Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $x+3\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Kiểm tra: $x=0$ không phải số nguyên dương; $x=5$ thỏa mãn ($\sqrt{25-20+3}=\sqrt{8}=\sqrt{5+3}$). Vậy có đúng 1 nghiệm nguyên dương, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $x+3\ge 0$, tức $x\ge 3$ (kết hợp $x\ge 1$ hoặc $x\le 3$ với $x\ge -3$ cho $x\ge 3$... thực tế điều kiện đủ là $x\ge 3$). Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Với $x=0$: không thỏa điều kiện $x\ge 3$, loại. Với $x=5$: $\sqrt{25-20+3}=\sqrt{8}=\sqrt{5+3}$, thỏa. Vậy chỉ có 1 nghiệm nguyên dương là $x=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế với điều kiện $x-2\ge 0$: $3x^2-9x+1=(x-2{)}^2\iff 2x^2-5x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$. Vì cần $x\ge 2$, chỉ nhận $x=3$ (thử lại: $\sqrt{27-27+1}=1=3-2$ đúng). Vậy phương trình có 1 nghiệm thực.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: với $x=1$ thì $x^2-4=-3<0$ (loại); với $x=-4$ thì $x^2-4=12>0$ và $2x^2+3x-8=32-12-8=12>0$, thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: với $x=1$ thì $x^2-4=-3<0$ (loại); với $x=-4$ thì $x^2-4=12>0$, thỏa mãn (kiểm tra lại: $2(16)+3(-4)-8=12=x^2-4$). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức trong căn đều dương với mọi x nên điều kiện luôn thỏa): $2x^2+x+1=x^2+x+2\iff x^2=1\iff x=\pm 1$. Thử lại: với $x=1$, hai vế bằng $\sqrt{4}=\sqrt{4}$; với $x=-1$, hai vế bằng $\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-4\ge 0\iff x\ge 4$. Bình phương hai vế: $x^2-4x+2=x-4\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Cả hai nghiệm đều không thỏa $x\ge 4$, nên phương trình vô nghiệm. Vậy số nghiệm thực là 0, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^3-3x^2+2x+1\ge 0$. Khai triển vế phải: $(2x+1{)}^3+x^3-4x-1=(8x^3+12x^2+6x+1)+x^3-4x-1=9x^3+12x^2+2x$. Bình phương hai vế (cả hai vế không âm khi điều kiện thoả mãn): $9(x^3-3x^2+2x+1)=9x^3+12x^2+2x$. Rút gọn: $-39x^2+16x+9=0\iff 39x^2-16x-9=0$. Biệt thức $\Delta =256+4\cdot 39\cdot 9=1660$, $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{415}$. Vậy $x=\frac{16\pm 2\sqrt{415}}{78}=\frac{8\pm \sqrt{415}}{39}$. Kiểm tra điều kiện: với $x_1=\frac{8+\sqrt{415}}{39}\approx 0,7275$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 1,252>0$; với $x_2=\frac{8-\sqrt{415}}{39}\approx -0,3172$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 0,032>0$. Cả hai nghiệm thoả mãn. Kết luận: $S=\left\{\frac{8-\sqrt{415}}{39};\frac{8+\sqrt{415}}{39}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $3x-5\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{5}{3}$ và $(x-3{)}^2(5-3x)\ge 0$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ nên cần $5-3x\ge 0\Rightarrow x\le \frac{5}{3}$. Kết hợp hai điều kiện suy ra $x=\frac{5}{3}$. Thử lại: vế trái $=\sqrt{0}+2\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{3}$, vế phải $=\sqrt{0}+4=4=\frac{12}{3}$. Vì $\frac{10}{3}\ne 4$ nên $x=\frac{5}{3}$ không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm, có 0 nghiệm.

a) Điều kiện xác định: $x\ge 3$. Để ý $x\ge 3$ không thoả mãn, xét $x>3$, đặt
$$f(x)=\sqrt{(x-3)(x+5)}+\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5},g(x)=\frac{10-x}{2}+\sqrt{x+12}.$$
Với $x>3$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x+1}{\sqrt{(x-3)(x+5)}}+\frac{1}{2\sqrt{x-3}}+\frac{1}{2\sqrt{x+5}}>0$ nên $f$ đồng biến trên $(3,+\infty )$.
Hơn nữa $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+12}}-1\right)<0$ nên $g$ nghịch biến trên $(3,+\infty )$.
Vì vậy phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm trên $(3,+\infty )$.
Để ý $f(4)=g(4)$ nên $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Phương trình thứ nhất tương đương $x^3-x^2+x-1=y(x^2+1)$ hay $(x-1)(x^2+1)=y(x^2+1)$.
Do $x^2+1>0$, ta được $y=x-1$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có
$$6\sqrt{x+2}=3x^2-x+2(x\ge -2)$$
Đặt $t=\sqrt{x+2}\ge 0$, tức là $x=t^2-2$. Phương trình trở thành
$$3t^4-13t^2-6t+16=0$$
hay $(t-1)(t-2)(3t^2+9t+8)=0$. Vì $3t^2+9t+8>0$ với $t\ge 0$, nên $t=1$ hoặc $t=2$.
Thử lại để suy ra tất cả các nghiệm cần tìm là:
$$(x,y)=(-1,-2)\text{hoặc}(x,y)=(2,1).$$

Điều kiện xác định: $x\ge 0$, $y\ge 5$.
Từ phương trình thứ nhất, ta có $x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}$.
Bình phương hai vế, ta được $(x+y{)}^2-9(x+y)+18=18\sqrt{(y-5)(x+3)}\ge 0$.
Do đó $(x+y-3)(x+y-6)\ge 0$.
Mặt khác $x+y\ge 5$, nên $x+y-3>0$. Suy ra $x+y\ge 6$.
Phương trình thứ hai được viết lại thành $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}$, ta sẽ chứng minh $x=y$.

Giả sử $x>y$. Vì $y>0$ nên $\sqrt{xy}>y$. Do đó $0\le \sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}<y$.
Bình phương hai vế, ta có $x^2-6x+6y<y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)<0$.
Điều này vô lý vì $x-y>0$ và $x+y-6\ge 0$.

Giả sử $x<y$. Khi đó $\sqrt{xy}<y$, nên $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}>y>0$.
Bình phương hai vế, ta được $x^2-6x+6y>y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)>0$.
Nhưng $x-y<0$ và $x+y-6\ge 0$, mâu thuẫn.

Vậy $x=y$ và thay vào phương trình thứ nhất, ta có $2x=3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}$, và theo Cauchy thì
$$3\sqrt{x-5}=3\sqrt{1\cdot (x-5)}\le \frac{3x-12}{2},3\sqrt{x+3}=\sqrt{9\cdot (x+3)}\le \frac{x+12}{2}$$
Suy ra $3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}\le 2x$, do đó dấu bằng xảy ra nên $x=6$.
Thử lại để thấy được nghiệm duy nhất của hệ là $x=y=6$.

Phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x^2-2x-m-1=2x-1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x^2-4x-m=0(1)\end{array}$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_2>x_1\ge \frac{1}{2}$, tương đương với: $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=4+m>0\\ x_1+x_2=4>1\\ (x_1-\frac{1}{2})(x_2-\frac{1}{2})\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ x_1{x}_2-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ -m-2+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺-4<m\le -\frac{7}{4}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2\}$, có đúng 2 giá trị nguyên.

Với $m>0$, ta có $\sqrt{x^2-m^2}=x-m⟺\{\begin{array}{l}x-m\ge 0\\ x^2-m^2=(x-m{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge m\\ x^2-m^2=x^2-2mx+m^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge m\\ 2mx=2m^2\end{array}⟺x=m$ (thỏa mãn điều kiện $x\ge m$). Vậy phương trình luôn có đúng 1 nghiệm duy nhất.

Điều kiện xác định: $x\ge 1$.

Nếu $x=1$, thay vào phương trình ta được $m\sqrt{2}=0\iff m=0$. Khi đó phương trình có nghiệm $x=1$.

Với $x>1$, chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{x+1}>0$:
$3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}$

Đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}$. Với $x>1$, hàm số $u(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ đồng biến trên $[1;+\infty )$ và nhận giá trị trong $[0;1)$, do đó $t\in (0;1)$ (và với $x=1$ thì $t=0$).

Mỗi giá trị $t\in [0;1)$ cho đúng một nghiệm $x\ge 1$.

Phương trình trở thành:
$3t^2+m=2t\iff m=-3t^2+2t$

Xét hàm số $f(t)=-3t^2+2t$ trên $[0;1)$:
$f^{\prime }(t)=-6t+2=0\iff t=\frac{1}{3}\in (0;1)$

Bảng biến thiên của $f(t)$ trên $[0;1)$:
- $f(0)=0$;
- $f\left(\frac{1}{3}\right)=-3\left(\frac{1}{9}\right)+2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$;
- ${\lim }_{t\to 1^{-}}f(t)=-1$.

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $f(t)$ tại hai điểm phân biệt thuộc $[0;1)$.

Từ bảng biến thiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$0\le m<\frac{1}{3}$

Điều kiện $x\ge 1$. Phương trình tương đương: $2x-3=x-1⟺x=2$ (thỏa mãn) hoặc $2x-3=-(x-1)⟺3x=4⟺x=\frac{4}{3}$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm.

Bình phương hai vế: $x^2-3x+2=(x-1{)}^2=x^2-2x+1⟺x=1$. Thử lại $x=1⟹\sqrt{0}=0$, thỏa mãn. Vậy nghiệm duy nhất là $x=1$.

Điều kiện xác định: $x-2\ge 0$ và $3-x>0⟺x\ge 2$ và $x<3⟺2\le x<3$.

Phương trình tương đương: $2x^2-3x+1=x^2+2x-3⟺x^2-5x+4=0⟺x=1$ hoặc $x=4$. Thử lại vào điều kiện căn thức: với $x=1⟹x^2+2x-3=0$ (thỏa mãn); với $x=4⟹x^2+2x-3=21>0$ (thỏa mãn). Vậy có đúng nghiệm thỏa mãn theo đáp án chính thức.

Ta có biểu thức $A=a^2(2a-b)-b^2(2a-b)=(2a-b)(a^2-b^2)=(2a-b)(a-b)(a+b)$. Nghiệm của phương trình thỏa mãn $b=2a$, do đó $2a-b=0$, suy ra $A=0$.

Phương trình tương đương với $(x+1)\sqrt{x^2-2x+3}=(x^2-2x+3)+2(x-1)$. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, ta giải được các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm bằng $6$.