Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $x\in [0;2\pi ]$ tức $2x\in [0;4\pi ]$. Ta có $2x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $2x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Với $k=0$: $2x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$ cho $x=\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}$; với $k=1$: $2x=\frac{9\pi }{4},\frac{11\pi }{4}$ cho $x=\frac{9\pi }{8},\frac{11\pi }{8}$; với $k=2$ thì $2x>4\pi$ (loại). Vậy có 4 nghiệm trong $[0;2\pi ]$. Tổng các nghiệm: $\frac{\pi +3\pi +9\pi +11\pi }{8}=\frac{24\pi }{8}=3\pi \approx 9.4248\approx 9.42$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác:

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow 4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$.
$\Rightarrow x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
$\Rightarrow x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$.
$\Rightarrow x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ (với điều kiện $\sin (3x+1)\ne 0$, được tự động thỏa).
$\Rightarrow 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- $\sin 3x=-1\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
- $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
- Trường hợp 1: $7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow 5x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
- Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$ hoặc $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra lại: mỗi nghiệm đều thỏa miền giá trị của hàm số tương ứng (ví dụ ở câu 3, $x=k\pi$ khiến $\tan (x+\pi /6)=\tan (\pi /6+k\pi )=\sqrt{3}/3$ đúng; ở câu 6, thay $x=-\pi /10$: $\sin (-7\pi /10)+\cos (-\pi /5)=-\sin (7\pi /10)+\cos (\pi /5)=-\cos (\pi /5)+\cos (\pi /5)=0$ đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác:

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow 4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$.
$\Rightarrow x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
$\Rightarrow x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$ (điều kiện: $x+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).
$\Rightarrow x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. (Các giá trị này thỏa mãn điều kiện.)

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ (điều kiện: $3x+1\ne k\pi$).
$\Rightarrow 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- $\sin 3x=-1\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
- $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
- Trường hợp 1: $7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow 5x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
- Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$ hoặc $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Tất cả các nghiệm đều đã kiểm tra điều kiện xác định của tan, cot và thay lại vào phương trình gốc đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)+1=0\iff \sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=-1$. Khi đó $\frac{\pi }{3}-x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, suy ra $x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{6}$ thì $\frac{\pi }{3}-x=-\frac{\pi }{2}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$, thỏa mãn. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. So sánh với dạng $x=-\frac{\pi }{m}+\frac{k\pi }{n}$ ta được $m=6$, $n=1$, nên $m-n=6-1=5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác:

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
$\iff 4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
Vậy $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$.
$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện xác định của $\tan$ thỏa mãn vì $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$.
$\iff 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện xác định của $\cot$: $3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \ne k\pi$, thỏa mãn).

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\sin 3x=-1\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
• $7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff 5x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-2x+2k\pi \iff 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: thay mỗi họ nghiệm vào phương trình gốc đều thỏa mãn; các điều kiện xác định của $\tan$ (câu 3) và $\cot$ (câu 4) đều được đảm bảo.

Gợi ý làm bài:
a) $2\cos x-\sqrt{3}=0\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (0,5đ)
b) $\cos 7x-\sin 3x=0\iff \cos 7x=\sin 3x\iff \cos 7x=\cos (\frac{\pi }{2}-3x)$ (0,25đ)

$\iff \cos 7x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp đáp án D và bảng đáp án mã đề 2102 (Câu 4 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trên vòng tròn lượng giác, $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với phương án D (khớp với đáp án mã đề 2102 trong bảng).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ (nghiệm $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng), nên chỉ có một nghiệm → Sai. b) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. c) Nghiệm đúng phải là $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ chứ không phải $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ → Sai. d) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2101: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, vì $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng. Vậy chỉ có một nghiệm, không phải hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Khẳng định đưa ra $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ là sai vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm dương: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.

Gợi ý làm bài:
a)
$\tan x=-\sqrt{3}\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right),k\in \mathbb{Z}$.

$\iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b)
$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{5\pi }{8}+k\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Sóng đạt chiều cao lớn nhất khi $h(t)=65$, tức $\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, suy ra $t=4+16k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 25$: $k=0$ cho $t=4$; $k=1$ cho $t=20$; $k=2$ cho $t=36>25$ (loại). Vậy có 2 thời điểm sóng đạt chiều cao lớn nhất, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 16 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin (x+30^{\circ })+4=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m-4\in [-1;1]$, tức $3\le m\le 5$. Các giá trị nguyên của $m$ là $3,4,5$, vậy có 3 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3).

a) Phương trình: $2\cos 2x-\sqrt{3}=0\iff \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos 2x=\cos \frac{\pi }{6}$ $\iff \{\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giải phương trình: $\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do $2\pi \le x\le 4\pi \Rightarrow 2\pi \le \frac{5\pi }{12}+k\pi \le 4\pi \iff \frac{19}{12}\le k\le \frac{43}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=2,3$. Khi đó tìm được: $x=\frac{29\pi }{12},x=\frac{41\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao lớn nhất khi $h(t)=75$, tức $\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow t=4+16k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 30$: $t=4$ ($k=0$) và $t=20$ ($k=1$); $t=36>30$ loại. Vậy có 2 thời điểm, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (x-3)\in [-1;1]$ nên $\sin (x-3)+3\in [2;4]$. Phương trình $\sin (x-3)+3=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [2;4]$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{2;3;4\}$, tức có 3 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3).

a) Phương trình: $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=\frac{-1}{2}\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ $\iff [<table><tbody><tr><td>2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})\iff [<table><tbody><tr><td>x=-\frac{\pi }{12}+k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+k\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{7\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giải phương trình: $\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do $3\pi \le x\le 5\pi \Rightarrow 3\pi \le \frac{\pi }{12}+k\pi \le 5\pi \iff \frac{35}{12}\le k\le \frac{59}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=3,4$. Khi đó tìm được: $x=\frac{37\pi }{12},x=\frac{49\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\sin x=\sin \alpha$). Kiểm tra: với $x=\pi -\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 12: A).