Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) $x=\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ nên là một nghiệm → Đúng.
b) Tập $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi$ là nghiệm của $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, không phải của phương trình đã cho → Sai (nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$).
c) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ → Sai.
d) $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ thỏa $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đó thỏa $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị Hình 15: tại $t=0$ thì $h=16$ nên $m+a=16$; tại $t=12$ thì $h=10$ nên $m-a=10$. Giải hệ suy ra $m=13$, $a=3$. Vậy $h(t)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Giải $h(t)=11,5$: $3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1,5\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{12}t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, tức $t=8+24k$ hoặc $t=16+24k$. Với $0\le t\le 24$, các nghiệm là $t=8$ và $t=16$. Thời điểm đầu tiên trong ngày là $t=8$ giờ. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos 2x\in [-1;1]$. Phương trình $2024({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)-m+5=0$ tương đương $m=2024\cos 2x+5$. Để phương trình có nghiệm thì $-2024\le m-5\le 2024$, tức $-2019\le m\le 2029$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2029-(-2019)+1=4049$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ và hàm $\cos$ có chu kỳ $2\pi$ với tính chẵn $\cos (-x)=\cos x$. So sánh với các phương án: A cho $\pm \frac{\pi }{4}$ ($\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$), B cho $\pm \frac{\pi }{6}$ ($\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$), C cho $\pm \frac{2\pi }{3}$ ($\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$). Chỉ phương án D thỏa mãn, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$, nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả này trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ → Sai.
b) $x=\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ là nghiệm → Đúng.
c) Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, không phải $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi$ → Sai.
d) $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ phương trình chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, nên tổng các nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \frac{9\pi }{4}=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn phương trình.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, khác với khẳng định đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos 2x\in [-1;1]$. Phương trình trở thành $2024\cos 2x=m-5$, có nghiệm khi và chỉ khi $-2024\le m-5\le 2024$, tức $-2019\le m\le 2029$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2029-(-2019)+1=4049$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị Hình 15: tại $t=0$ mực nước cao nhất bằng $16$ m nên $m+a=16$; tại $t=12$ mực nước thấp nhất bằng $10$ m nên $m-a=10$. Giải hệ suy ra $m=13$, $a=3$, do đó $h(t)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Giải phương trình $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=11,5\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $0\le t\le 24$ thì $\frac{\pi }{12}t\in [0;2\pi ]$, các nghiệm là $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}$ hoặc $\frac{4\pi }{3}$, tức $t=8$ hoặc $t=16$. Thời điểm đầu tiên trong ngày là $t=8$ (giờ), trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-1\le \frac{m-2}{3}\le 1\iff m\in [-1;5]$, $m$ nguyên. Đặt $a=\arccos \frac{m-2}{3}\in [0;\pi ]$. Trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{7\pi }{3}\right]$, với $\frac{m-2}{3}\in (-1;1)$, phương trình luôn có 3 nghiệm: $x=-a,x=a,x=2\pi -a$. Nghiệm thứ tư $x=2\pi +a$ thuộc đoạn khi $2\pi +a\le \frac{7\pi }{3}\iff a\le \frac{\pi }{3}\iff \frac{m-2}{3}\ge \frac{1}{2}$. Vậy cần đúng 3 nghiệm khi $-1<\frac{m-2}{3}<\frac{1}{2}\iff -1<m<3,5\iff m\in \{0;1;2;3\}$. (Kiểm tra biên: $\frac{m-2}{3}=1$ cho 2 nghiệm $x=0,2\pi$; $=-1$ cho 2 nghiệm $x=-\pi ,\pi$; $=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm vì $x=\frac{7\pi }{3}$ thuộc đoạn.) Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $1+\sin x=0\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$. Vì $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ và $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$, nên:
- Trường hợp 1: $x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$.
- Trường hợp 2: $x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
Vậy nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$, tương ứng với phương án C. Kiểm tra: với $x=-\frac{\pi }{2}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; với $x=\frac{5\pi }{6}$, $\sin \left(\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng.

Ta có: $\sin 2x-\sin x=0\iff 2\sin x.\cos x-\sin x=0\iff \sin x.\left(2\cos x-1\right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}k\in \mathbb{Z}$$

Điều kiện $-2\pi \le x\le 2\pi$. Nghiệm: $\{\begin{array}{l}4{\pi }^2-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2\pi \\ \sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$. Kết hợp điều kiện: $x\in \left\{-2\pi ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \right\}$ nên có 9 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4{\pi }^2-x^2\ge 0\iff -2\pi \le x\le 2\pi$. Phương trình $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}\sin 2x=0$ khi $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}=0$ hoặc $\sin 2x=0$.
- $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}=0\iff x=\pm 2\pi$ (2 nghiệm).
- $\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$, với $-2\pi \le x\le 2\pi \iff -4\le k\le 4$, cho $k\in \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$: 9 nghiệm là $x\in \{-2\pi ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$.
Hai nghiệm $\pm 2\pi$ đã nằm trong tập trên nên tổng số nghiệm là $9$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11: Công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ là $x=\pm \alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức $\left[\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\right]$. Điều này khớp với phương án B. Các phương án còn lại dùng chu kỳ $k\pi$ hoặc nhánh $\pi -\alpha$ (thuộc công thức của sin) nên sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

1) Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (0,5 điểm):
$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)
$\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ (0,25 điểm).

2) a) Tính $L_1=\underset{x\to 1}{\lim }(1-3x)$ (0,5 điểm):
$L_1=1-3.1$ (0,25 điểm)
$=-2$ (0,25 điểm).

b) Tính $L_2=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{3-x}$ (0,5 điểm):
$L_2=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{3-x}$ (0,25 điểm)
$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)}$
$=\underset{x\to 3}{\lim }\left[-(x+3)\right]$ (0,25 điểm)
$=-(3+3)=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $h(t)=40\iff 30-20\sin \left(\frac{\pi }{24}t+\frac{\pi }{2}\right)=40\iff \sin \left(\frac{\pi }{24}t+\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\iff \cos \left(\frac{\pi }{24}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $t\ge 0$: $\frac{\pi }{24}t=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{24}t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, tức $t=16+48k$ hoặc $t=32+48k$. Lần thứ nhất $t=16$ giây, lần thứ hai $t=32$ giây. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $h=8+2\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)$, chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /11}=22$ giờ, miền $0\le t<24$.

a) Cao nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=1\Rightarrow \frac{\pi }{11}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{11}{2}+22k$. Trong $[0;24)$ chỉ có $t=5,5$ (5h30). Vậy chỉ có 1 thời điểm, khẳng định SAI.

b) Thấp nhất khi $\sin =-1\Rightarrow t=\frac{33}{2}+22k$, trong $[0;24)$ có $t=16,5$ tức 16 giờ 30 phút. ĐÚNG.

c) $h=7\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{11}t=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{11}{6}+22k$ hoặc $t=\frac{77}{6}+22k$. Trong $[0;24)$: $t=\frac{121}{6}\approx 20,17$ và $t=\frac{77}{6}\approx 12,83$. Đúng 2 thời điểm. ĐÚNG.

d) $h\ge 9\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{11}t\le \frac{5\pi }{6}\Rightarrow \frac{11}{6}\le t\le \frac{55}{6}$, tức $t\in [1,\mathrm{833...};9,\mathrm{166...}]$. Khoảng từ 2h00' đến 9h00' nằm hoàn toàn trong khoảng này nên tàu vào được cảng. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 1 thời điểm t=5,5 (5h30) trong ngày mực nước cao nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mực nước thấp nhất khi sin(πt/11)=-1, tức t=16,5 giờ = 16 giờ 30 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
h=7 cho 2 nghiệm t=77/6≈12,83 và t=121/6≈20,17 trong [0;24).
d) (AI giải đề cho tôi)
h≥9 khi t∈[11/6; 55/6]≈[1,83; 9,17], chứa trọn khoảng [2;9].

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $h=8+2\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /11}=22$ giờ, xét trên $0\le t<24$.
a) $h$ cao nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=1\Rightarrow \frac{\pi t}{11}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{11}{2}+22k$. Trong $[0;24)$ chỉ có $t=5,5$ (5h30). Vậy chỉ có 1 thời điểm, khẳng định a SAI.
b) $h$ thấp nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-1\Rightarrow t=-\frac{11}{2}+22k$, trong $[0;24)$ chỉ có $t=16,5$ tức 16h30. Khẳng định b ĐÚNG.
c) $h=7\iff \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi t}{11}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{11\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{77}{6}+22k$ hoặc $t=\frac{121}{6}+22k$. Trong $[0;24)$ có $t=\frac{77}{6}\approx 12,83$ và $t=\frac{121}{6}\approx 20,17$: đúng 2 thời điểm. Khẳng định c ĐÚNG.
d) $h\ge 9\iff \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{6}+2k\pi \le \frac{\pi t}{11}\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow \frac{11}{6}+22k\le t\le \frac{55}{6}+22k$. Với $k=0$: $t\in \left[\frac{11}{6};\frac{55}{6}\right]\approx [1,83;9,17]$. Khoảng từ 2h đến 9h nằm hoàn toàn trong khoảng này nên tàu vào được cảng trong suốt khoảng thời gian đó. Khẳng định d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 1 thời điểm t=5,5 giờ (5h30) trong ngày mực nước cao nhất do chu kỳ 22 giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
h thấp nhất khi sin(πt/11)=-1, cho t=16,5 giờ tức 16h30.
c) (AI giải đề cho tôi)
h=7 cho hai nghiệm t=77/6≈12,83 và t=121/6≈20,17 trong [0;24).
d) (AI giải đề cho tôi)
h≥9 khi t∈[11/6;55/6]≈[1,83;9,17], chứa trọn khoảng [2;9] nên tàu vào được cảng.

a)
$${\cos }^{2}3x\cdot \cos 2x-{\cos }^{2}x=0$$
$$\iff \frac{1+\cos 6x}{2}\cdot \cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0$$
$$\iff (1+\cos 6x)\cdot \cos 2x-(1+\cos 2x)=0$$
$$\iff \cos 2x+\cos 6x\cdot \cos 2x-1-\cos 2x=0$$
$$\iff \cos 6x\cdot \cos 2x-1=0$$
$$\iff \frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 8x)-1=0$$
$$\iff \cos 4x+\cos 8x-2=0$$
$$\iff \cos 4x+\left(2{\cos }^{2}4x-1\right)-2=0$$
$$\iff 2{\cos }^{2}4x+\cos 4x-3=0$$
$$\iff (\cos 4x-1)(2\cos 4x+3)=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}\cos 4x=1\\ \cos 4x=-\frac{3}{2}(vn)\end{array}$$
$$\iff 4x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$$
$$\iff x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

b) Ta có:
$$u_{n+1}=3-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=1-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=\frac{u_n-2}{u_n+2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{u_n+2}{u_n-2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=1+\frac{4}{u_n-2}$$

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n-2}$, $v_1=\frac{1}{u_1-2}=\frac{1}{3-2}=1$. Khi đó:

$$v_{n+1}=4v_n+1$$

$$\iff v_{n+1}+\frac{1}{3}=4\left(v_n+\frac{1}{3}\right)$$

Đặt $a_n=v_n+\frac{1}{3}$, $a_1=v_1+\frac{1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$. Khi đó: $a_{n+1}=4a_n$.

Suy ra $(a_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $a_1=\frac{4}{3}$ và công bội $q=4$.

Suy ra $a_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Suy ra $v_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}$, $\forall n\ge 2$

Suy ra $u_n=2+\frac{1}{v_n}=2+\frac{1}{\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}}=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.