Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
a) Đúng: $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) Đúng: họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$).
c) Sai: với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) Đúng: trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 112, Phần II Câu 2: A Đúng, B Đúng, C Sai, D Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ suy ra $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$), nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ ta được $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
a) Đúng: phương trình tương đương là $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ thì $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên khẳng định sai.
c) Đúng: các nghiệm dương là $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ và $\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ với $k\ge 0$, nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
d) Đúng: trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế cho 2: $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; họ $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ không thỏa mãn vì $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$ ở họ $\frac{\pi }{4}+k2\pi$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(-\pi ;\pi )$, hai họ nghiệm cho $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, đúng hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ;\frac{11\pi }{24}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, nên $2x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
- Trường hợp $+$: $2x=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$.
- Trường hợp $-$: $2x=\frac{\pi }{3}-\frac{5\pi }{6}+k2\pi =-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Vậy $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
$\cos (2x)=1⟺2x=k2\pi ⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$ với điều kiện $t\in [-1;1]$, phương trình trở thành $2t^2-5t+2=0$. Phân tích: $2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2)=0$, nên $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=2$. Vì $t=2\notin [-1;1]$ nên loại, chỉ còn $\sin x=\frac{1}{2}$. Suy ra $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
a) Đúng: đặt $t=\sin x$ thì được $2t^2-5t+2=0$.
b) Đúng: với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\sin x=\frac{1}{2}$, thay vào: $2\cdot \frac{1}{4}-5\cdot \frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2=0$, vậy $x=\frac{\pi }{6}$ là nghiệm.
c) Sai: họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $\sin x=-\frac{1}{2}$ (không thỏa), và họ đúng bị thiếu là $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
d) Sai: các nghiệm thuộc $(-2\pi ;2\pi )$ là $-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ — chỉ có 4 nghiệm, không phải 5.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$ thì phương trình trở thành $2t^2-5t+2=0$ (với $t\in [-1;1]$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=\frac{\pi }{6}$: $2{\sin }^2\frac{\pi }{6}-5\sin \frac{\pi }{6}+2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2=0$, nên $x=\frac{\pi }{6}$ là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x=\frac{1}{2}$, tập nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $\sin x=-\frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $(-2\pi ;2\pi )$: $-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ — chỉ có 4 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin 2x=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Trường hợp 1: $2x=x-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Với $0<x<2025$: $2k\pi <2025+\frac{\pi }{6}\approx 2025,524\Rightarrow k<322,5$, và $k\ge 1$. Vậy $k=1,\dots ,322$: được $322$ nghiệm.

Trường hợp 2: $2x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$.
Với $0<x<2025$: $\frac{2k\pi }{3}<2025-\frac{7\pi }{18}\approx 2023,778\Rightarrow k<966,3$, và $k\ge 0$. Vậy $k=0,\dots ,966$: được $967$ nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (nếu trùng thì $-\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{18}+\frac{2m\pi }{3}$, suy ra $\frac{5\pi }{9}=2\pi \left(m-\frac{3k}{2}\right)$, vô lý vì $\frac{5}{18}\notin \mathbb{Z}$).

Tổng số nghiệm: $322+967=1289$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, tức $\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, với $0\le t\le 0,2$ nên $\frac{\pi }{4}\le 2t+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}+0,4\approx 1,185$ (rad). Trong khoảng này, nghiệm của $\sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là $u=\frac{\pi }{3}$. Suy ra $2t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=\frac{\pi }{24}\approx 0,1309\approx 0,13$ (giây). Nghiệm kia $u=\frac{2\pi }{3}$ cho $t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,65>0,2$ (loại). Vậy thời điểm cần tìm là $t\approx 0,13$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos (-2x)=\cos (2x)$, phương trình trở thành $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{6}$. Suy ra $2x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{12}-k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}-k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\left\{-\frac{1}{12}\pi -k\pi ,\frac{1}{12}\pi -k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

Có $2\cos x+1=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

Với $\frac{3\pi }{2}\le \frac{2\pi }{3}+k2\pi \le 4\pi \Rightarrow 0,4\le k\le 1,6\Rightarrow k=1$

Với $\frac{3\pi }{2}\le -\frac{2\pi }{3}+k2\pi \le 4\pi \Rightarrow 1,1\le k\le 2,3\Rightarrow k=2$

Kết quả: 2

Chọn A
$2\cos x+1=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h=14$: $2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+12=14\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Với $0\le t\le 24$ thì $\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\le \frac{7\pi }{3}$, nên $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2\pi \iff \frac{\pi t}{12}=\frac{5\pi }{3}\iff t=20$. Vậy mực nước đạt độ sâu 14 m lần đầu tiên vào lúc 20 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$. Đặt $\alpha =\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$. Do đó $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos t\le 1$ và $-1\le \sin t\le 1$ với mọi $t$, nên: A sai vì $\cos x=3\notin [-1;1]$; B sai vì $\sin 2x=-2\notin [-1;1]$; D sai vì $\sqrt{7}\approx 2,65\notin [-1;1]$. Riêng C: $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-1$ có nghiệm vì $-1\in [-1;1]$, cụ thể $2x-\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy phương trình có nghiệm là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$ có nghiệm dạng $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ là $x=\pm \alpha +k2\pi$). Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}$ thì $\cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$, và do hàm $\cos$ có chu kì $2\pi$ nên cộng thêm $k2\pi$ vẫn thỏa mãn. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ ($\cos x=-1$ khi và chỉ khi $x$ là số lẻ lần $\pi$, tức $x\equiv \pi (\mathrm{mod}2\pi )$). Kiểm tra: với $x=\pi +k2\pi$ thì $\cos x=\cos (\pi +k2\pi )=\cos \pi =-1$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Phương án B ($x=\pi +k\pi$) sai vì tại $x=2\pi$ ta có $\cos 2\pi =1\ne -1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ta có $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nên nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của $\tan x$ là $\pi$). Khớp với đáp án D và bảng đáp án mã đề 102 (Câu 12: D).