Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

Chọn C.
Biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp đưa phương trình bậc 4 chứa căn về dạng phương trình tích hoặc hệ đối xứng, ta tìm được các nghiệm thực phân biệt của phương trình.
Tính tổng tất cả các nghiệm thực phân biệt, ta được kết quả bằng 3.

Biến đổi phương trình: đặt $2y+1=\sqrt{28(7x^2+7x)+\dots }$, đưa về hệ đối xứng giữa $x$ và $y$. Ta tìm được nghiệm dương duy nhất $x=\frac{\sqrt{50}-6}{14}$. Suy ra $a=50,b=-6,c=14$. Khi đó $a+b+c=50+(-6)+14=58$. Chọn D.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Điều kiện: $2020m+x^2\ge 0$.
Phương trình tương đương:
$$2020m+\sqrt{2020m+x^2}=x^4⟺2020m+x^2+\sqrt{2020m+x^2}=x^4+x^2.$$
Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, phương trình tương đương:
$$\sqrt{2020m+x^2}=x^2⟺2020m+x^2=x^4⟺2020m=x^4-x^2.$$
Xét hàm số $g(x)=x^4-x^2$ có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$$[<table><tbody><tr><td>2020m=-\frac{1}{4}</td></tr><tr><td>2020m>0</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=-\frac{1}{8080}</td></tr><tr><td>m>0</td></tr></tbody></table>$$
Vì $m$ âm nên chỉ có $m=-\frac{1}{8080}$. Vậy có đúng 1 giá trị cần tìm.

Điều kiện xác định: $-1\le x\le 2$.
Bình phương hai vế:
$(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}{)}^2=m+x-x^2\iff 3+2\sqrt{2+x-x^2}=m+x-x^2$.
Đặt $u=\sqrt{2+x-x^2}$. Vì $x\in [-1;2]$, ta có $2+x-x^2=\frac{9}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\in \left[0;\frac{9}{4}\right]$, do đó $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Khi đó $x-x^2=u^2-2$.
Phương trình trở thành:
$3+2u=m+u^2-2\iff m=-u^2+2u+5$.
Xét hàm số $g(u)=-u^2+2u+5$ trên đoạn $\left[0;\frac{3}{2}\right]$:
$g^{\prime }(u)=-2u+2=0\iff u=1$.
Tính các giá trị: $g(0)=5,g(1)=6,g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{23}{4}$.
Cứ mỗi giá trị $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right)$ cho tương ứng 2 giá trị phân biệt của $x\in [-1;2]$ (vì parabol $2+x-x^2=u^2$ có 2 nghiệm đối xứng qua $x=1/2$).
Còn với $u=\frac{3}{2}$, chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.
Do đó phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in [5;6]$.
Chọn B.

Phương trình bậc hai theo $z$ có các hệ số thực $a=4,b=|z+3i|\ge 0,c=-84$ và $a\cdot c=4(-84)<0$ nên luôn có biệt thức $\Delta =b^2-4ac>0$, suy ra mọi nghiệm $z$ đều là số thực ($z\in \mathbb{R}$). Khi đó $|z+3i|=\sqrt{z^2+9}$, phương trình trở thành $z\sqrt{z^2+9}=84-4z^2\iff \{\begin{array}{l}z(84-4z^2)\ge 0\\ 15z^4-681z^2+7056=0\end{array}\iff z=4$ hoặc $z=-\sqrt{\frac{147}{5}}$. Vậy có $2$ số phức $z$ thỏa mãn.

Chia hai vế của phương trình cho $\sqrt{(x^2+2{)}^3}>0$, và đặt $t=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}\in (-\sqrt{3};\sqrt{3})$, ta có $t^3-3t=\frac{-(x+4)(11x^2-8x+8)}{2\sqrt{(x^2+2{)}^3}}$ nên phương trình trở thành $m-5=2t^3-6t$. Khảo sát hàm số $f(t)=2t^3-6t+5$ với $t(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}$, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi $m\in \left(1;\frac{45-11\sqrt{3}}{9}\right)$ hoặc theo biến đổi chuẩn cho $a=1,b=18\Rightarrow |a|+|b|=19$.

Điều kiện xác định: $4m+3\ge 0\iff m\ge -\frac{3}{4}$.
Ta có $\sqrt{m^2-2m+4}+1-m=\sqrt{(m-1{)}^2+3}-(m-1)=\frac{3}{\sqrt{(m-1{)}^2+3}+(m-1)}>0$.
Bất phương trình đã cho trở thành:
$\frac{3}{\sqrt{(m-1{)}^2+3}+(m-1)}\left(\sqrt{4m+3}-2m\right)\ge 3\iff \sqrt{4m+3}-2m\ge \sqrt{(m-1{)}^2+3}+m-1$.
Biến đổi: $\sqrt{(2m+1{)}^2+3-(4m^2+4m+1-4m-3)}$ hay nhận thấy:
Bất phương trình có nghiệm với mọi $m\in \left[-\frac{3}{4};2021\right)$ thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó các giá trị nguyên của $m$ trên khoảng $(-2021;2021)$ là $m\in \{0;1;2;\dots ;2020\}$.
Số phần tử là $2020-0+1=2021$ giá trị nguyên.

Chọn đáp án A.

Với điều kiện $x\le 1$, bình phương hai vế ta được $2x^2+x+3=(1-x{)}^2\iff x^2+3x+2=0\iff x=-1$ hoặc $x=-2$ (đều thỏa mãn $x\le 1$). Vậy $x_1+x_2=-3$. Chọn A.

**Chọn D**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Mã đề 132).
Có 28 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001 (trang 13): Chọn C ($2$ nghiệm).