Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ trong khoảng 8 giây đầu sao cho $h=8$ cm. Giải phương trình: $8\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=8\iff \sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1\iff \frac{\pi }{4}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=2+8k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với điều kiện $0\le t\le 8$, chỉ có $k=0$ thỏa mãn, suy ra $t=2$ giây. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1102, câu 16: 2).

$\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$ (0,25 điểm)

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì sin đạt giá trị 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và lặp lại chu kỳ $2\pi$. Khớp với đáp án B (đáp án nguồn: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, vì sin đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và lặp lại theo chu kì $2\pi$. Kiểm tra: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ với mọi $k$. Các phương án khác sai: $x=k2\pi$ cho $\sin x=0$; $x=k\pi$ cho $\sin x=0$; $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $\sin x=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=8$, tức $\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1$. Suy ra $\frac{\pi }{4}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$, nên $t=2+8k$. Trong vòng 8 giây đầu ($0\le t\le 8$), chỉ có $t=2$ (với $k=0$) thỏa mãn; $k=1$ cho $t=10>8$. Vậy thời điểm cần tìm là $t=2$ giây, trùng với đáp án nguồn.

$\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$ (0,25 điểm)

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-\cos 2x=0\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 2103, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-\cos 2x=0\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, khớp với đáp án C (khớp cả đáp án của đề, mã đề 1246).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x-1=0\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)+g(x)=\sin x+\cos 2x=\sin x+1-2{\sin }^{2}x=0$, tức $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$, nên $\sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$. Với $\sin x=1$: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Với $\sin x=-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. a) Sai: bộ nghiệm còn thiếu họ nghiệm $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. b) Đúng: $g(x)=\cos 2x\le 1$ và đạt $1$ khi $2x=k2\pi$. c) Sai: $g(x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định là $\mathbb{R}$ (không phải $[-1;1]$). d) Sai: trong đoạn $[0;\pi ]$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (các nghiệm $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{7\pi }{6}$ không thuộc $[0;\pi ]$), nên chỉ có 1 nghiệm phân biệt, không phải 2. Khớp với đáp án nguồn (S, Đ, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin x+\cos 2x=0$ được $\sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, cho họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và còn thiếu họ $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ có giá trị lớn nhất bằng 1 khi $2x=k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi số thực, tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[0;\pi ]$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$, tức 1 nghiệm phân biệt, không phải 2.

a) Sai. $g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị).
b) Đúng. $\sin x+\cos 2x=0\iff \sin x+1-2{\sin }^{2}x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
c) Đúng. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ với mọi $x$, nên $\max g(x)=1$, đạt được khi $2x=k2\pi$, tức $x=k\pi$.
d) Sai. Theo ý b), trong đoạn $[0;\pi ]$: $x=\frac{\pi }{2}$ thỏa mãn, còn họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ không cho nghiệm nào thuộc $[0;\pi ]$. Vậy phương trình chỉ có đúng 1 nghiệm thuộc $[0;\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x-1=0\iff \tan x=1$. Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$. Do hàm $\tan x$ có chu kỳ $\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Phương án A và C chỉ lấy chu kỳ $2\pi$ (thiếu nghiệm), phương án B cho $\tan x=-1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 6: D).

Ta có: $Maxh(t)\iff \sin \frac{\pi }{12}(t-9)=1$ $\iff \frac{\pi }{12}(t-9)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff t=15+24k,k\in \mathbb{Z}$. Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$ nên $t=15$. $A=a^2+2a+t=a^2+2a+15=(a+1{)}^2+14\ge 14$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x-1=0\iff \tan x=1$. Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$. Do hàm $\tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án D (đáp án chấm máy mã đề 1102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x-1=0\iff \tan x=1$. Trên vòng tròn lượng giác, $\tan x=1$ khi $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kì của hàm tan là $\pi$). Kiểm tra: $\tan \frac{\pi }{4}=1$ thỏa mãn. So với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 4: A) thì khớp. Các phương án B, C sai vì $\tan (-\frac{\pi }{4})=-1$; phương án D sai vì thiếu các nghiệm với chu kì $\pi$ (chỉ lấy chu kì $2\pi$).

Ta có $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chọn đáp án (B). (Lưu ý: lời giải gốc trên nguồn in nhầm công thức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, tuy nhiên đáp án chính thức được chọn là (B) $\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, phù hợp với nghiệm đúng của phương trình $\sin x=0$.)

(AI giải đề cho tôi)
Huyết áp đạt 120 mmHg khi $100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$. Khi đó $\frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=\frac{3}{14}(4k+1)$. Với $0\le t\le 3$: $0\le \frac{3}{14}(4k+1)\le 3\iff 0\le 4k+1\le 14\iff k=0,1,2,3$. Vậy huyết áp đạt 120 mmHg đúng 4 lần (tại $t=\frac{3}{14},\frac{15}{14},\frac{27}{14},\frac{39}{14}$), khớp với đáp án nguồn là 4.

Câu 1 (1 điểm)
a/ $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$ (0.125)
$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$ (0.25)
$\iff \{\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0.125)
b/ $\sqrt{3}\tan x-1=0\iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ (0.125)
$\iff \tan x=\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)$ (0.125)
$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến bức tường, đặt $t=\tan \alpha$. Theo đề: $\tan \alpha =\frac{3}{d}$ và $\tan (\alpha +15^{\circ })=\frac{9}{d}=3\tan \alpha =3t$. Với $\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}\approx 0,267949$, phương trình cộng góc $\frac{t+\tan 15^{\circ }}{1-t\tan 15^{\circ }}=3t$ cho $3\tan 15^{\circ }{t}^2-2t+\tan 15^{\circ }=0$. Giải: $t=\frac{2\pm \sqrt{4-12{\tan }^{2}15^{\circ }}}{6\tan 15^{\circ }}$, được $t_1\approx 2,3466$ (khi đó $d\approx 1,28$ m, góc $\alpha +15^{\circ }>90^{\circ }$ nên loại) và $t_2\approx 0,14206$. Chọn $t_2$: $d=\frac{3}{t_2}\approx 21,12$ m. Vậy khoảng cách lớn nhất từ vận động viên đến bức tường là $21,1$ m, khớp đáp án nguồn 21.1.