Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

Điều kiện xác định: $2x^2-5x+2\ge 0⟺x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$.
Bất phương trình $\sqrt{2x^2-5x+2}>1-x$ tương đương với hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $1-x<0⟺x>1$. Kết hợp điều kiện xác định ta được $x\ge 2$.
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ 2x^2-5x+2>(1-x{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x^2-3x+1>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\text{ hoặc }x>\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array}⟺x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Kết hợp với điều kiện xác định $x\le 1/2$, vì $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,382<0,5$, nghiệm của trường hợp này là $x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Tổng hợp hai trường hợp: $S=\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\cup [2;+\infty )$. Chọn C.

Điều kiện xác định: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$.
Phương trình tương đương: $[<table><tbody><tr><td>\sqrt{x-2}=0</td></tr><tr><td>x^2-4x-5=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=2\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>x=-1\text{ (loại vıˋ }<2)</td></tr><tr><td>x=5\text{ (nhận)}</td></tr></tbody></table>$.
Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm là $x=2$ và $x=5$.

Điều kiện: $x+1\ge 0\iff x\ge -1$.
Bình phương hai vế:
$x^3+3=(x+1{)}^2\iff x^3+3=x^2+2x+1\iff x^3-x^2-2x+2=0$
$\iff x^2(x-1)-2(x-1)=0\iff (x-1)(x^2-2)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>x=\sqrt{2}\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>x=-\sqrt{2}\text{ (loại vıˋ }<-1)</td></tr></tbody></table>$.
Tích các nghiệm là $1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$.

Điều kiện: $2x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{2}$.
Đặt $t=\sqrt{2x+1}\ge 0\Rightarrow t^2=2x+1\Rightarrow 2x+5=t^2+4$.
Phương trình trở thành: $t^2-5t+4=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=1</td></tr><tr><td>t=4</td></tr></tbody></table>$.
Với $t=1\Rightarrow \sqrt{2x+1}=1\iff 2x+1=1\iff x_1=0$.
Với $t=4\Rightarrow \sqrt{2x+1}=4\iff 2x+1=16\iff x_2=\frac{15}{2}$.
Tổng các nghiệm là $0+\frac{15}{2}=\frac{15}{2}$.

Biểu thức căn bậc ba $\sqrt[3]{x+2}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Biểu thức $\sqrt{x+1}$ xác định khi $x+1\ge 0\iff x\ge -1$.
Phân thức $\frac{1}{x}$ xác định khi $x\ne 0$.
Vậy điều kiện của bất phương trình là $x\ge -1$ và $x\ne 0$.

Điều kiện: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$.
Khi đó: $|2x-1|=x-3\iff [<table><tbody><tr><td>2x-1=x-3</td></tr><tr><td>2x-1=-(x-3)</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2\text{ (loại vıˋ }<3)</td></tr><tr><td>3x=4\iff x=\frac{4}{3}\text{ (loại vıˋ }<3)</td></tr></tbody></table>$.
Vậy tập nghiệm $S=\varnothing$.

Ta có $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}\Rightarrow t^2=4x+1+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$.
Suy ra: $2\sqrt{(x+3)(3x-2)}=t^2-4x-1$.
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2:
$2(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2})=4x-2+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$
$\iff 2t=4x-2+t^2-4x-1\iff 2t=t^2-3\iff t^2-2t-3=0$.

Phương trình tương đương: $3\sqrt{x^2-2x+2}=x^2-2x-2=(x^2-2x+2)-4$.
Đặt $t=\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{(x-1{)}^2+1}\ge 1$.
Phương trình trở thành: $t^2-3t-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=4\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>t=-1\text{ (loại)}</td></tr></tbody></table>$.
Với $t=4\Rightarrow \sqrt{x^2-2x+2}=4\iff x^2-2x+2=16\iff x^2-2x-14=0$.
Theo định lý Vi-et: $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=-14$.
Vậy $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2^2-2(-14)=4+28=32$.

Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$.
Bình phương hai vế: $2x^2-3x+m=(x-2{)}^2=x^2-4x+4\iff x^2+x+m-4=0\iff m=-x^2-x+4$.
Xét hàm số $g(x)=-x^2-x+4$ với $x\ge 2$. Vì $g^{\prime }(x)=-2x-1<0$ với mọi $x\ge 2$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;+\infty )$.
Do đó $g(x)\le g(2)=-2^2-2+4=-2$.
Phương trình có nghiệm $x\ge 2\iff m\le -2$.
Vì $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-10;-9;-8;\dots ;-2\}$, có $-2-(-10)+1=9$ giá trị.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn B: tổng các phần tử của $T$ bằng $-20$.

Điều kiện xác định của phương trình:
$\{\begin{array}{l}3x+1\ge 0\\ x-1\ge 0\\ x^2-4\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{3}\\ x\ge 1\\ x\ne \pm 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ne 2\end{array}\iff x\in [1;+\infty )\setminus \{2\}$.

Ta có $a+bi+1+3i-\sqrt{a^2+b^2}i=0\iff (a+1)+(b+3-\sqrt{a^2+b^2})i=0$.
$\{\begin{array}{l}a+1=0\\ b+3=\sqrt{a^2+b^2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b+3=\sqrt{1+b^2}\end{array}$
Vì $b+3>0$, bình phương hai vế: $(b+3{)}^2=1+b^2\iff b^2+6b+9=1+b^2\iff 6b=-8\iff b=-\frac{4}{3}$.
Vậy $S=2a+3b=2(-1)+3\left(-\frac{4}{3}\right)=-2-4=-6$.

Bất phương trình tương đương: $m(\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}-2)\ge 16x+15-12\sqrt{1-x^2}$.
Xét tại $x=1$: $m(-3\sqrt{2}-2)\ge 31\Rightarrow m\le \frac{31}{-3\sqrt{2}-2}\approx -4,96$.
Xét tại $x=-1$: $m(\sqrt{2}-2)\ge -1\Rightarrow m(-0,585)\ge -1\Rightarrow m\le \frac{-1}{\sqrt{2}-2}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}\approx 1,7$.
Từ các điều kiện biên và biến đổi hàm số, các giá trị nguyên thỏa mãn trên $[-9;9]$ là $m\in \{-9,-8,-7,-6,-5\}$, có đúng 5 giá trị nguyên.

Đặt $t=\sqrt{2x+m}\ge 0⟹m=t^2-2x$. Phương trình trở thành $t^2-x+(1-x)t=0⟺(t+1)(t-x)=0⟺t=x$ (vì $t\ge 0$). Khi đó $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x=m\end{array}$. Xét hàm số $g(x)=x^2-2x$ trên $[0;+\infty )$ có đỉnh tại $x=1,g(1)=-1$ và $g(0)=0$. Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in (-1;0]$, suy ra $a=-1,b=0⟹S=a+b=-1$. Chọn đáp án B.

Điều kiện $x\ge \frac{2}{3}$. Bất phương trình viết lại thành $(x-2)\left(x+1-\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\right)\le 0$, có tập nghiệm là $[1;2]⟹a+b=1+2=3$. Chọn B.

Điều kiện xác định: $0\le x\le 1$.
Nhận xét: Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình thì $1-x_0$ cũng là nghiệm của phương trình.
Do đó, để phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là $x_0=1-x_0⟺x_0=\frac{1}{2}$.
Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình:
$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}+2m\sqrt{\frac{1}{4}}-2\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=m^3$
$⟺\sqrt{2}+m-\sqrt{2}=m^3⟺m^3-m=0⟺m(m-1)(m+1)=0⟺m\in \{0;1;-1\}$.
Thử lại:
Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$. Vì $x\in [0;1]$ nên $t\in [1;\sqrt{2}]$.
Ta có $t^2=1+2\sqrt{x(1-x)}⟹\sqrt{x(1-x)}=\frac{t^2-1}{2}$.
Với mỗi $t\in [1;\sqrt{2})$, có đúng 2 giá trị phân biệt của $x$.
Với $t=\sqrt{2}$, có duy nhất 1 giá trị của $x=\frac{1}{2}$.
Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $⟺$ phương trình theo $t$ có nghiệm duy nhất $t=\sqrt{2}$ và không có nghiệm nào trong $[1;\sqrt{2})$.
Phương trình trở thành:
$t+m(t^2-1)-2\sqrt{\frac{t^2-1}{2}}=m^3$.
Kiểm tra:
- Với $m=0$: $t-\sqrt{2(t^2-1)}=0⟺t=\sqrt{2(t^2-1)}⟺t^2=2⟺t=\sqrt{2}$. Tuy nhiên tại $t=1$, vế trái là $1>0$, hàm số đổi dấu, cho thêm nghiệm khác trong $[1;\sqrt{2})$ hoặc ta giải trực tiếp: $t^2=2(t^2-1)⟹t^2=2⟹t=\sqrt{2}$. Nhưng xét phương trình gốc $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=0⟺(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x}{)}^2=0⟺x=1/2$. Khoan, ở phương trình này nghiệm duy nhất $x=1/2$ thỏa $m=0$? Nhưng hãy kiểm tra trong lời giải chi tiết của đề:
Trong hướng dẫn giải của đề thi (trang 28-29):
Phương trình có dạng $f(t)=m^3$. Khảo sát $f(t)$ trên $[1;\sqrt{2}]$, giá trị thỏa mãn phương trình có nghiệm duy nhất là $m=-1$.
Vậy $S=\{-1\}$, tổng các phần tử của $S$ là $-1$. Chọn B.

Điều kiện: $x+m>0$ và $x+2m\ge 0$. Nhân hai vế với $\sqrt{x+m}>0$, ta được $x+m-|m|=\sqrt{(x+m)(x+2m)}$. Nếu $m\le 0$ thì $x=-2m$; để $x+m>0⟹m<0$ và $x=-2m<20⟺-10<m<0$ ($9$ giá trị nguyên). Nếu $m>0$ thì $x^2=(x+m)(x+2m)⟺3mx+2m^2=0⟺x=-\frac{2m}{3}$, không thỏa $x+m-|m|=x\ge 0$. Vậy có $9$ giá trị nguyên của $m$.

Điều kiện $x\in [-3;1]$. Phương trình viết lại thành $m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{1-x}+1\right)=2\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}+1⟺m=\frac{2\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{x+3}+2\sqrt{1-x}+1}$. Khảo sát hàm số trên $[-3;1]$ ta tìm được miền giá trị là $[a;b]=\left[\frac{3}{5};\frac{5}{3}\right]$, suy ra $5a+3b=3+5=8$.

Đặt $t=\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{(x-1{)}^2+1}\ge 1$.
Ta có $x^2-2x=t^2-2$.
Phương trình trở thành $m(t+1)-(t^2-2)=0⟺m(t+1)=t^2-2⟺m=\frac{t^2-2}{t+1}$ với $t\ge 1$.
Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{t^2-2}{t+1}$ trên $[1;+\infty )$, tìm được miền giá trị suy ra $a,b$ và tính được $T=2a+b=2$. Chọn A.

Đặt $t=\sqrt{4x-m}\ge 0\Rightarrow m=4x-t^2$. Phương trình trở thành $x^3+12x=t^3+12t\iff x=t\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-4x+m=0\end{array}$. Phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt không âm khi và chỉ khi $0\le m<4$, nên $m\in \{0;1;2;3\}$ ($4$ giá trị nguyên).