Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. Giải từng phương trình:

a) $\sin 2x-\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0$.
- $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\sin x\cos 2x=\sin 2x\cos 3x$. Dùng công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, phương trình trở thành $\sin x\cos 2x=2\sin x\cos x\cos 3x\iff \sin x(\cos 2x-2\cos x\cos 3x)=0$.
- $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos 2x=2\cos x\cos 3x$: dùng $2\cos x\cos 3x=\cos 4x+\cos 2x$, suy ra $\cos 2x=\cos 4x+\cos 2x\iff \cos 4x=0\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra lại bằng tích thành tổng: $\sin x\cos 2x=\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x)$, $\sin 2x\cos 3x=\frac{1}{2}(\sin 5x-\sin x)$, nên phương trình tương đương $\sin 3x=\sin 5x\iff 2\cos 4x\sin x=0$ — cùng kết quả.

Vậy $x=k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

c) $\sin 2x=\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$. Khi đó
$$\sin 2x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)=0\iff 2\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0.$$
- $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=0\iff \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (tương đương $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$).
- $\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{10}$, $\sin \frac{\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{10}$ (đúng vì $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$). Với $x=-\frac{\pi }{2}$: $\sin (-\pi )=0=\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)$ (đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$. Hàm số $\cos x$ đạt giá trị $-1$ tại $x=\pi$ và lặp lại theo chu kỳ $2\pi$, nên tập nghiệm là $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos (\pi +k2\pi )=\cos \pi =-1$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Các phương án khác sai vì: B cho $\cos x=\pm 1$; C cho $\cos x=0$; D cho $\cos x=1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-1=0\iff \sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=1$. Vì $\sin t=1\iff t=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên $\frac{\pi }{4}+x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=h$ với $0\le t<24$, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=\frac{h-12}{3}$.

a) $h=15$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=1\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=2k\pi \Rightarrow t=12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$: $k=1$ cho $t=12-\frac{6}{\pi }\approx 10,09$; $k=2$ cho $t=24-\frac{6}{\pi }\approx 22,09$.

b) $h=9$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pi +2k\pi \Rightarrow t=6+12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$: $k=0$ cho $t=6-\frac{6}{\pi }\approx 4,09$; $k=1$ cho $t=18-\frac{6}{\pi }\approx 16,09$.

c) $h=10,5$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=\pm 4+12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$:
- Dấu $+$: $k=0$ cho $t=4-\frac{6}{\pi }\approx 2,09$; $k=1$ cho $t=16-\frac{6}{\pi }\approx 14,09$.
- Dấu $-$: $k=1$ cho $t=8-\frac{6}{\pi }\approx 6,09$; $k=2$ cho $t=20-\frac{6}{\pi }\approx 18,09$.

Vậy các giá trị $t$ (làm tròn đến hàng phần trăm) là:
a) $t=12-\frac{6}{\pi }\approx 10,09$ hoặc $t=24-\frac{6}{\pi }\approx 22,09$;
b) $t=6-\frac{6}{\pi }\approx 4,09$ hoặc $t=18-\frac{6}{\pi }\approx 16,09$;
c) $t\in \left\{4-\frac{6}{\pi };8-\frac{6}{\pi };16-\frac{6}{\pi };20-\frac{6}{\pi }\right\}\approx \{2,09;6,09;14,09;18,09\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Con lắc qua vị trí cân bằng khi $s=0$, tức $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0$, nên $7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$. Với $0\le t\le 30$: $\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}\le 30\iff k\le \frac{210}{\pi }-\frac{1}{6}\approx 66,68$. Vậy $k=0,1,\dots ,66$, tức con lắc đi qua vị trí cân bằng $67$ lần trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây. (Kiểm tra: chu kỳ $T=\frac{2\pi }{7}\approx 0,8976$ s, mỗi chu kỳ qua vị trí cân bằng 2 lần; $30/0,8976\approx 33,42$ chu kỳ, xấp xỉ $2\times 33,42\approx 66,8$, khớp với 67 lần.)

(AI giải đề cho tôi)
Mức nước cao nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $\frac{t}{8}=2k-\frac{1}{4}$, nên $t=16k-2$. Với $0\le t\le 24$: $k=1$ cho $t=14$; $k=0$ cho $t=-2$ (loại); $k=2$ cho $t=30$ (loại). Vậy mức nước cao nhất lúc 14 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $(2\cos x-1)(\sin x+1)=0$.

Phương trình tương đương với $2\cos x-1=0$ hoặc $\sin x+1=0$.

TH1: $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

TH2: $\sin x+1=0\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan (x+45^{\circ })=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }$, nên $x+45^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$, suy ra $x=15^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{15^{\circ }+k180^{\circ };k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8,6\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=4,3$ với $0<t<2$, tức $\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Trường hợp 1: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$. Với $0<t<2$: $k=1$ cho $t\approx 0,654$; $k=2$ cho $t\approx 1,440$; $k=3$ cho $t\approx 2,225>2$ (loại). Vậy 2 nghiệm.

Trường hợp 2: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$. Với $0<t<2$: $k=0$ cho $t\approx 0,131$; $k=1$ cho $t\approx 0,916$; $k=2$ cho $t\approx 1,702$; $k=3$ cho $t\approx 2,487>2$ (loại). Vậy 3 nghiệm.

Tổng cộng có $2+3=5$ thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên mà $s=4,3$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 115. Giải từng phương trình:

a) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$. Suy ra $4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn $|\cos x|\le 1$). Vậy $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện tan xác định luôn thỏa).

d) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Suy ra $3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $(\sin 3x+1)\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$.
• $\sin 3x=-1\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy tập nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)$.
• Trường hợp 1: $7x=-\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 9x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$.
• Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}+2x+2k\pi \Rightarrow 5x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, với $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) $d(t)=12\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=0$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k,k\in \mathbb{Z}.$$
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

b) $d(t)=9\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k.$$
Với $0<t\le 365$: $k=1\Rightarrow t=353$. Vậy ngày thứ 353 thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

c) $d(t)=15\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=1$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k.$$
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=171$. Vậy ngày thứ 171 thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

Kiểm tra: $t=171$: $\frac{\pi }{182}\cdot 91=\frac{\pi }{2}$, $\sin =1$, $d=15$ ✓; $t=353$: $\frac{\pi }{182}\cdot 273=\frac{3\pi }{2}$, $\sin =-1$, $d=9$ ✓; $t=80,262$: $\sin =0$, $d=12$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \alpha$ có nghiệm tổng quát $x=\pm \alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức là $\{\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}$. Kiểm tra: với $x=\alpha +k2\pi$ thì $\cos x=\cos \alpha$; với $x=-\alpha +k2\pi$ thì $\cos x=\cos (-\alpha )=\cos \alpha$. Phương án B dùng $\pi -\alpha$ là nghiệm của $\sin x=\sin \alpha$; C và D sai chu kỳ. Đáp án A khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 2x=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$. Với $x\in (0;\pi )$ thì $2x\in (0;2\pi )$. Trên $(0;2\pi )$, phương trình $\sin t=-\frac{1}{2}$ có hai nghiệm $t=\frac{7\pi }{6}$ và $t=\frac{11\pi }{6}$. Suy ra $x=\frac{7\pi }{12}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$, đều thuộc $(0;\pi )$. Vậy số nghiệm là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$, nên $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ đúng; các đáp án B, C, D sai vì nghiệm của sin không đối xứng qua $\pm \frac{\pi }{6}$ và D dùng giá trị $\frac{1}{6}$ (rad) không phải $\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=1$ có nghiệm dạng $x=k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ ($\cos x$ đạt giá trị 1 tại các cung tròn có số đo bội của $2\pi$). Kiểm tra: với $x=k2\pi$ thì $\cos x=\cos (k2\pi )=1$ đúng với mọi $k$. Các phương án khác sai vì $\cos (\pi +k2\pi )=-1$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)=0$, $\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm sin đạt giá trị 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và chu kỳ là $2\pi$. Kiểm tra: với $k=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ đúng; các phương án B, C, D cho $\sin x=\pm 1$ hoặc $-1$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos 2x=\sqrt{3}\iff \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{12}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$, tương ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x=0$.
- $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy hai họ nghiệm là $x=k\pi$ và $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, đúng với đáp án A. Các đáp án B, C, D đều thiếu hoặc chỉ chứa một phần họ nghiệm nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

a) Sai: họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ (thử $x=\frac{\pi }{6}$: $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$).

b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.

c) Sai: trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$, xét $-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}\iff -\frac{7}{6}<k<\frac{2}{3}$, nên $k\in \{-1,0\}$: chỉ có 2 nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$, không phải ba nghiệm.

d) Đúng: tổng hai nghiệm là $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{6}$ (k=-1), không phải $-\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng chỉ có 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.