Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải $P(t)=110\iff 100+20\cos (2\pi t)=110\iff \cos (2\pi t)=\frac{1}{2}$. Suy ra $2\pi t=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\pm \frac{1}{6}+k$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét $t\in [0;3]$: với $k=0$ được $t=\frac{1}{6}$; với $k=1$ được $t=\frac{5}{6},\frac{7}{6}$; với $k=2$ được $t=\frac{11}{6},\frac{13}{6}$; với $k=3$ được $t=\frac{17}{6}$. Tổng cộng có $1+2+2+1=6$ giá trị $t$, vậy huyết áp đạt đúng 110 mmHg 6 lần. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên $[-\pi ;5\pi ]$.

Ta có $\sin t=\frac{1}{2}\iff t=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.
Điều kiện $-\pi \le -\frac{\pi }{12}+k\pi \le 5\pi \iff -\frac{11}{12}\le k\le \frac{61}{12}$, nên $k\in \{0;1;2;3;4;5\}$: được $6$ nghiệm.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Điều kiện $-\pi \le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 5\pi \iff -\frac{5}{4}\le k\le \frac{19}{4}$, nên $k\in \{-1;0;1;2;3;4\}$: được $6$ nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (một họ là các số $\equiv -\pi /12(\mathrm{mod}\pi )$, họ kia $\equiv \pi /4(\mathrm{mod}\pi )$).

Vậy tổng số nghiệm trên $[-\pi ;5\pi ]$ là $6+6=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ đúng. Các phương án A, B dùng góc $\frac{\pi }{6}$ (cos = $\frac{\sqrt{3}}{2}$) và C dùng $\frac{\pi }{3}$ (cos = $\frac{1}{2}$) đều sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)+4=5,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=\frac{1}{2}\iff \frac{\pi t}{6}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff t=\pm 2+12k$. Với $t\in [0;12]$: $k=0$ cho $t=2$ và $t=10$; $k=1$ cho $t=14$ (loại), $k=-1$ cho $t=-14,-10$ (loại). Vậy nước đạt đúng 5,5 m tại $t=2$ giờ và $t=10$ giờ, tức 2 lần, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$. Hàm số $\sin x$ đạt giá trị $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$ và do có chu kỳ $2\pi$ nên nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $k=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ đúng. Phương án A sai vì chu kỳ $\pi$ sẽ bao gồm cả $x=\frac{3\pi }{2}$ nơi $\sin x=-1$; phương án B sai vì $\sin (k\pi )=0$; phương án D sai vì $\sin (\pi +k2\pi )=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\tan (2x-15^{\circ })=1$: điều kiện $2x-15^{\circ }\ne 90^{\circ }+k180^{\circ }$. Ta có $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện vì $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }$ không bao giờ là $90^{\circ }+k180^{\circ }$).
a) Đúng: họ nghiệm đúng là $x=30^{\circ }+k90^{\circ }$.
b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $x=-60^{\circ }$, không phải $-30^{\circ }$ (thử $x=-30^{\circ }$: $\tan (-75^{\circ })\ne 1$).
c) Đúng: trong khoảng $(-180^{\circ };90^{\circ })$, các nghiệm là $k=-2:x=-150^{\circ }$; $k=-1:x=-60^{\circ }$; $k=0:x=30^{\circ }$. Tổng $=-150^{\circ }-60^{\circ }+30^{\circ }=-180^{\circ }$.
d) Sai: nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$ (với $k=1$, $x=120^{\circ }\notin (-180^{\circ };90^{\circ })$). Kết quả khớp bảng đáp án D - S - D - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-60^{\circ }$ ($k=-1$), không phải $-30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $(-180^{\circ };90^{\circ })$: $-150^{\circ },-60^{\circ },30^{\circ }$; tổng bằng $-180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=-\sqrt{3}$. Ta có $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$, nên nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $k=1$, $x=\frac{2\pi }{3}$, $\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ đúng. Các phương án A, C, D cho $\tan$ lần lượt không xác định tại $\frac{\pi }{2}+k\pi$, bằng $1$, và bằng $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, đều sai. Đáp án khớp với key nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$, suy ra $2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng. Các nghiệm âm có dạng $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi <0$ với $k\le 0$. Với $k=0$ ta được $x=-\frac{\pi }{3}$, là nghiệm âm lớn nhất (các nghiệm âm khác đều nhỏ hơn vì cách nhau $\pi$).

b) Sai. Bộ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ chỉ gồm các nghiệm với $k$ chẵn của họ $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, bỏ sót các nghiệm như $x=\frac{2\pi }{3}$, $x=\frac{4\pi }{3}$ (vì $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn). Đáp án đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$.

c) Sai. Trên khoảng $(0;2\pi )$, các nghiệm là $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ — tức 4 nghiệm, không phải 3 nghiệm.

d) Đúng. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$ và $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$ là cùng một phương trình, tương đương nhau.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: D - S - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$. Các nghiệm âm là $-\frac{\pi }{3}+k\pi$ với $k\le 0$; lớn nhất là $-\frac{\pi }{3}$ khi $k=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; bộ với chu kỳ $2\pi$ bỏ sót các nghiệm như $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2\pi )$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc lớn nhất là $v_{\max }=2$ khi $\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)=1$, tức $2t+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 10$: $0\le \frac{\pi }{6}+k\pi \le 10\Rightarrow -\frac{1}{6}\le k\le \frac{10-\pi /6}{\pi }\approx 3.0$. Vậy $k=0,1,2,3$ cho $t\approx 0.52;3.67;6.81;9.95$ giây. Con lắc đạt vận tốc lớn nhất 4 lần, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm tổng quát $x=\arctan \sqrt{3}+k\pi =\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ và hàm $\tan$ có chu kỳ $\pi$. So sánh với các phương án: A đúng; B sai vì $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$; C, D sai vì chu kỳ của $\tan$ là $\pi$ chứ không phải $2\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: công thức nghiệm tổng quát của sin x = sin α là x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π, k ∈ ℤ. b) Sai: sin x = 1 ⟺ x = π/2 + k2π, không phải x = −π/2 + k2π (đó là nghiệm của sin x = −1). c) Sai: cos x + 3 = 0 ⟺ cos x = −3, mà cos x ∈ [−1; 1] nên vô nghiệm. d) Đúng: cos x = sin x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; nghiệm dương nhỏ nhất là π/4. Khớp với đáp án nguồn: Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây là công thức nghiệm tổng quát của phương trình sin x = sin α.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin x = 1 ⟺ x = π/2 + k2π; x = −π/2 + k2π là nghiệm của sin x = −1.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos x = −3 ∉ [−1; 1] nên phương trình vô nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos x = sin x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; nghiệm dương nhỏ nhất là π/4.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5=7\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff t=-4+24k$. Với $0\le t\le 24$, chỉ có $k=1$ cho $t=20$. Vậy có 1 thời điểm (khớp đáp án nguồn: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$: $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \left(\pm \frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Các phương án A, B, C chỉ là một phần nghiệm hoặc sai giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là công thức nghiệm chuẩn của phương trình dạng sin bằng nhau. Kiểm tra: với $x=\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin \alpha$ đúng; với $x=\pi -\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ cũng đúng. Các phương án B, C, D là công thức nghiệm của $\cos x=\cos \alpha$ hoặc không đúng. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \alpha$ có nghiệm $x=\pm \alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $\cos$ chẵn và có chu kỳ $2\pi$. Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \alpha$ (điều kiện $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$) có nghiệm tổng quát $x=\alpha +k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $y=\tan x$ có chu kỳ $\pi$ và trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ nhận giá trị $\tan \alpha$ tại $x=\alpha$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là đáp án A.

(AI giải đề cho tôi) Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Đây chính là đáp án B. Kiểm tra: $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ đúng; các đáp án A, D dùng $\frac{\pi }{6}$ ($\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sai), C thiếu họ nghiệm âm.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=1$ có nghiệm tổng quát $x=\arctan 1+k\pi =\frac{\pi }{4}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\tan \frac{\pi }{4}=1$ đúng, và chu kỳ của $\tan$ là $\pi$. Vậy đáp án A.