Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

$x=2\cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \cos \left(4t-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 4t-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

$0<t=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}\le 2025\iff -\frac{5}{6}<k\le 2577.48,k\in \mathbb{Z}$
$k\in \{0;1;2;...;2577\},k\in \mathbb{Z}$
Vậy 2025 giây đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng 2578 lần

$$x=2\cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff 3t-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$
$$0<t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\le 2025\iff -\frac{3}{4}<k\le 1932.98,k\in \mathbb{Z}$$
$$k\in \{0;1;2;...;1932\},k\in \mathbb{Z}$$
Vậy 2025 giây đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng 1933 lần

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm dạng $x=\arctan (\sqrt{3})+k\pi =\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ và hàm $\tan$ có chu kỳ $\pi$. Đáp án trùng với bảng đáp án (mã đề 101, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $x=0$, tức $\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)=0\Rightarrow \frac{t\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=2+4k$. Với $t\in [0;20]$: $t=2;6;10;14;18$ — tổng cộng 5 lần. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x=0$ có nghiệm $2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $x=0$ $(k=0)$ là nghiệm; $x=\pi$ $(k=2)$ là nghiệm; $x=\frac{\pi }{2}$ $(k=1)$ là nghiệm; $x=-\frac{\pi }{4}$: $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1\ne 0$, không là nghiệm. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đây đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì sin nhận giá trị $-1$ duy nhất tại $x=-\frac{\pi }{2}$ trong một chu kỳ $2\pi$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\Rightarrow x\ne \pi +k2\pi$. Phương trình $\frac{\sin 2x}{\cos x+1}=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[\pi ;3\pi ]$ các giá trị là: $x=\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi ,\frac{5\pi }{2},3\pi$. Loại $x=\pi$ và $x=3\pi$ vì làm $\cos x+1=0$ (mẫu bằng 0). Vậy còn 3 nghiệm: $x=\frac{3\pi }{2},2\pi ,\frac{5\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của sin là $2\pi$). Kiểm tra: $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ đúng. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, vì sin bằng 0 tại các bội nguyên của $\pi$. Các phương án khác là nghiệm của $\cos x=0$ (B, D) hoặc chỉ một phần họ nghiệm (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, nên a) ĐÚNG.

Giải $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$:
- Trường hợp 1: $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow 7x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$.
- Trường hợp 2: $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{6}+2x+2k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
Vậy b) ĐÚNG.

Trên $[0;\pi ]$:
- Họ $x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$: với $k=0,1,2,3$ ta được $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$ (4 nghiệm; $k=4$ cho $\frac{17\pi }{14}>\pi$).
- Họ $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$: chỉ $k=1$ cho $\frac{11\pi }{18}$ (1 nghiệm).
Tổng cộng 5 nghiệm, nên c) SAI.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=\frac{28\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$. Vậy d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, phương trình đã cho tương đương với $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin A=\sin B$: TH1 $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$; TH2 $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\pi ]$: họ $\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$ cho 4 nghiệm $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$; họ $-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ cho 1 nghiệm $\frac{11\pi }{18}$. Tổng cộng 5 nghiệm, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trên $[0;\pi ]$ là $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cot x=-1$ có nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ và chu kỳ của cot là $\pi$. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C sai vì chu kỳ $2\pi$ không đúng với hàm cot; phương án D sai vì $\cot \left(\pm \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}\ne -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0$ (điều kiện $\cos x\ne 0$) suy ra $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án đề 1106 (câu 11 là C).

Từ đồ thị, ta thấy, mực nước cao nhất là 15 mét đạt tại $t=24$ giờ, mực nước thấp nhất là 9 mét đạt tại $t=6$ giờ nên ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.24\right)+b=15\\ a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.6\right)+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=15\\ -a+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=12\end{array}$$

Khi đó, $h(t)=12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3$

Chiều cao của mực nước bằng 15 mét $\iff h(t)=15\iff 12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3=15\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$

$\frac{\pi }{6}t=k2\pi \iff t=12k,k\in \mathbb{Z}$. Do $0\le t\le 24\Rightarrow 0\le 12k\le 24\iff 0\le k\le 2$

Các giá trị nguyên của $k$ là $k\in \{0;1;2\}$

Với $k=0\Rightarrow t=0$ (giờ)

Với $k=1\Rightarrow t=12$ (giờ)

Với $k=2\Rightarrow t=24$ (giờ)

Tập hợp $S$ các thời điểm để chiều cao mực nước bằng 15 mét là $S=\{0;12;24\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là: $0+12+24=36$

Từ đồ thị, ta thấy, mực nước cao nhất là 15 mét đạt tại $t=24$ giờ, mực nước thấp nhất là 9 mét đạt tại $t=6$ giờ nên ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.24\right)+b=15\\ a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.6\right)+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=15\\ -a+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=12\end{array}$$

Khi đó, $h(t)=12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3$

Chiều cao của mực nước bằng 15 mét $\iff h(t)=15\iff 12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3=15\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$

$\frac{\pi }{6}t=k2\pi \iff t=12k,k\in \mathbb{Z}$. Do $0\le t\le 24\Rightarrow 0\le 12k\le 24\iff 0\le k\le 2$

Các giá trị nguyên của $k$ là $k\in \{0;1;2\}$

Với $k=0\Rightarrow t=0$ (giờ)

Với $k=1\Rightarrow t=12$ (giờ)

Với $k=2\Rightarrow t=24$ (giờ)

Tập hợp $S$ các thời điểm để chiều cao mực nước bằng 15 mét là $S=\{0;12;24\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là: $0+12+24=36$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án D và bảng đáp án (mã đề 1105, câu 3: D).