Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (3x^2-2+\frac{1}{x})dx=x^3-2x+\ln |x|+C$. So với dạng $a{x}^3+bx+c\ln |x|+C$ ta có $a=1$, $b=-2$, $c=1$. Vậy $a-b+c=1-(-2)+1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int \left(3\sin x+\frac{4}{{\cos }^{2}x}\right)dx=-3\cos x+4\tan x+C$. Vì $F(0)=-3\cos 0+4\tan 0+C=-3+C=2$ nên $C=5$, tức $F(x)=-3\cos x+4\tan x+5$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-3\cdot \frac{1}{2}+4\sqrt{3}+5=\frac{7}{2}+4\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=3x^2-x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, nên nguyên hàm tổng quát là $F(x)=\int (3x^2-x)dx=x^3-\frac{x^2}{2}+C$.
a) Sai. Với $F(0)=1\Rightarrow C=1$, khi đó $F(1)=1-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 3$.
b) Đúng. $F(x)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2+C$ đúng là họ nguyên hàm của $f(x)$ (đạo hàm của nó bằng $3x^2-x$).
c) Sai. Theo tính tuyến tính, $\int (3x^2-x)dx=\int 3x^{2}dx-\int xdx$, dấu trước $\int xdx$ phải là trừ, không phải cộng.
d) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (S, D, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(1)=1-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(x^3-\frac{1}{2}{x}^2+C\right)}^{\prime }=3x^2-x=f(x)$, đây là họ nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2-x)dx=\int 3x^{2}dx-\int xdx$, dấu phải là trừ chứ không phải cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F$ là nguyên hàm của $f$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

+) $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=3x^2+3$ $\Rightarrow F(x)=x^3+3x+C$
+) Mặt khác: $F(0)=1\Rightarrow C=1$.
Vậy $F(x)=x^3+3x+1$.
+) $F(1)=1^3+3.1+1=5$

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=x+sin x. a) f'(x)=1+cos x, không phải 1−cos x → Sai. b) F'(x)=x+sin x=f(x) → Đúng. c) ∫(x+sin x)dx=x²/2−cos x+C → Đúng. d) G(x)=x²/2−cos x+C; G(0)=−1+C=1 ⇒ C=2; G(π)=π²/2−cos π+2=π²/2+3 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=1+cos x, không phải 1−cos x.
b) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=x+sin x=f(x), nên F là một nguyên hàm của f.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫(x+sin x)dx=x²/2−cos x+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
G(x)=x²/2−cos x+C; G(0)=−1+C=1 ⇒ C=2; G(π)=π²/2+1+2=π²/2+3.

(AI giải đề cho tôi)
$F(x)$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$ nên $F(x)=\ln x+C$. Với $F(1)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(3)=\ln 3+1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng phần: $\int 4x\mathrm{d}x=2x^2$, $\int 3\mathrm{d}x=3x$, $\int \frac{5}{x}\mathrm{d}x=5\ln |x|$. Vậy $\int \left(4x+3+\frac{5}{x}\right)\mathrm{d}x=2x^2+3x+5\ln |x|+C$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án chính thức.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)\mathrm{d}x=x^4-2\sin x+C$ nên $f(x)$ là đạo hàm của vế phải: $f(x)=(x^4-2\sin x+C{)}^{\prime }=4x^3-2\cos x$. Lưu ý $f(x)$ không chứa hằng số $C$ (đáp án D sai vì $f$ là hàm đã cho, không phải họ nguyên hàm). Khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 2001.

(AI giải đề cho tôi)
Số lớp lỗi là nguyên hàm của $f^{\prime }(t)=12e^{0,5t}$: $$f(t)=\int 12e^{0,5t}dt=12\cdot \frac{1}{0,5}{e}^{0,5t}+C=24e^{0,5t}+C.$$ Điều kiện ban đầu $f(0)=0$ nên $24+C=0$, suy ra $C=-24$. Vậy $f(t)=24e^{0,5t}-24$, khớp đáp án B trong bảng đáp án mã đề 2001.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3-5\cos x$, nên $f(x)=\int (3-5\cos x)dx=3x-5\sin x+C$. Với $f(0)=10$: $f(0)=0-0+C=10\Rightarrow C=10$. Vậy $f(x)=3x-5\sin x+10$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3-5\cos x$ đúng và $f(0)=10$ đúng. Các phương án B, D không có đạo hàm bằng $3-5\cos x$; phương án C có đạo hàm $3+5\cos x$ (sai dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(x^2-2)(2x+1)=2x^3+x^2-4x-2$. Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-2x^2-2x+C$. Với $F(2)=8+\frac{8}{3}-8-4+C=\frac{8}{3}-4+C=-\frac{4}{3}+C=9$ nên $C=\frac{31}{3}$. Vậy $F(0)=\frac{31}{3}\approx 10,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2^{2x}\cdot 3^x\cdot 7^x=4^x\cdot 3^x\cdot 7^x=(4\cdot 3\cdot 7{)}^x=84^x$. Do đó $\int f(x)dx=\int 84^{x}dx=\frac{84^x}{\ln 84}+C$, với $C\in \mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3x^{2}dx=x^3+C$ và $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (vì $x\ne 0$, phải dùng $\ln |x|$ để nguyên hàm có nghĩa trên cả hai khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$). Vậy $\int f(x)dx=x^3+\ln |x|+C$. Các phương án A, C sai vì hệ số của $x^3$ phải là 1 (đạo hàm của $3x^3$ là $9x^2$); các phương án A, D sai vì dùng $\ln x$ thay cho $\ln |x|$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4x+2$, nên $f(x)=\int (-3x^2+4x+2)dx=-x^3+2x^2+2x+C$. Điều kiện $f(1)=2$: $-1+2+2+C=2\Rightarrow 3+C=2\Rightarrow C=-1$. Vậy $f(x)=-x^3+2x^2+2x-1$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A đúng vì $(2\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$. B sai vì $\int 2^x\mathrm{d}x=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, không phải $2^x\ln 2+C$. C đúng vì $(-\cot x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. D đúng vì $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Vậy mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int x^{-1/2}dx=2x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C$, đúng. B) $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, sai. C) $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$, sai. D) $\int \cos xdx=\sin x+C$, sai. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x+1{)}^{2}dx=\int (x^2+2x+1)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+x+C$. Vậy $a=\frac{1}{3},b=1,c=1$, suy ra $3a+b+c=3\cdot \frac{1}{3}+1+1=1+1+1=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2^x(2^{-x}+5)=1+5\cdot 2^x$. Do đó $\int f(x)dx=\int (1+5\cdot 2^x)dx=x+5\cdot \frac{2^x}{\ln 2}+C$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 1204), đáp án nguồn: DSDD — khớp với kết quả giải độc lập. a) Đúng: $\int f(x)\mathrm{d}x=\int (\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2+C$. b) Sai: $F(x)=\sin x+x^2+C$; $F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(\pi )=\sin \pi +{\pi }^2+1={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$. c) Đúng: $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$. d) Đúng: với $x\in [0,5;\pi ]$ ta có $\cos x\ge -1$ nên $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; với $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, do đó $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x={\left[\sin x+x^2\right]}_0^{\pi }={\pi }^2$.
a) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)=\cos x+2x$ là $\sin x+x^2+C$, nên phát biểu đúng.
b) $F(x)=\sin x+x^2+C$; từ $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(\pi )={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$, phát biểu sai.
c) $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$, phát biểu đúng.
d) Với $x\in [0;\pi ]$: nếu $x\in [0,5;\pi ]$ thì $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; nếu $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, nên diện tích $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2{|}_0^{\pi }={\pi }^2$, phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int \left(6x^2+\frac{2}{x}\right)dx=2x^3+2\ln x+C$ (với $x>0$). Điều kiện $F(1)=2+0+C=5$ nên $C=3$. Vậy $F(e)=2e^3+2\ln e+3=2e^3+5$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 3, mã đề 1204: A).