Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$. Với $t\in [0;24)$ (một ngày), lấy $k=1$ được $t=14$. Vậy mực nước cao nhất vào lúc 14 giờ (độ sâu lớn nhất $h=6$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(75^{\circ }-x\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ }$.
Do đó $75^{\circ }-x=\pm 135^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $75^{\circ }-x=135^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-60^{\circ }+k360^{\circ }$.

Trường hợp 2: $75^{\circ }-x=-135^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=210^{\circ }+k360^{\circ }$.

Vậy tập nghiệm: $x=-60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=210^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=210^{\circ }$: $\cos (75^{\circ }-210^{\circ })=\cos (-135^{\circ })=\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓; với $x=-60^{\circ }$: $\cos (135^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

Ta có $\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$.

Suy ra $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ thì $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, không bao giờ bằng $\frac{\pi }{2}+m\pi$, nên mọi nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển vế: $\sin 8x-\sqrt{3}\cos 8x=\sqrt{3}\sin 6x+\cos 6x$. Biến đổi thành tích: vế trái $=2\sin \left(8x-\frac{\pi }{3}\right)$, vế phải $=2\sin \left(6x+\frac{\pi }{6}\right)$. Vậy $\sin \left(8x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(6x+\frac{\pi }{6}\right)$.
Trường hợp 1: $8x-\frac{\pi }{3}=6x+\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Trường hợp 2: $8x-\frac{\pi }{3}=\pi -\left(6x+\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi =\frac{5\pi }{6}-6x+2k\pi \Rightarrow 14x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}$.
Kết luận: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}$, với $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k\pi$. Phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ tương đương $\sin 3x=0$ và $\cos x\ne -1$, tức $3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [2\pi ;4\pi ]$ thì $2\pi \le \frac{k\pi }{3}\le 4\pi \iff 6\le k\le 12$, cho $k=6,7,8,9,10,11,12$ (7 giá trị). Loại $k=9$ vì $x=3\pi$ làm $\cos x+1=0$ (mẫu bằng 0). Vậy phương trình có $7-1=6$ nghiệm thuộc đoạn $[2\pi ;4\pi ]$: $x\in \left\{2\pi ;\frac{7\pi }{3};\frac{8\pi }{3};\frac{10\pi }{3};\frac{11\pi }{3};4\pi \right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{2}\Rightarrow \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
Do đó $x+\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với dấu '+': $x=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{12}+k2\pi$.
- Với dấu '-': $x=-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k2\pi =-\frac{11\pi }{12}+k2\pi$.
Vậy tập nghiệm $S=\left\{\frac{7\pi }{12}+k2\pi ;-\frac{11\pi }{12}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x+\sqrt{3}=0\iff \tan x=-\sqrt{3}$. Ta có $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$, nên nghiệm là $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [-1;1]$, tức là $|m|\le 1$. Các khẳng định A, B, C đều sai (ví dụ $m=2$ thì vô nghiệm, $m=-2\le 1$ nhưng vô nghiệm). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ $2\pi$, không phải $\pi$). Kiểm tra: với $k=0$, $\sin (-\pi /2)=-1$ đúng. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan \frac{x}{3}+3=0\iff \tan \frac{x}{3}=-\sqrt{3}$. Suy ra $\frac{x}{3}=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, do đó $x=-\pi +3k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{-\pi +k3\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (x-30^{\circ })=-\cos 2x\iff \cos (x-30^{\circ })+\cos 2x=0$. Dùng công thức tổng hai cosin: $2\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}\cos \frac{-x-30^{\circ }}{2}=0$, tức $2\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}\cos \frac{x+30^{\circ }}{2}=0$.
TH1: $\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}=0\Rightarrow \frac{3x-30^{\circ }}{2}=90^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=70^{\circ }+k120^{\circ }$.
TH2: $\cos \frac{x+30^{\circ }}{2}=0\Rightarrow \frac{x+30^{\circ }}{2}=90^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=150^{\circ }+k360^{\circ }$.
Vậy $x=70^{\circ }+k120^{\circ }$ hoặc $x=150^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $x=70^{\circ }$: $\cos 40^{\circ }=-\cos 140^{\circ }$ đúng; $x=150^{\circ }$: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}=-\cos 300^{\circ }$ đúng. Đây là lựa chọn thứ ba trong đề (đề gốc in nhãn B trùng do thiếu nhãn C; bản ghi đã gán nhãn C).

(AI giải đề cho tôi)
$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{3}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$
Với $x\in [\pi ;2\pi ]$: $\pi \le -\frac{\pi }{3}+k\pi \le 2\pi ⟺\frac{4}{3}\le k\le \frac{7}{3}⟺k=2$, cho $x=\frac{5\pi }{3}$. Vậy có đúng $1$ nghiệm thuộc đoạn $[\pi ;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=\sqrt{3}\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng. b) Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: với họ $\frac{\pi }{3}+2k\pi$ có $\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$; với họ $-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ có $\frac{5\pi }{3}$. Vậy chỉ có 3 nghiệm $\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right\}$, không phải 4 nghiệm → sai. c) Tổng các nghiệm $=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}\ne \frac{25\pi }{6}$ → sai. d) Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}\ne \frac{25\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x-40^{\circ }$, với $-180^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ thì $-400^{\circ }\le t\le 320^{\circ }$. Phương trình $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có họ nghiệm $t=60^{\circ }+360^{\circ }k$ hoặc $t=120^{\circ }+360^{\circ }k$. Với họ thứ nhất: $t=60^{\circ }$ (k=0) và $t=-300^{\circ }$ (k=-1) thuộc đoạn. Với họ thứ hai: $t=120^{\circ }$ (k=0) và $t=-240^{\circ }$ (k=-1) thuộc đoạn. Vậy có 4 giá trị $t$, tức 4 nghiệm $x$ (mỗi $t$ cho đúng một $x=(t+40^{\circ })/2$ trong đoạn).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 — Giải các phương trình lượng giác.

a) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

Điều kiện: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

$\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ thì $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, thỏa mãn điều kiện và phương trình.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Trường hợp 1: $3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3};\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $\cos (2x-70^{\circ })=-1$

$2x-70^{\circ }=180^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow 2x=250^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $S=\{125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

d) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$

Áp dụng công thức $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x+\frac{\pi }{4}$, $B=\frac{\pi }{4}-x$:

$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$, $\frac{A-B}{2}=x$, nên $$2\cos \frac{\pi }{4}\cos x=\sqrt{2}\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tất cả bốn nghiệm đã được kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình gốc và đều thỏa mãn.

Chọn D. Phương trình $3\tan \frac{x}{4}-\sqrt{3}=0\iff \tan \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}\iff \frac{x}{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+k4\pi$. Với $x\in [0;2\pi )\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}$.

a) Sai. Khi $m=506\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{6}$.

b) Đúng. Khi $m=\pi \Rightarrow \sin x=\frac{\pi }{1012}$. Vì $-1\le \frac{\pi }{1012}\le 1$ nên phương trình có nghiệm.

c) Đúng. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le \frac{m}{1012}\le 1\iff -1012\le m\le 1012$. Số giá trị nguyên của $m$ là $1012-(-1012)+1=2025$.

d) Sai. Khi $x\in (0;\pi )$ thì $0<\sin x\le 1$. Phương trình có nghiệm khi $0<\frac{m}{1012}\le 1\iff 0<m\le 1012$. Có 1012 giá trị nguyên của $m$, không phải 1013.
a) Sai. Khi $m=506\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{6}$.
b) Đúng. Khi $m=\pi \Rightarrow \sin x=\frac{\pi }{1012}$. Vì $-1\le \frac{\pi }{1012}\le 1$ nên phương trình có nghiệm.
c) Đúng. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le \frac{m}{1012}\le 1\iff -1012\le m\le 1012$. Số giá trị nguyên của $m$ là $1012-(-1012)+1=2025$.
d) Sai. Khi $x\in (0;\pi )$ thì $0<\sin x\le 1$. Phương trình có nghiệm khi $0<\frac{m}{1012}\le 1\iff 0<m\le 1012$. Có 1012 giá trị nguyên của $m$, không phải 1013.

Đáp số: 2027

Đoạn $[0;2028\pi ]$ tương ứng với đúng 1014 vòng quay đầy đủ $(1014\times 2\pi )$.

Trong mỗi vòng quay, phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có đúng 2 nghiệm (tại $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{3\pi }{4}$), do đó trên đoạn $[0;2028\pi ]$ có $1014\cdot 2=2028$ nghiệm.

Đoạn cần xét là $\left[\frac{\pi }{2};2028\pi \right]$, tức loại bỏ nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$.

Vậy số nghiệm cần tìm là $2028-1=2027$.

Chọn B. Phương trình $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Chọn A. Vì $-1\le \cos x\le 1$ mà $-\frac{3}{2}<-1$ nên phương trình $\cos x=-\frac{3}{2}$ vô nghiệm.