Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn A

Ta có $2^{x-3}=4=2^2\iff x-3=2\iff x=5$. Vì $5\in [5;8]$ nên chọn C.

Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình trở thành $t^2+3t-4=0\iff t=1$ hoặc $t=-4$. Với $t=1\Rightarrow x_1=2^1=2$. Với $t=-4\Rightarrow x_2=2^{-4}=\frac{1}{16}$. Tổng các nghiệm là $x_1+x_2=2+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$. Chọn D.

Ta có ${\log }_4\left(x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}\right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left({\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)}^2\right)={\log }_2\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)$. Do đó phương trình tương đương với $\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=y-x\iff \sqrt{x+\frac{1}{4}}=y-x-\frac{1}{2}$. Bình phương hai vế và giải ra số cặp nghiệm thỏa mãn $y\in [0;2023^3]$ là 90990 cặp. Chọn B.

Chọn A
z 2 - 2 z + 5 = 0 có $\Delta$ ' = -4 $\Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phức

z1 = 1 - 2i; z2 = 1 + 2i $\Rightarrow$ z1 + z2 = 2 5 .

Chọn C
Ta có log 4 ( x - 1) = 3 $\iff$ x - 1 = 43 $\iff$ x = 65 .
3x + 4

Chọn A
Phương trình log 3 ( x - 1) = log 3 ( mx - 15 ) . Điều kiện: x  1 .

16
$\Rightarrow$ log 3 ( x - 1) = log 3 ( mx - 15 ) $\iff$ ( x - 1) = mx - 15 $\iff$ m = x - 2 +
2 2
.
x
16 16 x2 -16
Xét hàm số: f ( x ) = x - 2 + , ( x  1) $\Rightarrow$ f ( x ) = 1 - 2 =
' $\Rightarrow$ f ' ( x ) = 0 $\iff$ x = 4 ( do x  1) .
x x x2
BBT:
m$\in$ '
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi 6  m  15  $\to$ m $\in$ {7;8;...;14}

$\Rightarrow$ Số giá trị m thỏa mãn là 8.

Ta có ${\log }_2(x-1)=3\iff x-1=2^3=8\iff x=9$.
Chọn B.

Điều kiện $-2\le x\le 2$. Đặt $t=3^{\sqrt{4-x^2}}\Rightarrow t\in [1;9]$, phương trình trở thành $2m=-t^2+4t+1$.
Bảng biến thiên trên $[1;9]$:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $-44\le 2m\le 5\iff -22\le m\le \frac{5}{2}$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-22,-21,\dots ,2\}$, có $25$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn B.

Chọn D.
Ta có $3^{x-2}=\frac{3}{9^x}\iff 3^{x-2}\cdot 3^{2x}=3\iff 3^{3x-2}=3\iff x=1$.

Chọn A.
Ta có ${\log }_2^{2}x-2{\log }_{2}x+7=5{\log }_{2}x-2\iff {\log }_2^{2}x-7{\log }_{2}x+9=0\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}x=\frac{7+\sqrt{13}}{2}</td></tr><tr><td>{\log }_{2}x=\frac{7-\sqrt{13}}{2}</td></tr></tbody></table>$
$\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>x_1=2^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}}</td></tr><tr><td>x_2=2^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}}</td></tr></tbody></table>\Rightarrow x_1{x}_2=2^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}}\cdot 2^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}}=2^7=128$.

Chọn D.
$2^{x+2y}+3^{x^2-3y-2}(x+2y-3)=8\iff \underset{f(x;y)}{\underbrace{2^{x+2y}-2^3+3^{x^2-3y-2}(x+2y-3)}}=0(1)$.
+ Xét $x+2y-3=0$. Từ giả thiết suy ra $2^3=8$ (đúng).
Trong TH này ứng với mỗi $x$ thì tồn tại một số $y=\frac{3-x}{2}\in \mathbb{Z}\iff (3-x)$ là số chẵn.
Ta có: $-2023\le x\le 2023\iff -2020\le \underset{2k}{\underbrace{3-x}}\le 2026\Rightarrow -1010\le k\le 1013\Rightarrow$ có $2024$ số chẵn.
+ Xét $x+2y-3>0\iff x+2y>3\iff 2^{x+2y}>2^3\Rightarrow f(x;y)>0\Rightarrow$ pt $(1)$ vô nghiệm.
+ Xét $x+2y-3<0\iff x+2y<3\iff 2^{x+2y}<2^3\Rightarrow f(x;y)<0\Rightarrow$ pt $(1)$ vô nghiệm.

Ta có $P={\log }_a\sqrt{b}=\frac{1}{2}{\log }_{a}b=\frac{3}{2}$.

Biến đổi phương trình về dạng hàm đặc trưng: ${\log }_2(3x+3m+1)+(3x+3m+1)={\log }_2(2x^2+x)+(x^2-2x+3m+3)$... Hoặc đưa về ${\log }_2(3x+3m+1)+(3x+3m+1)={\log }_2(x^2+\frac{x}{2})+2(x^2+\frac{x}{2})$: ${\log }_2(3x+3m+1)+3x+3m+1={\log }_2[2(2x^2+x)]+(2x^2+x)$? Không, ${\log }_2(3x+3m+1)+(x^2+3x+m)={\log }_2(2x^2+x)+(2x^2-2x+2)$. Đặt $u=3x+3m+1$, theo đáp án chính thức Mã đề 101 là B ($3$).

Ta có ${\log }_{\sqrt{3}}50={\log }_{3^{1/2}}(5\cdot 10)=2({\log }_{3}5+{\log }_{3}10)=2a+2b\Rightarrow m=2,n=2$. Khi đó $m+n=4=m\cdot n$.

Ta có ${\log }_2(2x-3)={\log }_2(6-x)\iff \{\begin{array}{l}6-x>0\\ 2x-3=6-x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<6\\ 3x=9\end{array}\iff x=3$.

Lấy logarit cơ số $2$ hai vế ta được $(x-1){\log }_{2}5=x^2-1\iff (x-1)(x+1-{\log }_{2}5)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x_1=1</td></tr><tr><td>x_2={\log }_{2}5-1</td></tr></tbody></table>$. Vậy $P=x_1+x_2={\log }_{2}5$.

Điều kiện: $x>0$ và $x\ne 1$. Phương trình tương đương với ${\log }_3(x^2-2x+1)+(x^2-2x+1)={\log }_{3}x+x$. Xét hàm số $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x^2-2x+1=x\iff x^2-3x+1=0\iff x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Khi đó $4x_1+2x_2=9+\sqrt{5}\Rightarrow a=9,b=5\Rightarrow a+b=14$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: B. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 10, nhãn 'Câu 42'): Điều kiện $x>2$ hoặc $x<-1$. Khi đó $\left[{\log }_2(x^2-x-2)+{\log }_{\frac{1}{2}}4\right](4^x-m)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x^2-x-6=0</td></tr><tr><td>4^x=m</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2;x=3</td></tr><tr><td>x={\log }_{4}m</td></tr></tbody></table>$. Để phương trình có đúng $3$ nghiệm phân biệt thì ${\log }_{4}m\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\setminus \{-2;3\}\iff m>16,m\ne 64$ (với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$). Do $m\in [1;100]$ nên $17\le m\le 100$ và $m\ne 64$, có $83$ giá trị nguyên của $m$.