D(0;0;0)$ nên có phương trình $x-2y-z=0$. Khoảng cách từ $P(0;6;6)$ đến $(MED)$ là $d(P,(MED))=\frac{|0-12-6|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{18}{\sqrt{6}}=3\sqrt{6}\approx 7,35$.

Chọn C
x y z
Mặt phẳng cần tìm có phương trình: + + = 1 $\iff$ 6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0.
2 3 4
1+ 2x

Chọn B
Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: x + by + cz + d = 0
Do A $\in$ ( P ) $\Rightarrow$ 1 + d = 0 $\iff$ d = -1
2b + 1
B $\in$ ( P ) $\Rightarrow$ -2b + 3c - 1 = 0 $\iff$ c =
3
2 1+ b + c + d 2
d (C, ( P )) = $\iff$ = $\iff$ 3 b + c = 2 1 + b2 + c2
3 1+ b + c
2 2
3
$\iff$ 3 ( b 2 + c 2 + 2bc ) = 4 (1 + b 2 + c 2 ) $\iff$ b 2 + c 2 - 6bc + 4 = 0
2
 2b + 1  2b + 1
$\iff$ b +
2
 - 6b. +4=0
 3  3
b = 1
$\iff$ 23b + 14b - 37 = 0 $\iff$
2
b = - 37
23
Với b = 1 $\Rightarrow$ c = 1 . Phương trình mặt phẳng ( P ) là: x + y + z - 1 = 0 . Tọa độ giao điểm của ( P )
và trục Oy là M 1 ( 0;1;0 ) .
37 17 37 17
Với b = - $\Rightarrow$ c = - . Phương trình mặt phẳng ( P ) là: x - y - z -1 = 0
23 23 23 23
 23 
$\iff$ 23 x - 37 y - 17 z - 23 = 0 . Tọa độ giao điểm của ( P ) và trục Oy là M 1  0; - ;0  .
 37 

Chọn A
Phương trình mặt phẳng ( P ) cần tìm là: 1( x - 1) + 1( y - 2 ) + 2 ( z + 1) = 0 $\iff$ x + y + 2 z - 1 = 0 .

Chọn D

Mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0 nhận n = (1; -2;3) là một véctơ pháp tuyến.

Chọn A
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB $\Rightarrow$ I ( -1;1; -1) .
 
AB = ( -4; -2; 4 ) $\Rightarrow$ n = ( 2;1; -2 ) là vecto pháp tuyến.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng trung trực đi qua I và nhận n = ( 2;1; -2 ) làm vecto pháp tuyến là:
2 ( x + 1) + 1( y - 1) - 2 ( z + 1) = 0 $\iff$ 2 x + y - 2 z - 1 = 0. .

Chọn D
    2 2 1
Chọn điểm K thỏa mãn KA + 2 KB + 3KC = 0 . Khi đó K  ; ; -  cố định.
3 3 2
 2  2  2
P = MA2 + 2 MB 2 + 3MC 2 = MA + 2 MB + 3MC
  2   2   2
( ) (
= MK + KA + 2 MK + KB + 3 MK + KC ) ( )
   
(
= 6 MK 2 + KA2 + 2 KB 2 + 3KC 2 - 2 MK KA + 2 KB + 3KC )
= 6 MK 2 + KA2 + 2 KB 2 + 3KC 2 .
P đạt GTNN $\iff$ MK đạt GTNN $\iff$ M là hình chiếu của K lên ( P ) .

 5 5 13   5   5   13 
Do đó M  - ; - ; -  . Khi đó T =  -  -  -  + 9  -  = -13 .
 18 18 9   18   18   9 

Mặt phẳng $(P):3x+y-2z-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=(3;1;-2)$.