Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Phương trình tương đương: $x=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}$.

Ta có $2,4=\frac{12}{5}={\left(\frac{5}{12}\right)}^{-1}$.
Phương trình tương đương:
${\left(\frac{12}{5}\right)}^{3x+1}={\left(\frac{12}{5}\right)}^{9-x}⟺3x+1=9-x⟺4x=8⟺x=2.$

Với $b\in (1;4]$, ta có $(b-1)(b^2-16)\le 0⟹b^3\le b^2+16b-16$.
Do đó ${\log }_a(b^2+16b-16)\ge 3{\log }_{a}b$.
Đặt $t={\log }_{a}b>1$, ta có:
$P\ge 9t+\frac{16}{27(t-1{)}^3}=9(t-1)+\frac{16}{27(t-1{)}^3}+9.$
Áp dụng AM-GM cho 4 số dương: $3(t-1)+3(t-1)+3(t-1)+\frac{16}{27(t-1{)}^3}\ge 4\sqrt[4]{16}=8$.
Suy ra $P\ge 8+9=17$.
Đẳng thức xảy ra khi $b=4,a=4^{\frac{3}{5}}$. Vậy $\min P=17$.

Điều kiện $x>2$. Ta có ${\log }_3(x-2)=1\iff x-2=3\iff x=5$. Chọn C.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình tương đương với $x-1=2^3=8\iff x=9$ (thỏa mãn điều kiện).

Chọn đáp án A.

Ta có $2^x=8=2^3\iff x=3$.

Chọn đáp án A.

Đặt $t=2^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành $t^2-5t+6=0\iff t=2$ hoặc $t=3$.
- Với $t=2\Rightarrow 2^x=2\iff x_1=1$.
- Với $t=3\Rightarrow 2^x=3\iff x_2={\log }_{2}3$.
Tích các nghiệm là $x_1\cdot x_2=1\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}3$.

Chọn đáp án D.

Đặt $4^a=25^b=10^c=k$ ($k>0,k\ne 1$).
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế:
$a\log 4=b\log 25=c\log 10=\log k\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\log 4}{\log 10}=\log 4$ và $\frac{c}{b}=\frac{\log 25}{\log 10}=\log 25$.
Khi đó:
$T=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\log 4+\log 25=\log (4\cdot 25)=\log 100=2$.

Chọn đáp án C.

Chọn B.
Điều kiện: $3x+1>0\iff x>-\frac{1}{3}$.
Phương trình tương đương: $3x+1=2^2=4\iff 3x=3\iff x=1$ (thỏa mãn).

Chọn A.
Ta có: $a\sqrt{a}=a\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}$.
Do đó:
${\log }_{a^2}(a\sqrt{a})={\log }_{a^2}(a^{\frac{3}{2}})=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}.$

Ta có $2^{x+1}=16\iff 2^{x+1}=2^4\iff x+1=4\iff x=3$.

Với $a>0,a\ne 1$, ta có $P=2^{{\log }_{2}a}+{\log }_a(a^b)=a+b$.

Ta có $\ln x=\ln (a^5)+\ln \left((\sqrt{b}{)}^2\right)=\ln (a^{5}b)\Rightarrow x=a^{5}b$.

Phương trình tương đương với $\{\begin{array}{l}2x-3>0\\ x^2-2x=2x-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{3}{2}\\ x^2-4x+3=0\end{array}\iff x=3$. Vậy phương trình có $1$ nghiệm.

Chọn A.
Ta có: $2^{x+1}+2^{1-x}=5\iff 2\cdot 2^x+\frac{2}{2^x}=5$.
Đặt $t=2^x>0$, phương trình trở thành $2t+\frac{2}{t}=5\iff 2t^2-5t+2=0$.
Phương trình có 2 nghiệm $t_1=2$ và $t_2=\frac{1}{2}$.
Với $t_1=2\Rightarrow 2^x=2\Rightarrow x_1=1$.
Với $t_2=\frac{1}{2}\Rightarrow 2^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x_2=-1$.
Tổng các nghiệm là $x_1+x_2=1+(-1)=0$.

Điều kiện: $x>0$.
Phương trình tương đương: $3x=5^2=25⟺x=\frac{25}{3}$.
Tập nghiệm là $S=\left\{\frac{25}{3}\right\}$.

Điều kiện: $x>0$.
Phương trình ${\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2=0⟺[\begin{array}{rl}{\log }_{3}x& =1\\ {\log }_{3}x& =2\end{array}⟺[\begin{array}{rl}x& =3\\ x& =9\end{array}$.
Tổng các nghiệm là: $3+9=12$.

Phương trình viết lại: $3\cdot (3^x{)}^2-4m\cdot 3^x+m+2=0$.
Đặt $t=3^x$ ($t>0$), ta được phương trình bậc hai: $3t^2-4mt+m+2=0$ (1).
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=1$, thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2>0$ thỏa mãn:
$t_1{t}_2=3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=3^{x_1+x_2}=3^1=3$.
Theo định lý Vi-et: $t_1{t}_2=\frac{m+2}{3}=3⟺m+2=9⟺m=7$.
Thử lại với $m=7$:
Phương trình (1) trở thành: $3t^2-28t+9=0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(-14{)}^2-3\cdot 9=196-27=169>0$.
Nghiệm $t_1,t_2=\frac{14\pm 13}{3}⟹t_1=9,t_2=\frac{1}{3}$ (đều dương, thỏa mãn).
Vậy $m=7$.

Điều kiện: $9x+18>0⟺x>-2$.
Phương trình biến đổi thành:
${\log }_3[9(x+2)]+x=y+3^y⟺2+{\log }_3(x+2)+x=y+3^y$
$⟺{\log }_3(x+2)+(x+2)=y+3^y$.
Đặt $t={\log }_3(x+2)⟹x+2=3^t$.
Phương trình trở thành: $t+3^t=y+3^y$.
Xét hàm số $g(u)=u+3^u$ có $g^{\prime }(u)=1+3^u\ln 3>0,\forall u⟹g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó: $t=y⟺{\log }_3(x+2)=y⟺x+2=3^y⟺x=3^y-2$.
Điểm $M(x;y)$ thuộc hình tròn tâm $O$ bán kính $R=7$ nên:
$x^2+y^2\le 49⟹x\le 7$.
Kết hợp điều kiện $x>-2$ và $x\in \mathbb{Z}⟹-1\le x\le 7$.
Vì $x+2=3^y$ nên $1\le 3^y\le 9⟺0\le y\le 2$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$, ta xét các trường hợp:
- Với $y=0⟹x=3^0-2=-1⟹M(-1;0)$. Kiểm tra $(-1{)}^2+0^2=1\le 49$ (thỏa mãn).
- Với $y=1⟹x=3^1-2=1⟹M(1;1)$. Kiểm tra $1^2+1^2=2\le 49$ (thỏa mãn).
- Với $y=2⟹x=3^2-2=7⟹M(7;2)$. Kiểm tra $7^2+2^2=49+4=53>49$ (loại).
Vậy có đúng 2 điểm $M$ có tọa độ nguyên thỏa mãn yêu cầu là $(-1;0)$ và $(1;1)$.

Đặt $t=3^x>0$, phương trình trở thành $t^2-4t-45=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=9\text{ (nhận)}</td></tr><tr><td>t=-5\text{ (loại)}</td></tr></tbody></table>$
Với $t=9\Rightarrow 3^x=9\iff x=2$.