Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Câu 1 (1 điểm):
a/ $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$ — 0.125
$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ — 0.25
$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ — 0.125
b/ $\sqrt{3}\tan x+1=0\iff \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ — 0.125
$\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ — 0.125
$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ — 0.25

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì sin bằng 0 tại các bội nguyên của $\pi$. Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $\sin (k\pi )=0$ đúng với mọi $k$. Các phương án A, B, D cho $\sin x=\pm 1$ nên sai. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 209 (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có họ nghiệm $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $\sin x=0$ đúng với mọi $k$ nguyên. Các phương án B, C, D cho $\sin x=\pm 1$, không thỏa mãn. Đáp án trùng với hướng dẫn chấm (Mã đề 132, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 1 là đỉnh của đường tròn, cách nhau chu kỳ $2\pi$). Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{2}=1$ đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102, Câu 4: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=1$ có nghiệm $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm cơ bản của lượng giác). Kiểm tra: với $x=k2\pi$ thì $\cos x=\cos (k2\pi )=1$ với mọi $k$. Các phương án khác sai vì: $\cos (\pi +k2\pi )=-1$ (B), $\cos (k\pi )=\pm 1$ (C), $\cos \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)=0$ (D). Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{2\pi }{9}$ có nghiệm dạng $x=\pm \frac{2\pi }{9}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x=\cos \alpha$). Điều này khớp với đáp án A và cũng khớp với bảng đáp án của đề 102 (câu 11 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{2\pi }{9}$. Theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$: $x=\pm \alpha +k2\pi$, với $\alpha =\frac{2\pi }{9}$. Vậy $x=\pm \frac{2\pi }{9}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{2\pi }{9}$ hoặc $x=-\frac{2\pi }{9}$ cộng bội của $2\pi$, do tính tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ của hàm cos, đều thỏa mãn. Phương án A và C sai vì chu kỳ $k\pi$ (sai với hàm cos); B chỉ là một họ nghiệm riêng thiếu nghiệm $x=-\frac{2\pi }{9}+k2\pi$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101, câu 8: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\sin x=1\iff \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng theo công thức nghiệm tổng quát. b) Nghiệm dương nhỏ nhất: với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{4}$ (nhỏ hơn $\frac{3\pi }{4}$), các $k<0$ cho nghiệm âm, $k\ge 1$ cho nghiệm lớn hơn, vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ — đúng. c) Trong đoạn $[-\pi ;2\pi ]$: xét $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta được $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$ (với $k=-1$, $x=-\frac{7\pi }{4}<-\pi$ loại; $k=1$, $x=\frac{9\pi }{4}>2\pi$ loại); xét $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ ta được $k=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}$. Vậy chỉ có 2 nghiệm $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$, không phải 4 nghiệm — sai. d) Tổng các nghiệm trong đoạn $[-\pi ;2\pi ]$ là $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$ — đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, công thức nghiệm tổng quát cho $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=0$, nghiệm nhỏ nhất trong hai họ là $x=\frac{\pi }{4}>0$; các $k<0$ cho nghiệm âm nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[-\pi ;2\pi ]$ chỉ có 2 nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$ (các giá trị với $k=\pm 1$ nằm ngoài đoạn).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong đoạn là $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$.

(AI giải đề cho tôi) $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ và hàm $\cos$ có chu kỳ $2\pi$. Điều này khớp với đáp án C trong đề và bảng đáp án (Câu 4, mã đề 1111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có nghiệm khi điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 0, tức là tại các điểm giao của đường tròn với trục hoành: $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin (k\pi )=0$ với mọi $k$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=1$ có nghiệm $x=\arctan 1+k\pi =\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của tan là $\pi$). Điều này khớp với đáp án A và cũng khớp với bảng đáp án mã đề 102 (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên phương trình (*) tương đương $\cot 3x=\cot \frac{\pi }{3}$ (ý c Đúng).

Điều kiện: $3x\ne k\pi$. Nghiệm tổng quát: $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

a) Trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$: với $k=0$ được $x=\frac{\pi }{9}$; với $k=1$ được $x=\frac{4\pi }{9}$; các $k$ khác cho nghiệm ngoài khoảng. Tổng $=\frac{\pi }{9}+\frac{4\pi }{9}=\frac{5\pi }{9}$. Đúng.

b) Nghiệm dương lớn nhất trong khoảng là $\frac{4\pi }{9}$. Đúng.

c) Đúng như trên.

d) Họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$: với $k=1$ cho $x=\frac{2\pi }{9}$, khi đó $\cot 3x=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa (*). Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Sai.

Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp đáp án mã đề 102 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là $\frac{\pi }{9}$ và $\frac{4\pi }{9}$, tổng bằng $\frac{5\pi }{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương lớn nhất trong khoảng là $\frac{4\pi }{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên hai phương trình tương đương.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ cho $x=\frac{2\pi }{9}$ khi $k=1$, nhưng $\cot \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa (*). Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.

Ta có: phương trình tương đương $$\{\begin{array}{l}\sin 3x=1(1)\\ \sin 3x=\frac{1}{2}(2)\end{array}$$ Giải pt (1): $\sin 3x=1\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$. Giải pt (2): $$\sin 3x=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}(k\in Z)$$ Vậy pt đã cho có các nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=-1$ suy ra $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn. Khớp với đáp án D (mã đề 102, bảng đáp án cho Câu 8 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \frac{\pi }{3}$ (vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$), với điều kiện $\sin 3x\ne 0$. Suy ra $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
a) Đúng: họ nghiệm đúng như trên.
b) Đúng: với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ thì $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}<0\Rightarrow k\in \left(-\frac{11}{6};-\frac{1}{3}\right)\Rightarrow k=-1$, cho duy nhất nghiệm $x=-\frac{2\pi }{9}$; tổng các nghiệm bằng $-\frac{2\pi }{9}$.
c) Đúng: nghiệm duy nhất trong khoảng (đồng thời là nghiệm âm lớn nhất) là $-\frac{2\pi }{9}$.
d) Sai: $\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$, nên phương trình không tương đương $\cot 3x=\cot \frac{\pi }{6}$ (đúng phải là $\cot \frac{\pi }{3}$). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cot 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \frac{\pi }{3}\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ chỉ có nghiệm $x=-\frac{2\pi }{9}$ (k=-1), tổng bằng $-\frac{2\pi }{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nghiệm duy nhất trong khoảng, cũng là nghiệm âm lớn nhất, là $-\frac{2\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$; phải là $\cot \frac{\pi }{3}$.

Ta có: phương trình tương đương $$\{\begin{array}{l}\sin 3x=1(1)\\ \sin 3x=\frac{1}{2}(2)\end{array}$$ Giải pt (1): $\sin 3x=1\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$. Giải pt (2): $$\sin 3x=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}(k\in Z)$$ Vậy pt đã cho có các nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=1$ có nghiệm $x=\arctan 1+k\pi =\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của tan là $\pi$). Kiểm tra: $\tan \frac{\pi }{4}=1$ đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101, câu 2: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=-1$ suy ra $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Các phương án B, C, D cho $\cos x=\frac{1}{2}$ hoặc tập nghiệm sai chu kỳ, không thỏa. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

Chọn A. Người chơi đu đạt được cảm giác mạnh khi $h=|d|$ lớn nhất $$\iff \{\begin{array}{l}\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=1\\ \cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=-1\end{array}\iff \sin \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=0\iff \frac{\pi }{3}(2t-1)=k\pi \iff t=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k,k\in \mathbb{Z}$$ Trong khoảng thời gian 1 phút, với $t=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k,k\in \mathbb{Z}$ ta có $$\{\begin{array}{l}0\le \frac{1}{2}+\frac{3}{2}k\le 60\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}\le k\le \frac{119}{3}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3;5;...;39\right\}$$ Vậy trong khoảng thời gian 1 phút người chơi đu đạt được cảm giác mạnh 40 lần.