Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm dạng $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (vì $\cos x=-1$ chỉ xảy ra tại $x=\pi$ cộng bội của $2\pi$). Kiểm tra: $\cos (\pi +k2\pi )=\cos \pi =-1$ đúng. Đáp án A sai vì $x=\pi +k\pi$ bao gồm cả các điểm có $\cos x=1$. Bảng đáp án mã đề 112 cho câu 6 là D, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên phương trình tương đương $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$, suy ra $2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Các nghiệm âm của phương trình: với $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ ta có $-\frac{2\pi }{3},-\frac{5\pi }{3},\dots$; với $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ ta có $-\frac{\pi }{3},-\frac{4\pi }{3},\dots$. Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{3}$. Đúng.

b) Bộ nghiệm đúng phải là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ (chu kỳ $\pi$, không phải $2\pi$). Ví dụ $x=\frac{4\pi }{3}$ là nghiệm vì $\cos \frac{8\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nhưng không thuộc bộ nghiệm với $+k2\pi$. Sai.

c) Trên $(0;2\pi )$, các nghiệm là $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ — có 4 nghiệm, không phải 3. Sai.

d) Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau, tương đương. Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, Câu 1: Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{3}$ (k = 0 ở nhánh âm).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ (chu kỳ $\pi$); với $+k2\pi$ bị thiếu nghiệm như $x=\frac{4\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2\pi )$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình tương đương.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm dạng $\cos x=\cos a$ với $a=\pi$, chu kỳ $2\pi$). Kiểm tra: với $k=0$, $\cos \pi =-1$ đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 111, câu 9: C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne \frac{1}{2}$, $\cos x\ne -1$, $\sin x\ne 0$.

Đặt $c=\cos x$, $s=\sin x$. Phương trình: $(1+2c)s=\sqrt{3}(1-2c)(1+c)$, với $g(c)=\frac{(1-2c)(1+c)}{1+2c}=\frac{1-c-2c^2}{1+2c}$ thì $s=\sqrt{3}g(c)$.

Xét dấu $g$: $g>0$ khi $c\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$; $g<0$ khi $c\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)$.

Bình phương hai vế (rồi kiểm tra lại): $(1-c^2)(1+2c{)}^2=3(1-c-2c^2{)}^2$. Vì $1-c-2c^2=(1+c)(1-2c)$ và $c\ne -1$: $(1-c)(1+2c{)}^2=3(1+c)(1-2c{)}^2$. Khai triển: $1+3c-4c^3=3-9c+12c^3\Rightarrow 8c^3-6c+1=0$.

Với $c=\cos \theta$: $2\cos 3\theta +1=0\Rightarrow \cos 3\theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\pm \frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Các giá trị $c$ phân biệt: $\cos \frac{2\pi }{9}\approx 0.766$, $\cos \frac{4\pi }{9}\approx 0.174$, $\cos \frac{8\pi }{9}\approx -0.940$.

Kiểm tra dấu (loại nghiệm ngoại lai từ khi bình phương):
- $c=\cos \frac{4\pi }{9}$: $g\approx 0.5686$, $\sqrt{3}g\approx 0.9848=\sin \frac{4\pi }{9}>0$ ✓ → họ $x\equiv \frac{4\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.
- $c=\cos \frac{2\pi }{9}$: $g\approx -0.3711$, $\sqrt{3}g\approx -0.6428=-\sin \frac{2\pi }{9}$ ✓ → họ $x\equiv -\frac{2\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.
- $c=\cos \frac{8\pi }{9}$: $g\approx -0.1975$, $\sqrt{3}g\approx -0.3420=-\sin \frac{8\pi }{9}$ ✓ → họ $x\equiv -\frac{8\pi }{9}(\mathrm{mod}2\pi )$.

Đoạn $\left[-\frac{23\pi }{3};\frac{2023\pi }{3}\right]$ có độ dài $\frac{2046\pi }{3}=682\pi =341\cdot 2\pi$, và $-\frac{23\pi }{3}\equiv \frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$, tức đoạn tương đương $\left[\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}+682\pi \right]$. Vì tại hai đầu mút $\cos x=\frac{1}{2}$ (không thỏa điều kiện), mỗi họ có đúng $341$ nghiệm:
- Họ $\frac{4\pi }{9}$: nghiệm $\frac{4\pi }{9}+2k\pi$, $k=\mathrm{0..340}$; tổng $=341\cdot \frac{4\pi }{9}+340\cdot 341\pi$.
- Họ $-\frac{2\pi }{9}$: $k=\mathrm{1..341}$; tổng $=-\frac{682\pi }{9}+341\cdot 342\pi$.
- Họ $-\frac{8\pi }{9}$: $k=\mathrm{1..341}$; tổng $=-\frac{2728\pi }{9}+341\cdot 342\pi$.

Tổng cộng: $S=341\left(\frac{4\pi -2\pi -8\pi }{9}\right)+(115940+116622+116622)\pi =341\left(1024\pi -\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{341\cdot 3070\pi }{3}=\frac{1046870\pi }{3}\approx 1096279.7$.

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: $1096280$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $P(t)=110$: $20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=10\Rightarrow \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, tức $t=\frac{1}{14}+\frac{6k}{7}$ hoặc $t=\frac{5}{14}+\frac{6k}{7}$. Với $t\in [0;1]$: $k=0$ cho $t=\frac{1}{14},\frac{5}{14}$; $k=1$ cho $t=\frac{13}{14}$ (và $\frac{17}{14}>1$ loại). Vậy có 3 lần huyết áp đạt 110 mmHg.

1.
a. $2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b. $x\in \left[-2\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow x\in \left\{-\frac{11\pi }{6};-\frac{7\pi }{6};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$

2.
$\Rightarrow 2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x-2m+3=0$, Đặt $\sin x=t,t\in [-1;1]\Rightarrow 2t^2+3t-5=-2m$

Vẽ đồ thị ta thấy hàm số $2t^2+3t-5=f(t)$ ta thấy $f(t)\in \left[\frac{-49}{8};0\right]\Rightarrow$ Để pt vô nghiệm thì $\{\begin{array}{l}-2m>0\\ -2m<\frac{-49}{8}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m<0\\ m>\frac{49}{16}\end{array}$

a. Ta có $A=\frac{\sin 2\alpha +\cos \alpha }{1-\cos 2\alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (2\sin \alpha +1)}{2{\sin }^2\alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (2\sin \alpha +1)}{\sin \alpha (2\sin \alpha +1)}=\cot \alpha$

b. $$\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 3x+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$

a. Ta có $A=\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha (2\cos \alpha +1)}{2{\cos }^2\alpha +\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha (2\cos \alpha +1)}{\cos \alpha (2\cos \alpha +1)}=\tan \alpha$.

b. $$\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=0\iff 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $\cos \frac{5\pi }{6}=\cos (\pi -\frac{\pi }{6})=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=a$ với $a=-\frac{\sqrt{3}}{2}\in [-1;1]$: $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Các phương án B, D dùng góc $\frac{\pi }{6}$ (sai vì $\cos \frac{\pi }{6}=+\frac{\sqrt{3}}{2}$), các phương án C, D dùng chu kỳ $k\pi$ (sai vì chu kỳ của $\cos$ là $2\pi$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Với $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k-\frac{1}{12}\le 5\Rightarrow -\frac{23}{12}\le k\le \frac{61}{12}$, nên $k\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$: 7 nghiệm.

Với $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k+\frac{1}{4}\le 5\Rightarrow -\frac{9}{4}\le k\le \frac{19}{4}$, nên $k\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$: 8 nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (một họ là các số $\equiv -\pi /12$, họ kia $\equiv \pi /4$ theo mod $\pi$). Vậy tổng số nghiệm là $7+8=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan x+3=0\iff \tan x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c=m-5$, điều kiện có nghiệm: $-1\le c\le 1\iff 4\le m\le 6$. Với $c\in (-1;1)$, các nghiệm trong $\left[-\frac{\pi }{3};2\pi \right)$ là: $x=\arccos c$ (luôn thuộc đoạn vì $0<\arccos c<\pi$); $x=-\arccos c+2\pi \in (\pi ;2\pi )$ (luôn thuộc nửa khoảng); $x=-\arccos c$ chỉ thuộc đoạn khi $\arccos c\le \frac{\pi }{3}\iff c\ge \frac{1}{2}$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm khi $c<\frac{1}{2}$, tức $m<\frac{11}{2}$. Kết hợp $4\le m\le 6$ (nguyên) và $m<5,5$ ta được $m=5$. Kiểm tra: $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ thuộc đoạn, còn $x=-\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{3}$ loại. Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và hàm số $\cos x$ có chu kỳ $2\pi$, nghiệm tổng quát là $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng; các phương án khác cho $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đều sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2-m$, điều kiện có nghiệm là $-1\le t\le 1$, tức $1\le m\le 3$ với $m$ nguyên: $m\in \{1,2,3\}$. Xét từng giá trị trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{3};2\pi \right]$: Với $m=1$, $\cos x=1$ cho $x=0$ và $x=2\pi$: đúng 2 nghiệm. Với $m=2$, $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{3\pi }{2}$: đúng 2 nghiệm. Với $m=3$, $\cos x=-1$ chỉ cho $x=\pi$: 1 nghiệm, không thỏa. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{1,2\}$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$. Ta có $\cos \left(\pm \frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ vì $\frac{\pi }{3}$ là góc có cos dương bằng $\frac{1}{2}$ (cos của $\frac{\pi }{3}$ bằng $\frac{1}{2}$ theo bảng giá trị lượng giác). Do đó nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra các phương án khác: $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ (loại A), $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (loại B), $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (loại D). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án ma đề 1201 (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin x=1\iff \sin x=\frac{1}{2}$. Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nghiệm là $x=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$. Do đó họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin x=1\iff \sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0;2\pi ]$, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Vậy nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=1$ suy ra $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên vòng tròn lượng giác, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Vậy họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ và $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, đều thỏa mãn. Kết quả khớp với phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1$. Khi đó $\frac{\pi t}{6}+1=\pi +2k\pi \iff t=6+12k-\frac{6}{\pi }$. Với $0\le t<24$: với $k=0$, $t\approx 6-1,91\approx 4,09$ (nhận); với $k=1$, $t\approx 16,09$ (nhận); với $k=2$, $t\approx 28,09$ (loại). Vậy có 2 thời điểm thỏa mãn, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1101: 2).