Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

Phương trình tương đương với $(x+1)\sqrt{x^2-2x+3}=(x^2-2x+3)+2(x-1)$. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, ta giải được các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm bằng $6$.

Điều kiện xác định: $2x^2-5x+2\ge 0⟺x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$.
Bất phương trình $\sqrt{2x^2-5x+2}>1-x$ tương đương với hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $1-x<0⟺x>1$. Kết hợp điều kiện xác định ta được $x\ge 2$.
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ 2x^2-5x+2>(1-x{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x^2-3x+1>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\text{ hoặc }x>\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array}⟺x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Kết hợp với điều kiện xác định $x\le 1/2$, vì $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,382<0,5$, nghiệm của trường hợp này là $x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Tổng hợp hai trường hợp: $S=\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\cup [2;+\infty )$. Chọn C.

Ta có $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}\Rightarrow t^2=4x+1+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$.
Suy ra: $2\sqrt{(x+3)(3x-2)}=t^2-4x-1$.
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2:
$2(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2})=4x-2+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$
$\iff 2t=4x-2+t^2-4x-1\iff 2t=t^2-3\iff t^2-2t-3=0$.

Phương trình tương đương: $3\sqrt{x^2-2x+2}=x^2-2x-2=(x^2-2x+2)-4$.
Đặt $t=\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{(x-1{)}^2+1}\ge 1$.
Phương trình trở thành: $t^2-3t-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=4\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>t=-1\text{ (loại)}</td></tr></tbody></table>$.
Với $t=4\Rightarrow \sqrt{x^2-2x+2}=4\iff x^2-2x+2=16\iff x^2-2x-14=0$.
Theo định lý Vi-et: $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=-14$.
Vậy $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2^2-2(-14)=4+28=32$.

Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$.
Bình phương hai vế: $2x^2-3x+m=(x-2{)}^2=x^2-4x+4\iff x^2+x+m-4=0\iff m=-x^2-x+4$.
Xét hàm số $g(x)=-x^2-x+4$ với $x\ge 2$. Vì $g^{\prime }(x)=-2x-1<0$ với mọi $x\ge 2$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;+\infty )$.
Do đó $g(x)\le g(2)=-2^2-2+4=-2$.
Phương trình có nghiệm $x\ge 2\iff m\le -2$.
Vì $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-10;-9;-8;\dots ;-2\}$, có $-2-(-10)+1=9$ giá trị.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn B: tổng các phần tử của $T$ bằng $-20$.

Ta có $a+bi+1+3i-\sqrt{a^2+b^2}i=0\iff (a+1)+(b+3-\sqrt{a^2+b^2})i=0$.
$\{\begin{array}{l}a+1=0\\ b+3=\sqrt{a^2+b^2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b+3=\sqrt{1+b^2}\end{array}$
Vì $b+3>0$, bình phương hai vế: $(b+3{)}^2=1+b^2\iff b^2+6b+9=1+b^2\iff 6b=-8\iff b=-\frac{4}{3}$.
Vậy $S=2a+3b=2(-1)+3\left(-\frac{4}{3}\right)=-2-4=-6$.

Đặt $t=\sqrt{2x+m}\ge 0⟹m=t^2-2x$. Phương trình trở thành $t^2-x+(1-x)t=0⟺(t+1)(t-x)=0⟺t=x$ (vì $t\ge 0$). Khi đó $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x=m\end{array}$. Xét hàm số $g(x)=x^2-2x$ trên $[0;+\infty )$ có đỉnh tại $x=1,g(1)=-1$ và $g(0)=0$. Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in (-1;0]$, suy ra $a=-1,b=0⟹S=a+b=-1$. Chọn đáp án B.

Điều kiện $x\ge \frac{2}{3}$. Bất phương trình viết lại thành $(x-2)\left(x+1-\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\right)\le 0$, có tập nghiệm là $[1;2]⟹a+b=1+2=3$. Chọn B.

Chọn C.
Biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp đưa phương trình bậc 4 chứa căn về dạng phương trình tích hoặc hệ đối xứng, ta tìm được các nghiệm thực phân biệt của phương trình.
Tính tổng tất cả các nghiệm thực phân biệt, ta được kết quả bằng 3.

Điều kiện xác định: $-1\le x\le 2$.
Bình phương hai vế:
$(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}{)}^2=m+x-x^2\iff 3+2\sqrt{2+x-x^2}=m+x-x^2$.
Đặt $u=\sqrt{2+x-x^2}$. Vì $x\in [-1;2]$, ta có $2+x-x^2=\frac{9}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\in \left[0;\frac{9}{4}\right]$, do đó $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Khi đó $x-x^2=u^2-2$.
Phương trình trở thành:
$3+2u=m+u^2-2\iff m=-u^2+2u+5$.
Xét hàm số $g(u)=-u^2+2u+5$ trên đoạn $\left[0;\frac{3}{2}\right]$:
$g^{\prime }(u)=-2u+2=0\iff u=1$.
Tính các giá trị: $g(0)=5,g(1)=6,g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{23}{4}$.
Cứ mỗi giá trị $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right)$ cho tương ứng 2 giá trị phân biệt của $x\in [-1;2]$ (vì parabol $2+x-x^2=u^2$ có 2 nghiệm đối xứng qua $x=1/2$).
Còn với $u=\frac{3}{2}$, chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.
Do đó phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in [5;6]$.
Chọn B.

Phương trình bậc hai theo $z$ có các hệ số thực $a=4,b=|z+3i|\ge 0,c=-84$ và $a\cdot c=4(-84)<0$ nên luôn có biệt thức $\Delta =b^2-4ac>0$, suy ra mọi nghiệm $z$ đều là số thực ($z\in \mathbb{R}$). Khi đó $|z+3i|=\sqrt{z^2+9}$, phương trình trở thành $z\sqrt{z^2+9}=84-4z^2\iff \{\begin{array}{l}z(84-4z^2)\ge 0\\ 15z^4-681z^2+7056=0\end{array}\iff z=4$ hoặc $z=-\sqrt{\frac{147}{5}}$. Vậy có $2$ số phức $z$ thỏa mãn.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001 (trang 13): Chọn C ($2$ nghiệm).