Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \frac{x}{2}=0$. Ta có $\sin u=0\iff u=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Do đó $\frac{x}{2}=k\pi \iff x=2k\pi$, tức $S=\{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Kiểm tra: với $x=2k\pi$ thì $\sin \frac{x}{2}=\sin k\pi =0$ đúng. So sánh với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 10: D) — trùng khớp.

a) $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=-\frac{1}{2}\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25+0,25 điểm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\tan (3x-10^{\circ })=\sqrt{3}$
$\iff 3x-10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm)
$\iff 3x=70^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$ (0,25 điểm)
$\iff x=\frac{1}{3}70^{\circ }+k60^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}$, ta có họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Xét trên đoạn $\left[-\frac{3\pi }{2};10\pi \right]$: Với họ $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$: $-\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \iff -\frac{4}{3}\le k\le \frac{31}{6}\approx 5,17$, nên $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$: 6 nghiệm. Với họ $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$: $-\frac{3\pi }{2}\le -\frac{5\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{65}{12}\approx 5,42$, nên $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$: 6 nghiệm. Tổng cộng $6+6=12$ nghiệm, khớp với đáp án A của đề (mã đề 101, câu 3 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\tan \frac{\pi }{6}\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

a) $\cos x=-\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0$ với điều kiện $\cos 2x\ne 0$. Chuyển về $\tan 2x=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ (phép chia cho $\sqrt{3}\ne 0$ không làm mất nghiệm, nên tương đương). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$ các nghiệm là $x\in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{2\pi }{3};\frac{7\pi }{6};\frac{5\pi }{3}\right\}$: a) Đúng, có đúng 4 nghiệm. b) Sai, họ $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ chỉ là một phần họ nghiệm đúng $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ (thiếu $\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$). c) Đúng, tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{1+4+7+10}{6}\pi =\frac{22\pi }{6}=\frac{11\pi }{3}$. d) Đúng, vì $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (Đ S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, trên $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$; họ $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ chỉ gồm một phần nghiệm (thiếu $\frac{2\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{3}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trên $[0;2\pi ]$: $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+\frac{7\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{3}\ne 0$, ta có $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Yêu cầu $-\pi <\frac{\pi }{3}+k\pi <3\pi$, tức $-\frac{4}{3}<k<\frac{8}{3}$, nên $k\in \{-1,0,1,2\}$, cho 4 nghiệm: $x=-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, ta có $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{5\pi }{2}$ cho $\frac{7\pi }{24}\le \frac{k\pi }{2}\le \frac{55\pi }{24}$, tức $\frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}\approx 4,58$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án nguồn.

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x={\left(2.\frac{24}{25}-1\right)}^2+\frac{24}{25}=\frac{1129}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{2}$$
$$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{8\pi }{15}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{15}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}=\cot \frac{\pi }{6}$, nên $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$: $\frac{\pi }{2}\le \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\le \frac{5\pi }{2}\iff \frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}$, tức $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm (đúng với đáp án nguồn là 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, ta có $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{5\pi }{2}$ cho $\frac{\pi }{2}\le \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\le \frac{5\pi }{2}$, nhân với $\frac{24}{\pi }$: $12\le 5+12k\le 60$, tức $\frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, Phần 3: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ có điều kiện $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên ý a) đúng. Khi đó $\sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$, ý b) đúng. Trên đoạn $[2\pi ;4\pi ]$: $2\pi \le \frac{k\pi }{3}\le 4\pi \iff 6\le k\le 12$, cho $k=6,7,8,9,10,11,12$ (7 giá trị), nhưng $k=9$ cho $x=3\pi$ với $\cos 3\pi =-1$ bị loại. Vậy phương trình có 6 nghiệm thuộc $[2\pi ;4\pi ]$: $x\in \left\{2\pi ,\frac{7\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{11\pi }{3},4\pi \right\}$, nên ý c) sai (không phải 7 nghiệm). Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{3}(6+7+8+10+11+12)=\frac{54\pi }{3}=18\pi \ne 21\pi$, nên ý d) sai. Kết quả khớp đáp án nguồn DDSS (mã đề 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{k\pi }{3}\in [2\pi ;4\pi ]$ ta có $k=6,\dots ,12$ (7 giá trị) nhưng $k=9$ cho $x=3\pi$ bị loại do $\cos 3\pi =-1$. Vậy chỉ có 6 nghiệm, không phải 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 6 nghiệm là $\frac{\pi }{3}(6+7+8+10+11+12)=18\pi \ne 21\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x-m=1\iff \sin x=m+1$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m+1\le 1$, tức $-2\le m\le 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải bất phương trình $\sin 2x\ge 0$ với $x\in \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$. Đặt $t=2x$, khi đó $t\in [0;3\pi ]$. Bất phương trình $\sin t\ge 0$ có nghiệm $t\in [0;\pi ]\cup [2\pi ;3\pi ]$. Suy ra $2x\in [0;\pi ]\cup [2\pi ;3\pi ]$, tức $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$. Kết quả này trùng khớp với đáp án trong nguồn (trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị giao nhau khi $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0,2\pi ]$, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Do hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x\in \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng khớp với đáp án của đề (Câu 4, Phần III).

$2\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ,\frac{\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x-m=1\iff \sin x=m+1$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m+1\le 1$, tức là $-2\le m\le 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị giao nhau khi $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0,2\pi )$, $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Do $\sin x$ có chu kỳ $2\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x\in \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn ở trang 8 (Câu 4).

$2\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ,\frac{\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Ta có độ sâu của mực nước là $7cm$ nên: $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5=7\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$
$\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff \frac{\pi t}{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff t=4+24k(k\in \mathbb{Z})$
Vì $1\le t\le 24\iff 1\le 4+24k\le 24\iff -\frac{1}{8}\le k\le \frac{5}{6},k\in \mathbb{Z}$
Nên k = 0 $\Rightarrow t=4$
Vậy vào lúc 4 giờ thì độ sâu của mực nước là 7cm.