Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) $F^{\prime }(x)=4x^3\ne 4x^3+5x=f(x)$ nên khẳng định SAI. b) Với $x\ne 0$, $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}=f(x)$ nên khẳng định ĐÚNG. c) $f(x)=(x^2-3)(4x+3)=4x^3+3x^2-12x-9$, còn $F^{\prime }(x)=4x^3+12x^2-12x-9\ne f(x)$ nên SAI. d) Nguyên hàm tổng quát: $F(x)=x^4+4x^3-6x^2-9x+C$. Vì $F(1)=1+4-6-9+C=-10+C=-10$ nên $C=0$, do đó $F(0)=0\ne 3$, khẳng định SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=4x^3$ khác $f(x)=4x^3+5x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)={\left(\ln |x|+1\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=4x^3+3x^2-12x-9$ nhưng $F^{\prime }(x)=4x^3+12x^2-12x-9\ne f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^4+4x^3-6x^2-9x+C$; từ $F(1)=-10$ suy ra $C=0$, nên $F(0)=0\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (1+\sin x)dx=x-\cos x+C$. So sánh với $ax+b\cos x+C$ cho ta $a=1$, $b=-1$. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ (đổi biến $u=2x+1$, $du=2dx$).
a) Sai: thiếu hệ số $\frac{1}{2}$, đúng phải là $\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$.
b) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, nếu $F$ là nguyên hàm của $f$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2x+1}$.
c) Sai: $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$; với $F(0)=1$ thì $C=1$, nên $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+1$ (không phải $-1$).
d) Sai: $\int (2x+1)f(x)dx=\int 1dx=x+C$, không phải $x+2\ln |2x+1|+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$, mệnh đề thiếu hệ số $\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F$ là nguyên hàm của $f$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$; từ $F(0)=1$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+1$, không phải $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(2x+1)\cdot f(x)=1$ nên $\int (2x+1)f(x)dx=x+C$, không phải $x+2\ln |2x+1|+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^3-2x^2+x+C$. Với $F(2)=8-8+2+C=2+C=2$ suy ra $C=0$, nên $F(x)=x^3-2x^2+x$. Do đó $F(3)=27-18+3=12$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $\int \left(2x+\sin \frac{x}{2}\right)dx=x^2-2\cos \frac{x}{2}+C$ vì $\int \sin \frac{x}{2}dx=-2\cos \frac{x}{2}+C$, không phải $-\cos \frac{x}{2}$. b) Sai. $(e^x+e^{-x}{)}^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$, nên nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{2}{e}^{-2x}+2x+C$ (hệ số của $x$ phải là 2, không phải 1). c) Đúng. $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$ và $\int \frac{2}{x^2}dx=-\frac{2}{x}+C$, tổng lại đúng bằng $\ln x-\frac{2}{x}+C$. d) Sai. $\frac{x^2+\ln x}{x}=x+\frac{\ln x}{x}$, nên nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}+\frac{(\ln x{)}^2}{2}+C$, không phải $\frac{1}{2}\ln x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $x^2-2\cos \frac{x}{2}+C$ vì $\int \sin \frac{x}{2}dx=-2\cos \frac{x}{2}+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(e^x+e^{-x}{)}^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$, nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{2}{e}^{-2x}+2x+C$, hệ số của $x$ sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx=\ln x-\frac{2}{x}+C$, đúng như mệnh đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int \frac{x^2+\ln x}{x}dx=\int \left(x+\frac{\ln x}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{(\ln x{)}^2}{2}+C$, không phải $\frac{1}{2}\ln x$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\int \sqrt{2x-1}dx$ bằng cách đặt $u=2x-1$, khi đó $du=2dx$ nên $dx=\frac{1}{2}du$. Do đó $\int \sqrt{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left[\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}\right]}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2x-1}+(2x-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}=f(x)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, do đó $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$. Vậy họ các nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ là $-\cot x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1$, nên $f(x)=\ln |x|-x+C$. Với $f(1)=5$: $\ln 1-1+C=5\Rightarrow C=6$. Vậy $f(x)=\ln |x|-x+6$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(3x^3-x^2+3x+3{)}^{\prime }=9x^2-2x+3\ne f(x)=6x^2-2x+3$, nên SAI. Nguyên hàm đúng dạng $2x^3-x^2+3x+C$. b) $(F+G{)}^{\prime }=F^{\prime }+G^{\prime }=f+g$, nên ĐÚNG. c) Đúng theo định nghĩa nguyên hàm trên $\mathbb{R}$: $G^{\prime }(x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R}$ — ĐÚNG. d) $\int (6x^2-2x+4+2\sin x)dx=2x^3-x^2+4x-2\cos x+C$ — ĐÚNG. Kết quả SĐĐĐ khớp bảng đáp án mã đề 102 (Câu 1: SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(3x^3-x^2+3x+3{)}^{\prime }=9x^2-2x+3\ne f(x)=6x^2-2x+3$, nên không phải nguyên hàm của $f(x)$. Nguyên hàm đúng dạng $2x^3-x^2+3x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(F(x)+G(x){)}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)=f(x)+g(x)$, nên $F(x)+G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)+g(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa: $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$ trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $G^{\prime }(x)=g(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int [f(x)+g(x)]dx=\int (6x^2-2x+4+2\sin x)dx=2x^3-x^2+4x-2\cos x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=e^x+2x^2+C$. Với $F(0)=1+C=2$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=e^x+2x^2+1$. Do đó $F(3)=e^3+18+1\approx 20,0855+19=39,0855\approx 39,1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\int f(x)dx=2x^3-x+C$ suy ra $f(x)=6x^2-1$. Khi đó $g(x)=3f(x)=18x^2-3$, nên $\int g(x)dx=6x^3-3x+C$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ và $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=3^x+\frac{1}{x}$ là $\frac{3^x}{\ln 3}+\ln |x|+C$, trùng với đáp án A và khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 101): a) ∫[f(x)+g(x)]dx = ∫(6x²−2x+4+2sin x)dx = 2x³−x²+4x−2cos x+C → Đúng. b) Theo tính chất tuyến tính của nguyên hàm: [F(x)+G(x)]' = f(x)+g(x) → Đúng. c) Đạo hàm của 3x³−x²+3x+3 là 9x²−2x+3 ≠ 6x²−2x+3, nên đây không phải nguyên hàm của f(x) (nguyên hàm đúng dạng 2x³−x²+3x+C) → Sai. d) Theo định nghĩa, G(x) là nguyên hàm của g(x) trên ℝ nếu G'(x)=g(x) với mọi x∈ℝ → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(6x²−2x+3+2sin x+1)dx = 2x³−x²+4x−2cos x+C, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
[F(x)+G(x)]' = F'(x)+G'(x) = f(x)+g(x), nên F+G là nguyên hàm của f+g.
c) (AI giải đề cho tôi)
(3x³−x²+3x+3)' = 9x²−2x+3 ≠ 6x²−2x+3 = f(x), nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa nguyên hàm trên ℝ: G'(x)=g(x), ∀x∈ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=e^x+2x^2+C$. Với $F(0)=1+C=2$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=e^x+2x^2+1$. Do đó $F(3)=e^3+18+1\approx 20,0855+19=39,0855\approx 39,1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=2x^3-x+C$, nên theo tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int g(x)dx=\int 3f(x)dx=3\int f(x)dx=3(2x^3-x)+C=6x^3-3x+C$. Vậy họ nguyên hàm của $g(x)=3f(x)$ là $6x^3-3x+C$, khớp với đáp án B (đáp án nguồn cho mã đề 101 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+2\sin x+C$. Do $F(0)=1$ nên $-1+C=1\Rightarrow C=2$, tức $F(x)=-\cos x+2\sin x+2$. Suy ra $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2\sin \frac{\pi }{2}+2=0+2+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^{-x}dx=\frac{3^{-x}}{-\ln 3}+C=-\frac{1}{3^x\ln 3}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{1}{3^x\ln 3}$ là $-\frac{1}{\ln 3}\cdot 3^{-x}\ln \frac{1}{3}=-\frac{1}{\ln 3}\cdot 3^{-x}\cdot (-\ln 3)=3^{-x}=\frac{1}{3^x}=f(x)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Nguyên hàm: $\int x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C=\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{4}x\cdot x^{\frac{1}{3}}+C=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}+C$. Kiểm tra đạo hàm của $F(x)=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}$: $F^{\prime }(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}=f(x)$. Vậy đáp án là B. (Lưu ý: đáp án D sai vì $\frac{3}{4}{x}^{\frac{3}{4}}$ có đạo hàm $\frac{9}{16}{x}^{-\frac{1}{4}}\ne \sqrt[3]{x}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số nói chung không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}+C$, hai kết quả khác nhau. Các tính chất A, C, D đều là tính chất tuyến tính đúng của tích phân bất định. Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=2^x$.
a) $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2=h(x)$, vậy $g(x)$ là một nguyên hàm của $h(x)$; khẳng định 'g(x) không phải là nguyên hàm của h(x)' SAI.
b) $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, nên mọi nguyên hàm của $g(x)$ có dạng $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. ĐÚNG.
c) $G^{\prime }(x)=2^x=g(x)$ nên $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$; $G(1)=\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{2}{\ln 2}=1$. ĐÚNG.
d) $G(0)=\frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2}\Rightarrow C=0$, nên $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$. Khi đó $T=\frac{2^0+2^1+\cdots +2^{2025}}{\ln 2}=\frac{2^{2026}-1}{\ln 2}\ne \frac{2^{2026}+1}{\ln 2}$. SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=2^x\ln 2=h(x)$ nên $g(x)$ là một nguyên hàm của $h(x)$; khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G^{\prime }(x)=2^x=g(x)$ và $G(1)=\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{2}{\ln 2}=1$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C=0$ nên $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$; tổng cấp số nhân $T=\frac{2^{2026}-1}{\ln 2}\ne \frac{2^{2026}+1}{\ln 2}$, sai.