Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SD$ (theo mã đề 102, đáp án Phần II Câu 2: S S S Đ, khớp với key đã cho).
a) Sai. $M$ là trung điểm của $SD$ với $S$ không thuộc $(ABCD)$, nên $M$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Sai. Đường thẳng $DM$ chính là đường thẳng $SD$, còn $SO$ đi qua $S$. Hai đường thẳng $SD$ và $SO$ cùng đi qua điểm $S$ nên chúng cắt nhau (tại $S$), không chéo nhau.
c) Sai. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ nên chúng cắt nhau theo một đường thẳng đi qua $S$ (mặc dù $AD//BC$), do đó không song song.
d) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$. Đường thẳng qua $B$ song song với $CD$ chính là đường thẳng $AB$, và $AB$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ tại $A$ ($A$ thuộc $(SAD)$). Vậy hình chiếu của $B$ trên $(SAD)$ theo phương chiếu $CD$ là điểm $A$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm của $SD$, $S$ không thuộc $(ABCD)$ nên $M$ không thuộc $(ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$DM$ chính là $SD$, còn $SO$ qua $S$; hai đường thẳng cùng qua $S$ nên cắt nhau tại $S$, không chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa $S$ nên cắt nhau theo đường thẳng qua $S$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB//CD$ nên đường qua $B$ song song $CD$ là $AB$, cắt $(SAD)$ tại $A$; vậy hình chiếu của $B$ theo phương $CD$ là $A$.

a) $(SAD)\cap (SBC)=?$
Ta có S là điểm chung của 2 mp $(SAD)$ và $(SBC)$ (1)
$$+\{\begin{array}{l}(SAD)\supset AD\\ (SBC)\supset BC\\ AD//BC\end{array}(2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $(SAD)\cap (SBC)=d$, với $d$ qua $S$, $d//AD//BC$.
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

b) C/m: $MN//(SBC)$
Ta có $+MN//BC$ (vì cùng song song với $AD$)
$+MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$
Suy ra $MN//(SBC)$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SB$ (đáp án đề 101: Đ S S Đ, khớp với kết quả tự giải).

a) Đúng. $M$ là trung điểm $SB$ nên $M$ thuộc đường thẳng $SB$, mà $SB\subset (SBD)$, do đó $M\in (SBD)$.

b) Sai. Đường thẳng $BM$ chính là đường thẳng $SB$ (vì $M\in SB$). $SO$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$ và cắt nhau tại $S$, nên chúng không thể chéo nhau.

c) Sai. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ chung, nên chúng cắt nhau (không thể song song). Mặc dù $AD\parallel BC$, hai mặt phẳng vẫn có giao tuyến là đường thẳng qua $S$.

d) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Đường thẳng qua $A$ song song với phương chiếu $CD$ chính là đường thẳng $AB$, và $AB$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $B$ ($AB\parallel CD\subset (SBC)$ nên $AB$ song song hoặc nằm... thực tế $A\notin (SBC)$, đường $AB$ gặp $(SBC)$ tại $B$). Vậy hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$ theo phương chiếu $CD$ là điểm $B$.

a) $(SAB)\cap (SCD)=?$
Ta có S là điểm chung của 2 mp $(SAB)$ và $(SCD)$ (1)
$$+\{\begin{array}{l}(SAB)\supset AB\\ (SCD)\supset CD\\ AB//CD\end{array}(2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $(SAB)\cap (SCD)=d$, với $d$ qua $S$, $d//AB//CD$.

b) C/m: $MN//(SCD)$
Ta có: $+MN//CD$ (vì cùng song song với $AB$)
$+MN\not\subset (SCD)$, $CD\subset (SCD)$
Suy ra $MN//(SCD)$
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AE=3EM$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$, tức $E$ nằm trên $AM$ với $AE=\frac{3}{4}AM$. Tương tự $AF=\frac{3}{4}AN$. Trong tam giác $AMN$, ta có $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}$, suy ra $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=\frac{3}{4}\overrightarrow{MN}$. Vậy $EF=\frac{3}{4}MN$. Trong tam giác $BCD$, $M,N$ là trung điểm $BC,CD$ nên $MN$ là đường trung bình: $MN=\frac{1}{2}BD$. Do đó $EF=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}BD=\frac{3}{8}BD$, suy ra $\frac{BD}{EF}=\frac{8}{3}\approx 2,67$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,67.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P\in SB,Q\in SC$ nên $PQ\subset (SBC)$, do đó $K=PQ\cap BC\in (SBC)$; cũng có $K\in BC\subset (ABC)$ và $K\in PQ\subset (SPQ)$. Vậy $K$ thuộc cả ba mặt phẳng $(ABC),(SPQ),(SBC)$. Mặt phẳng $(SAP)$: nếu $K\in (SAP)$ thì $K\in (SAP)\cap (SBC)=SA$ (vì $A\notin (SBC)$ nên hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $SA$), nhưng $K\in BC$ và $SA$ chỉ cắt $(ABC)$ tại $A\notin BC$, mâu thuẫn. Vậy $K$ không thuộc $(SAP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P\in SB,Q\in SC$ nên $PQ\subset (SBC)$, do đó $K=PQ\cap BC\in (SBC)$. Mà $BC\subset (ABC)$ nên $K\in (ABC)$. Mặt khác $P,Q\in (SPQ)$ nên $PQ\subset (SPQ)$, suy ra $K\in (SPQ)$. Vậy $K$ thuộc cả ba mặt phẳng $(SBC),(ABC),(SPQ)$. Đối chiếu đáp án mã đề 101 (câu 4 là D) khớp với kết quả. Điểm $K$ không thuộc mặt phẳng $(SAP)$ vì $(SAP)$ chỉ chứa $S,A,P$; nếu $K\in (SAP)$ thì $K\in SB\cap$ ... dẫn đến $A$ nằm trong $(SBC)$, mâu thuẫn với giả thiết bốn điểm không đồng phẳng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: i) Sai, vì hình hộp có thể là hình hộp nghiêng (cạnh bên không vuông góc với đáy). ii) Đúng, hình hộp chữ nhật có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy nên là lăng trụ đứng. iii) Đúng, hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật nên cũng là lăng trụ đứng. iv) Đúng, theo định nghĩa lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Vậy có 3 mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAO)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm $AC$, tức $A,O,C$ thẳng hàng, suy ra $C\in (SAO)$. Mặt khác $C\in (SBC)$. Vậy hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt $S$ và $C$, giao tuyến là $SC$. Khớp đáp án nguồn: C.

Trong (ABCD), gọi O là giao điểm AC và BD.
Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O\in (SAC)\cap (SBD)$
Vậy giao tuyến $(SAC)\cap (SBD)=SO$
(Điểm: 0.25, 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy $S,O$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng, do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)\parallel (BCD)$ đi qua $M\in AB$ với $MB=3MA$ nên $MA=\frac{1}{4}AB$. Thiết diện qua $M$ song song $(BCD)$ là tam giác đồng dạng với tam giác $BCD$ theo tỉ số $k=\frac{MA}{AB}=\frac{1}{4}$. Do đó diện tích thiết diện bằng $k^2\cdot 32=\frac{1}{16}\cdot 32=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AD$ của hình bình hành nên $MN\parallel AB$ (đường thẳng nối trung điểm hai cạnh không kề của hình bình hành song song với cạnh còn lại). Do đó $MN\parallel (SAB)$ vì $MN$ không nằm trong $(SAB)$ và song song với $AB\subset (SAB)$. Mặt phẳng $(MNK)$ chứa đường thẳng $MN\parallel (SAB)$ và cắt $(SAB)$ theo giao tuyến đi qua $K$ (vì $K\in SB\subset (SAB)$ và $K\in (MNK)$). Theo định lý về giao tuyến, giao tuyến của $(MNK)$ và $(SAB)$ là đường thẳng qua $K$ và song song với $MN$, tức song song với $AB$ và cũng song song với $CD$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đều chứa điểm $A$ (vì $A\in (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $A\in (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$). Mặt khác, $O^{\prime }$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $O^{\prime }\in B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $A$ và $O^{\prime }$, do đó giao tuyến là đường thẳng $A{O}^{\prime }$. Khớp với đáp án A trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A$ thuộc cả hai mặt phẳng vì $A\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $A\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Điểm $O^{\prime }$ là giao của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $O^{\prime }\in B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vậy $A$ và $O^{\prime }$ là hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, suy ra giao tuyến của $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ là đường thẳng $A{O}^{\prime }$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $M\in BC\subset (ABC)$, mà hai đáy $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(ABC)$, kể cả $AM$, đều song song với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
b) Sai: đặt tọa độ $A(0;0;1),B(1;0;1),C(0;1;1),A^{\prime }(0;0;0),B^{\prime }(1;0;0),C^{\prime }(0;1;0)$ thì $M(0,5;0,5;1)$, $N(0;0,5;0)$. Đường $MN$ luôn có $y=0,5$ còn $B{B}^{\prime }$ nằm trên đường $y=0$, nên $MN$ và $B{B}^{\prime }$ chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: $B^{\prime }M\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$; hai đường $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$ cùng nằm trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và không song song nên cắt nhau tại $I$. Vì $I\in B{C}^{\prime }$ và $I\in B^{\prime }M\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$ nên $I$ là giao điểm của $B{C}^{\prime }$ với $(A^{\prime }{B}^{\prime }M)$.
d) Sai: với tọa độ trên, $MN$ có vectơ chỉ phương $(-0,5;0;-1)$ (không có thành phần theo $y$) và điểm $M$ có $y=0,5\ne 0$, trong khi $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng $y=0$; do đó $MN\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và không cắt mặt phẳng này.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 2: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$M\in BC\subset (ABC)$ và $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AM\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã đặt, $MN$ luôn có $y=0,5$ còn $B{B}^{\prime }$ có $y=0$, hai đường chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$ cùng nằm trong $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cắt nhau tại $I\in (A^{\prime }{B}^{\prime }M)$, nên giao điểm của $B{C}^{\prime }$ với $(A^{\prime }{B}^{\prime }M)$ chính là giao điểm của $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ có vectơ chỉ phương không có thành phần theo $y$ và nằm hoàn toàn trong miền $y=0,5$, khác mặt phẳng $y=0$ của $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $MN\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, không cắt.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P,N$ là trung điểm của $SE,SF$ nên $PN$ là đường trung bình của tam giác $SEF$, do đó $PN\parallel EF$. Trong hình bình hành $CDEF$ ta có $EF\parallel CD$, suy ra $PN\parallel CD$ và $PN\parallel EF$.

Xét hai mặt phẳng $(JPN)$ và $(CDEF)$: điểm $J$ thuộc cả hai mặt phẳng nên $J$ thuộc giao tuyến.

Trong mặt phẳng $(CDEF)$, qua $J$ vẽ đường thẳng $d$ song song với $EF$ (tức song song với $PN$); vì $EF\subset (CDEF)$ nên $d\subset (CDEF)$. Mặt khác, trong mặt phẳng $(SPN)$, vì $PN\parallel EF$ và $J$ là trung điểm hai đường chéo hình bình hành nên $J$ nằm trong mặt phẳng $(SPN)$... chính xác hơn: đường thẳng qua $J$ song song với $PN$ nằm trong mặt phẳng $(JPN)$ (vì đi qua điểm $J$ của mặt phẳng này và song song với $PN\subset (JPN)$). Vậy $d$ nằm trong cả hai mặt phẳng, tức giao tuyến của $(JPN)$ và $(CDEF)$ là đường thẳng qua $J$ và song song với $PN$.

Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$ với $BG=2GF$. Xét mặt phẳng $(ABF)$: nó chứa $A$, $E$ (trung điểm $AB$), $F$ và $G$. Trong mặt phẳng này, đường thẳng $EG$ và đường thẳng $AF$ không song song nên cắt nhau tại một điểm $H$. Khi đó $H\in AF\subset (ACD)$, tức $H$ là giao điểm của $EG$ với mặt phẳng $(ACD)$ (vì $E\notin (ACD)$ nên $EG$ không nằm trong $(ACD)$). Vậy giao điểm của $EG$ và $(ACD)$ là giao điểm của $EG$ và $AF$. Đáp án khớp với key nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có hai đáy là hai tam giác đều $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (nên B, C đúng), các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ là các cạnh bên của hình chóp đều nên bằng nhau (A đúng). Hai đáy là hai tam giác đều đồng dạng nhưng không nhất thiết bằng nhau, tức $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể khác nhau. Vậy khẳng định sai là D. Đáp án D trùng với bảng đáp án mã đề 1004.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có hai đáy là hai tam giác đều $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (nên A và C đúng), các cạnh bên bằng nhau $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ (nên D đúng). Tuy nhiên hai đáy là hai tam giác đều đồng dạng nhưng không nhất thiết bằng nhau (đáy dưới lớn hơn đáy trên), do đó $BC\ne B^{\prime }{C}^{\prime }$ nói chung. Khẳng định B sai, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001: B).