Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q={\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 2+3\cdot 3=4+9=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$. Điều kiện xác định: $x+1>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-1$ và $x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình tương đương $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$, cả hai đều thỏa điều kiện. So với bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 2: ĐSDS — khớp hoàn toàn. a) Đúng: hai phương trình tương đương vì mọi nghiệm của $x^2-3x=0$ đều thuộc tập xác định. b) Sai: $x=-1$ làm $\log (x+1)=\log 0$ không xác định. c) Đúng: tổng nghiệm $0+3=3$. d) Sai: điều kiện xác định là $x>-1$, $x\ne 1$, không phải $x>1$.
a) Đúng. Với điều kiện $x>-1$ và $x\ne 1$, phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$ tương đương $(x-1{)}^2=x+1$, tức $x^2-3x=0$. Hai nghiệm $x=0$ và $x=3$ đều thỏa mãn điều kiện, nên hai phương trình tương đương.
b) Sai. Với $x=-1$ thì $\log (x+1)=\log 0$ không xác định, nên $x=-1$ không thuộc tập xác định, không thể là nghiệm.
c) Đúng. Phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=3$ (đều thỏa mãn điều kiện xác định), tổng bằng $0+3=3$.
d) Sai. Điều kiện xác định là $x+1>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-1$ và $x\ne 1$, không phải $x>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có ${\log }_3\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$ và ${\log }_3(3x^2)=1+2{\log }_{3}x$. Do đó $M=12\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}x-3(1+2{\log }_{3}x)=6{\log }_{3}x-3-6{\log }_{3}x=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\log (x-1{)}^2=\log (x+1)$. Điều kiện: $(x-1{)}^2>0\Rightarrow x\ne 1$ và $x+1>0\Rightarrow x>-1$. Với điều kiện đó, phương trình tương đương $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-2x+1=x+1\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$ (đều thỏa điều kiện). a) Tổng nghiệm $0+3=3$: Đúng. b) Điều kiện xác định là $x>-1,x\ne 1$, không phải $x>1$: Sai. c) $x=-1$ không thuộc điều kiện xác định ($x+1=0$): Sai. d) Trên tập xác định, phương trình tương đương $x^2-3x=0$: Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=0$ và $x=3$, tổng bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định là $x>-1$ và $x\ne 1$, không phải $x>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ làm $\log (x+1)=\log 0$ không xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bỏ log hai vế (cùng cơ số) được $(x-1{)}^2=x+1\iff x^2-3x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có ${\log }_3\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$ và ${\log }_3(3x^2)=1+2{\log }_{3}x$. Do đó $M=12\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}x-3(1+2{\log }_{3}x)=6{\log }_{3}x-3-6{\log }_{3}x=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{a}b=2$ suy ra $b=a^2$; từ ${\log }_{a}c=4$ suy ra $c=a^4$. Khi đó $P={\log }_a\left(b^2{c}^3\right)={\log }_a\left(a^4\cdot a^{12}\right)={\log }_a{a}^{16}=16$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mỗi ngày số vi khuẩn tăng thêm 20% nên $a=1,2$, do đó $P(t)=P_0\cdot 1,2^t$.

Yêu cầu $P(t)>2P_0$:
$$1,2^t>2\iff t>{\log }_{1,2}2=\frac{\ln 2}{\ln 1,2}\approx \frac{0,6931}{0,1823}\approx 3,802.$$

Vậy sau ít nhất 4 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị) thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu. Kiểm tra: $1,2^3=1,728<2$ và $1,2^4=2,0736>2$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì số lượng ban đầu $A=2000$ nên $f(x)=2000e^{rx}$.
a) Từ $f(x)=2000e^{rx}$ suy ra $e^{rx}=\frac{f(x)}{2000}$, do đó $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{2000}$, không phải $\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$ → Sai.
b) $6000=2000e^{6r}\Rightarrow e^{6r}=3\Rightarrow r=\frac{\ln 3}{6}$ → Đúng.
c) Với $r=0,15$, sau 2 giờ: $f(2)=2000e^{0,3}\approx 2699,7\approx 2700$ con, không phải 2690 con → Sai.
d) Cần $20000=2000e^{rx}\Rightarrow x=\frac{\ln 10}{r}=\frac{6\ln 10}{\ln 3}\approx 12,57\approx 13$ giờ, không phải 12 giờ → Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) S, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A=2000$ nên $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{2000}$, không phải $\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$6000=2000e^{6r}\Rightarrow r=\frac{\ln 3}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=2000e^{0,3}\approx 2699,7\approx 2700$ con, không phải 2690 con.
d) (AI giải đề cho tôi)
$20000=2000e^{rx}\Rightarrow x=\frac{6\ln 10}{\ln 3}\approx 12,57\approx 13$ giờ, không phải 12 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{8}18=\frac{{\log }_{3}18}{{\log }_{3}8}=\frac{{\log }_3(9\cdot 2)}{3{\log }_{3}2}=\frac{2+a}{3a}$. Vậy $m=2$, $n=1$, do đó $m+n=3$, khớp với đáp án nguồn (đề 234, Phần III Câu 1: đáp án 3).

$700.(0,82{)}^t=300$
$\iff (0,82{)}^t=\frac{3}{7}$
$\iff t\approx {\log }_{0,82}\frac{3}{7}\approx 4,3$
KL: khoảng 5 năm (4,3 năm đều cho điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A=1000$ nên $f(x)=1000e^{rx}$.
a) Sai: Từ $f(x)=1000e^{rx}$ suy ra $e^{rx}=\frac{f(x)}{1000}$, do đó $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$, không phải $r=x\frac{\ln f(x)}{1000}$.
b) Đúng: $4000=1000e^{8r}\Rightarrow e^{8r}=4\Rightarrow r=\frac{\ln 4}{8}$.
c) Sai: Với $r=15\%=0,15$, sau 2 giờ: $f(2)=1000e^{0,3}\approx 1349,86\approx 1350$ con, không phải 1300 con.
d) Đúng: Với $r=\frac{\ln 4}{8}$, cần $1000e^{rx}=10000\Rightarrow e^{rx}=10\Rightarrow x=\frac{8\ln 10}{\ln 4}\approx 13,29\approx 13$ giờ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $f(x)=1000e^{rx}$ suy ra $r=\frac{1}{x}\ln \frac{f(x)}{1000}$, không phải $r=x\frac{\ln f(x)}{1000}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$4000=1000e^{8r}\Rightarrow r=\frac{\ln 4}{8}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=1000e^{0,3}\approx 1350$ con, không phải 1300 con.
d) (AI giải đề cho tôi)
$e^{rx}=10\Rightarrow x=\frac{8\ln 10}{\ln 4}\approx 13,29\approx 13$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}9=\frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}12}=\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2}4+{\log }_{2}3}=\frac{2a}{2+a}$. Vậy $m=2$, $n=2$, suy ra $m+n=4$, khớp với đáp án nguồn (đề 132, Câu 1: đáp án 4).

$700.(0,82{)}^t=400$
$\iff (0,82{)}^t=\frac{4}{7}$
$\iff t\approx {\log }_{0,82}\frac{4}{7}\approx 2,82$
KL: khoảng 3 năm (hoặc 2,8 năm đều cho điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\log (x^2-2x+2)=1$ (log cơ số 10). Điều kiện: $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, nên luôn thỏa. Phương trình tương đương $x^2-2x+2=10\iff x^2-2x-8=0\iff (x-4)(x+2)=0\iff x=4$ hoặc $x=-2$. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện, vậy tập nghiệm là $\{-2;4\}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\sqrt{5}\right)}^{2x-2}=5^{x-1}$. Phương trình trở thành $5^{-x+7}=5^{x-1}$, suy ra $-x+7=x-1\iff 2x=8\iff x=4$. Vì $4\in (3;5)$ nên đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a={\log }_{2}5$, $b={\log }_{3}5$:

a) ${\log }_{12}5=\frac{1}{{\log }_{5}12}=\frac{1}{{\log }_{5}4+{\log }_{5}3}=\frac{1}{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+2b}\ne \frac{2}{a+b}$ → khẳng định sai.

b) Từ $a={\log }_{2}5$ suy ra $2^a=5$; từ $b={\log }_{3}5$ suy ra $3^b=5$. Vậy $2^a+3^b=10$ → đúng.

c) $\frac{a}{b}=\frac{\ln 5/\ln 2}{\ln 5/\ln 3}=\frac{\ln 3}{\ln 2}={\log }_{2}3$ → đúng.

d) ${\log }_{4}25={\log }_{2^2}{5}^2={\log }_{2}5=a$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\log }_{12}5=\frac{1}{{\log }_{5}12}=\frac{1}{{\log }_{5}4+{\log }_{5}3}=\frac{1}{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+2b}\ne \frac{2}{a+b}$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ $a={\log }_{2}5$ suy ra $2^a=5$; từ $b={\log }_{3}5$ suy ra $3^b=5$. Vậy $2^a+3^b=10$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{a}{b}=\frac{\frac{\ln 5}{\ln 2}}{\frac{\ln 5}{\ln 3}}=\frac{\ln 3}{\ln 2}={\log }_{2}3$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}25={\log }_{2^2}{5}^2={\log }_{2}5=a$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $M=\log A-\log A_0=\log \frac{A}{A_0}$. Trận ở San Francisco: $8=\log \frac{A_1}{A_0}\Rightarrow \frac{A_1}{A_0}=10^8$. Trận ở Nhật Bản: $6=\log \frac{A_2}{A_0}\Rightarrow \frac{A_2}{A_0}=10^6$. Vậy $\frac{A_1}{A_2}=\frac{10^8}{10^6}=100$, tức biên độ trận động đất ở San Francisco gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản.

Độ $pH$ của đầm đó là: $pH=-\log \left[H^{+}\right]=-\log \left(8\cdot 10^{-8}\right)\approx 7,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $4\sqrt{2}=2^{\frac{5}{2}}$ nên ${\log }_2\left(4\sqrt{2}\right)=\frac{5}{2}=2,5$. Với số mũ: $9^{{\log }_{3}5}={\left(3^2\right)}^{{\log }_{3}5}=3^{2{\log }_{3}5}=3^{{\log }_{3}25}=25$. Vậy $P=2,5+25=27,5$, khớp với đáp án nguồn (27,5).

1) $P=\ln a^2+\ln b=\ln \left(a^{2}b\right)$. (0,25 điểm)
Thay giả thiết $a^{2}b=e$ vào $P$ và tính ra $P=1$. (0,25 điểm)
2) ${\log }_a\left(\sqrt[3]{b}\right)\cdot {\log }_{\sqrt[3]{b}}\left(a^2\right)={\log }_a\left(a^2\right)=2$ và ${\log }_{a^3{b}^2}\left(a^2{b}^3\right)=\frac{{\log }_a\left(a^2{b}^3\right)}{{\log }_a\left(a^3{b}^2\right)}=\dots \frac{2+3{\log }_{a}b}{3+2{\log }_{a}b}$. (0,25 điểm)
Thay giả thiết ${\log }_{a}b=\frac{1}{6}$ vào biểu thức, ta tính được $H=\frac{11}{4}$. (0,25 điểm)